Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 65 (Sách bài tập trang 115)

Tính diện tích hình thang cân, biết hai cạnh đáy là 12 cm và 18 cm, góc ở đáy bằng \(75^0\) ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 63 (Sách bài tập trang 115)

Cho tam giác ABC có \(BC=12cm,\widehat{B}=60^0,\widehat{C}=40^0\). Tính :

a) Đường cao CH và cạnh AC

b) Diện tích tam giác ABC

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

bài trong sbt có giải á bạn

Bài 4.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 117)

Hãy tìm diện tích của tam giác cân có góc ở đáy bằng \(\alpha\) nếu biết :

a) Cạnh bên bằng b

b) Cạnh đáy bằng a

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 4.6 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 117)

Trong hình thang ABCD, tổng của hai đáy AD và BC bằng b, đường chéo AC = a, góc ACB bằng \(\alpha\). Hãy tìm diện tích của hình thang đó ?

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 67 (Sách bài tập trang 115)

Từ đỉnh một toàn nhà cao 60m, người ta nhìn thấy một chiếc ôtô đang đỗ dưới một góc \(28^0\) so với đường nằm ngang. Hỏi chiếc ôtô đang đỗ cách tòa nhà đó bao nhiêu m ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 71 (Sách bài tập trang 116)

Một chiếc diểu ABCD có AB=BC=AD=DC. Biết AB = 12cm, \(\widehat{ADC}=40^0;\widehat{ABC}=90^0\) (h.25). Tính :

a) Chiều dài cạnh AD

b) Diện tích của chiếc diều 

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

 

Hướng dẫn giải

a) Nối AC và kẻ DH⊥ACDH⊥AC

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

AC2=AB2+BC2=122+122=144+144=288AC2=AB2+BC2=122+122=144+144=288

Suy ra: AC=12√2(cm)AC=122(cm)

Ta có: tam giác ACD cân tại D

DH⊥ACDH⊥AC

Suy ra: HA=HC=AC2=6√2(cm)HA=HC=AC2=62(cm)

ˆADH=12ˆADC=20∘ADH^=12ADC^=20∘

Trong tam giác vuông ADH, ta có:

AD=AHsinˆADH=6√2sin20∘≈24,809(cm)AD=AHsin⁡ADH^=62sin⁡20∘≈24,809(cm)

b) Ta có:

SABC=12.AB.BC=12.12.12=72SABC=12.AB.BC=12.12.12=72 (cm2)

Trong tam giác vuông ADH, ta có:

DH=AH.cotgˆADH=6√2.cotg20∘≈23,313(cm)DH=AH.cot⁡gADH^=62.cot⁡g20∘≈23,313(cm)

Mặt khác:

SADC=12.DH.AC≈12.23,313.12√2=197,817SADC=12.DH.AC≈12.23,313.122=197,817 (cm2)

Vậy Sdiều =SABC+SADC=72+197,817=269,817=SABC+SADC=72+197,817=269,817 (cm2)



Bài 55 (Sách bài tập trang 114)

Cho tam giác ABC trong đó AB = 5cm, AC = 8cm, \(\widehat{BAC}=20^0\). Tính diện tích tam giác ABC, có thể dùng các thông tin dưới đây nếu cần ;

                  \(\sin20^0\approx0,3420;\cos20^0\approx0,9397;tg20^0\approx0,3640\)

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

 

Hướng dẫn giải

Bài 4.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 116)

Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là \(\alpha\); góc đối diện với cạnh b là \(\beta\) và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng :

(A) \(a=c\sin\alpha\)               (B) \(a=c\cos\alpha\)                (C) \(a=ctg\alpha\)                    (D) \(a=ccotg\alpha\)

Hướng dẫn giải

Bài 53 (Sách bài tập trang 113)

Tam giác ABC vuông tại A có \(AB=21cm,\widehat{C}=40^0\). Hãy tính các độ dài :

a) AC

b) BC

c) Phân giác BD

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(AC=AB.\cot\widehat{C}=21.\cot\widehat{40^o}\simeq25,0268\left(cm\right)\)

b) Ta có: \(BC=\dfrac{AC}{\sin\widehat{C}}=\dfrac{21}{\sin\widehat{40^o}}\simeq32,6702\left(cm\right)\)

c) Vì ΔABCΔABC vuông tại A nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\)

Suy ra: \(\widehat{B}=90^o-\widehat{C}=90^o-40^o=50^o\)

Vì BD là phân giác của B nên:

\(\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}=\dfrac{1}{2}.50^o=25^o\)

Trong tam giác vuông ABD, ta có:

\(BD=\dfrac{AB}{\cos\widehat{ABD}}=\dfrac{21}{\cos25^o}\simeq23,1709\left(cm\right)\)

Bài 4.8 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 117)

Cho tam giác MNP. Gọi D là cân đường cao của tam giác đó kẻ từ M. Chứng minh rằng :

a) \(S_{MNP}=\dfrac{1}{2}MP.NP.\sin P\)

b) \(DP=\dfrac{MN.\sin N}{tgP}\)

c) \(\Delta DNE\)  S  \(\Delta MNP\), trong đó E là chân đường cao của tam giác MNP kẻ từ P 

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 61 (Sách bài tập trang 115)

Hình 22.

Cho BCD là tam giác đều cạnh 5cm và góc DAB bằng \(40^0\). Hãy tính :

a) AD

b) AB

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 62 (Sách bài tập trang 115)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 25 cm, HC = 64 cm. Tính góc B và góc C ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 60 (Sách bài tập trang 115)

Cho hình 21. 

Biết \(\widehat{QPT}=18^0;\widehat{PTQ}=150^0;QT=8cm;TR=5cm\). Hãy tính :

a) PT

b) Diện tích tam giác PQR

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 68 (Sách bài tập trang 116)

Một em học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng ten 150m. Biết rằng em nhìn thấy đỉnh tháp ở góc \(20^0\) so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 1,5m. Hãy tính chiều cao của tháp ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 4.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 116)

Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là \(\alpha\); góc đối diện với cạnh b là \(\beta\) và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng :

(A) \(a=c\sin\beta\)               (B) \(a=c\cos\beta\)                (C) \(a=ctg\beta\)                    (D) \(a=ccotg\beta\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 117)

Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là \(\alpha\); góc đối diện với cạnh b là \(\beta\) và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng :

(A) \(a=b\sin\alpha\)               (B) \(a=b\cos\alpha\)                (C) \(a=btg\alpha\)                    (D) \(a=bcotg\alpha\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.7 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 117)

Cho tam giác ABC có \(BC=7;\widehat{ABC}=42^0;\widehat{ACB}=35^0\). Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A. Hãy tính AH (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 59 (Sách bài tập trang 114)

Tìm x và y trong các hình sau (h.20)

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 64 (Sách bài tập trang 115)

Tính diện tích các hình bình hành có hai cạnh 12cm và 15 cm, góc tạo bởi hai cạnh ấy bằng \(110^0\) ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

giả sử góc a=135 độ , thì góc d=45 độ.kẻ đường cao ah khi đó góc dah=45 độ vậy tam giác adh cân và vuông.áp dụng pytago ah=6.căn bậc hai của 2.vậy diện tích hbh=15.6 căn bậc 2 của 2=90.căn bậc 2 của 2(cm^2)

Bài 56 (Sách bài tập trang 114)

Từ đỉnh một ngọn đèn biển cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn thấy một hòn đảo dưới góc \(30^0\) so với đường nằm ngang chân đèn (h.17). Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) bằng bao nhiêu ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 58 (Sách bài tập trang 114)

(H.19)

Để nhìn thấy đỉnh A của một vách đá dựng đứng, người ta đã đứng tại điểm P cách chân vách đá một khoảng 45m và nhìn lên một góc \(25^0\) so với đường nằm ngang (góc nhìn lên này được gọi là góc "nâng"). Hãy tính độ cao của vách đá ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 54 (Sách bài tập trang 113)

Cho hình 16.

Biết \(AB=AC=8cm,CD=6cm,\widehat{BAC}=34^0,\widehat{CAD}=42^0\). Hãy tính :

a) Độ dài cạnh BC

b) \(\widehat{ADC}\)

c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

 

Hướng dẫn giải

Bài 69 (Sách bài tập trang 116)

Hai cột thẳng đứng của hai trại A và B, của lớp 9A và lớp 9B, cách nhau 8m. Từ một cái cọc ở chính giữa hai cột, người ta đo được góc giữa các dây căng từ đỉnh hai cột của hai trại A và B đến cọc tạo với mặt đất lần lượt là \(35^0\) và \(30^0\) (h.23).

Hỏi trại nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 4.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 117)

Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là \(\alpha\); góc đối diện với cạnh b là \(\beta\) và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng :

(A) \(a=b\sin\beta\)               (B) \(a=b\cos\beta\)                (C) \(a=btg\beta\)                    (D) \(a=bcotg\beta\)

Hướng dẫn giải

ý D

Bài 57 (Sách bài tập trang 114)

Trong tam giác ABC có \(AB=11cm,\widehat{ABC}=38^0;\widehat{ACB}=30^0\), N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC (h.18).

Hãy tính AN, AC ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

Bài 70 (Sách bài tập trang 116)

Một người trinh sát đứng cách một tòa nhà một khoảng 10m. Góc "nâng" từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà là \(40^0\) (h.24)

a) Tính chiều cao của tòa nhà 

b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc "nâng" là \(35^0\) thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét ? Khi đó anh ta tiến lại gần hay ra xa ngôi nhà ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

a. Chiều cao tòa nhà là cạnh góc vuông đối diện với góc 40o, khoảng cách từ chỗ người trinh sát đứng đến ngôi nhà là cạnh kề.

Chiều cao của tòa nhà là:

10.tg40o ≈ 8,391 (m)

b. Nếu dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 35o thì anh ta cách tòa nhà:

8,391.cotg35o ≈ 11,934 (m)

Bài 66 (Sách bài tập trang 115)

Một cột cờ cao 3,5 m có bóng trên mặt đất dài 4.8m. Hỏi góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu ?

(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải