Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 41 (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(\sqrt{\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}};\left(x\ge0\right)\)

b) \(\dfrac{x-1}{\sqrt{y}-1}\sqrt{\dfrac{\left(y-2\sqrt{y}+1\right)^2}{\left(x-1\right)^4}};\left(x\ne1;y\ne1;y\ge0\right)\)

Hướng dẫn giải

Căn bậc hai. Căn bậc ba

Nếu có thêm điều kiện \(y>1\) thì kết quả là \(\dfrac{1}{x-1}\)

Bài 37 (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)

Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính :

a) \(\dfrac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}\)

b) \(\dfrac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}\)

c) \(\dfrac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}\)

d) \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính :

a) = \(\sqrt{\dfrac{2300}{23}}\) = \(\sqrt{100}\) = 10

b) = \(\sqrt{\dfrac{12,5}{0,5}}\) = \(\sqrt{25}\) = 5

c) = \(\sqrt{\dfrac{192}{12}}\) = \(\sqrt{16}\) = 4

d) = \(\sqrt{\dfrac{6}{150}}\) = \(\sqrt{\dfrac{1}{25}}\) = \(\dfrac{1}{5}\)

Bài 38* (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)

Cho các biểu thức :

       \(A=\sqrt{\dfrac{2x+3}{x-3}}\) và \(B=\dfrac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}\)

a) Tìm \(x\) để A có nghĩa. Tìm \(x\) để B có nghĩa

b) Với giá trị nào của \(x\) thì A = B ?

Hướng dẫn giải

Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 45 (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)

Với \(a\ge0;b\ge0\), chứng minh :

                 \(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

Hướng dẫn giải

Cả 2 vế đều không âm nên bình phương hai vế ta được bất đẳng thức tương đương. Điều phải chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.

Bài 40 (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)

Rút gọn các biểu thức 

a) \(\dfrac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7y}};\left(y>0\right)\)

b) \(\dfrac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x^5}};\left(x>0\right)\)

c) \(\dfrac{\sqrt{45mn2}}{\sqrt{20m}};\left(m>0;n>0\right)\)

d) \(\dfrac{\sqrt{16a^4b^6}}{\sqrt{128a^6b^6}};\left(a< 0;b\ne0\right)\)

Hướng dẫn giải

a. \(\sqrt{\dfrac{63y^3}{7y}}\)=\(\sqrt{9y^2}\)=3y

b.\(\sqrt{\dfrac{48x^3}{3x^5}}\)=\(\sqrt{16\cdot\dfrac{1}{X^2}}\)= \(\sqrt{16}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{X^2}}\)=\(4\cdot\dfrac{1}{X}=\dfrac{4}{X}\)

c.\(\sqrt{\dfrac{45mn^2}{20m}}=\sqrt{\dfrac{9n^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{9n^2}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3n}{2}\)

d. \(\sqrt{\dfrac{16a^4b^6}{128a^6b^6}}=\sqrt{\dfrac{1}{8a^2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}a}\)

Bài 36 (Sách bài tập - tập 1 - trang 10)

Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính :

a) \(\sqrt{\dfrac{9}{169}}\)

b) \(\sqrt{\dfrac{25}{144}}\)

c) \(\sqrt{1\dfrac{9}{16}}\)

d) \(\sqrt{2\dfrac{7}{81}}\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính :

a) = \(\sqrt{\dfrac{3^2}{13^2}}\) = \(\left|\dfrac{3}{13}\right|\) = \(\dfrac{3}{13}\)

b) = \(\sqrt{\dfrac{5^2}{12^2}}\) = \(\left|\dfrac{5}{12}\right|\) = \(\dfrac{5}{12}\)

c) = \(\sqrt{\dfrac{25}{16}}\) = \(\sqrt{\dfrac{5^2}{4^2}}\) = \(\left|\dfrac{5}{4}\right|\) = \(\dfrac{5}{4}\)

d) = \(\sqrt{\dfrac{169}{81}}\) = \(\sqrt{\dfrac{13^2}{9^2}}\) = \(\left|\dfrac{13}{9}\right|\) = \(\dfrac{13}{9}\)

Bài 43* (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)

Tìm \(x\) thỏa mãn điều kiện 

a) \(\sqrt{\dfrac{2x-3}{x-1}}=2\)

b) \(\dfrac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2\)

c) \(\sqrt{\dfrac{4x+3}{x+1}}=3\)

d) \(\dfrac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3\)

Hướng dẫn giải

Căn bậc hai. Căn bậc ba

Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 42 (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)

Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của \(x\) rồi tính giá trị của nó :

a) \(\sqrt{\dfrac{\left(x-2\right)^4}{\left(3-x\right)^2}}+\dfrac{x^2-1}{x-3}\)          (\(x< 3\)); tại \(x=0,5\)

b) \(4x-\sqrt{8}+\dfrac{\sqrt{x^3+2x^2}}{\sqrt{x+2}}\)       \(\left(x>-2\right)\); tại \(x=-\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải

Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 4.1 Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)

Giá trị của \(\sqrt{\dfrac{49}{0.09}}\) bằng 

(A) \(\dfrac{7}{3}\)                      (B) \(\dfrac{70}{3}\)                    (C) \(\dfrac{7}{30}\)                              (D) \(\dfrac{700}{3}\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

 

Hướng dẫn giải

Giá trị của

(A) 73 (B) (C) 730 (D)

Ta có \(\sqrt{\dfrac{49}{0,09}}\) = \(\sqrt{7^2}\)\(\div\) \(\sqrt{\dfrac{3}{10}^2}\)

= \(\sqrt{7^2}\)\(\times\)\(\sqrt{\dfrac{10}{3}^2}\)

= \(\left|7\right|\)\(\times\)\(\left|\dfrac{10}{3}\right|\)

= \(\dfrac{7\times10}{3}\)

= \(\dfrac{70}{3}\)

Bài 46 (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)

Với a dương, chứng minh :

                 \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)

Hướng dẫn giải

Bất đẳng thức tương đương với: (do a > 0)

\(\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.

Bài 39 (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)

Biểu diễn \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) với \(a< 0;b< 0\) ở dạng thương của hai căn thức

Áp dụng tính \(\sqrt{\dfrac{-49}{-81}}\)

Hướng dẫn giải

\(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)=\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) với a,b<0

Ta có : \(\sqrt{\dfrac{-49}{-81}}\)=\(\sqrt{\dfrac{49}{81}}\)=\(\dfrac{7}{9}\)

Bài 44 (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)

Cho hai số a, b không âm. Chứng minh :

            \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

(Bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

 

Hướng dẫn giải

Nếu n= 2, tức có hai giá trị x1x2, và từ giả thiết ở trên, ta có:

điều phải chứng minh - ở đây \(x_1=a;x_2=b\)