Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 34* (Sách bài tập - tập 2 - trang 12)

Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Hãy giải các hệ phương trình sau :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}3x+5y=34\\4x-5y=-13\\5x-2y=5\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}6x-5y=-49\\-3x+2y=22\\7x+5y=10\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Bài 33 (Sách bài tập - tập 2 - trang 12)

Tìm giá trị của m để 3 đường thẳng sau đồng quy :

\(\left(d_1\right):5x+11y=8\)

\(\left(d_2\right):10x-7y=74\)

\(\left(d_3\right):4mx+\left(2m-1\right)y=m+2\)

 

Hướng dẫn giải

d1 và d2 đồng quy khi hệ phương trình có nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}5x+11y=8\\10x-7y=74\end{matrix}\right.\)

x=6 và y=-2

Thế vào d3: 4m.6-2(2m-1)=m+2

20m+2=m+2

19m=0 suy ra m=0

m=0 thì 3 đường thẳng đồng quy

Bài 27 (Sách bài tập - tập 2 - trang 11)

Giải các hệ phương trình :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}5\left(x+2y\right)=3x-1\\2x+4=3\left(x-5y\right)-12\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2-5\left(y+1\right)=\left(2x-3\right)^2\\3\left(7x+2\right)=5\left(2y-1\right)-3x\end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x+1}{4}-\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{x+5}{2}=\dfrac{y+7}{3}-4\end{matrix}\right.\)

d) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3s-2t}{5}+\dfrac{5s-3t}{3}=s+1\\\dfrac{2s-3t}{3}+\dfrac{4s-3t}{2}=t+1\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 29 (Sách bài tập - tập 2 - trang 11)

Tìm giá trị của a và b để đường thẳng \(ax-by=4\) đi qua hai điểm \(A\left(4;3\right),B\left(-6;-7\right)\) ?

Hướng dẫn giải

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 12)

Giải các hệ phương trình :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}=-\dfrac{3}{2}\\\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x+y-1}-\dfrac{4}{x-y+1}=-\dfrac{14}{5}\\\dfrac{3}{x+y-1}+\dfrac{2}{x-y+1}=-\dfrac{13}{5}\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: \(x\ne0,\text{ }y\ne0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=a\\\dfrac{1}{y}=b\end{matrix}\right.\), hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}3a+5b=\dfrac{-3}{2}\\5a-2b=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

Giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số hoặc thế tìm được 1 nghiệm duy nhất: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{3}\\b=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-2\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-2\end{matrix}\right.\).

Bài 4.3* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 13)

Giải hệ phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{yz}{y+z}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{zx}{z+x}=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 26 (Sách bài tập - tập 2 - trang 11)

Giải các hệ phương trình :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}8x-7y=5\\12x+13y=-8\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{5}x-4y=15-2\sqrt{7}\\-2\sqrt{5}x+8\sqrt{7}y=18\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 25 (Sách bài tập - tập 2 - trang 11)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-11y=-7\\10x+11y=31\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}4x+7y=16\\4x-3y=-24\end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}0,35x+4y=8\\0,75x-6y=9\end{matrix}\right.\)

d) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x+2\sqrt{3}y=5\\3\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

e) \(\left\{{}\begin{matrix}10x-9y=8\\15x+21y=0,5\end{matrix}\right.\)

f) \(\left\{{}\begin{matrix}3,3x+4,2y=1\\9x+14y=4\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 12)

Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau :

a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(M\left(-3;1\right),N\left(1;2\right)\)

b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M\left(\sqrt{2};1\right),N\left(3;3\sqrt{2}-1\right)\)

c) Đồ thị đi qua điểm \(M\left(-2;9\right)\) và cắt đường thẳng \(\left(d\right):3x-5y=1\) tại điểm có hoành độ bằng 2

Hướng dẫn giải

Bài 32 (Sách bài tập - tập 2 - trang 12)

Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left(d\right):y=\left(2m-5\right)x-5m\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng :

                                   \(\left(d_1\right):2x+3y=7\)

                                    \(\left(d_2\right):3x+2y=13\)

Hướng dẫn giải

ta có : \(\left(d_1\right)\cap\left(d_2\right)\) tại \(A\left(5;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) để đường thẳng \(\left(d\right):y=\left(2m-5\right)x-5m\) đi qua \(\left(d_1\right)\cap\left(d_2\right)\)

\(\Leftrightarrow-1=5\left(2m-5\right)-5m\Leftrightarrow10m-25-5m=-1\)

\(\Leftrightarrow5m=24\Leftrightarrow m=\dfrac{24}{5}\) vậy \(m=\dfrac{24}{5}\)

Bài 31 (Sách bài tập - tập 2 - trang 12)

Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình :

                      \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{2\left(x-y\right)}{5}\\\dfrac{x-3}{4}-\dfrac{y-3}{3}=2y-x\end{matrix}\right.\)

cũng là nghiệm của phương trình \(3mx-5y=2m+1\)

Hướng dẫn giải

Bài 28 (Sách bài tập - tập 2 - trang 11)

Tìm hai số a và b sao cho \(5a-4b=-5\) và đường thẳng \(ax+by=-1\) đi qua điểm \(A\left(-7;4\right)\) ?

Hướng dẫn giải

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 30 (Sách bài tập - tập 2 - trang 11)

Giải các hệ phương trình sau theo hai cách

(Cách thứ nhất : đưa hệ phương trình về dạng \(\left\{{}\begin{matrix}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{matrix}\right.\)

 Cách thứ hai : Đặt ẩn phụ, chẳng hạn \(3x-2=s,3y+2=t\) )

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(3x-2\right)-4=5\left(3y+2\right)\\4\left(3x-2\right)+7\left(3y+2\right)=-2\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}3\left(x+y\right)+5\left(x-y\right)=12\\-5\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=11\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn