Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Công thức nghiệm thu gọn

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 5.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 56)

Tìm mối liên hệ giữa a, b, c, để phương trình \(\left(b^2+c^2\right)x^2-2acx+a^2-b^2=0\) có nghiệm ?

Hướng dẫn giải

Phương trình (b2+c2)x2−2acx+a2−b2=0(b2+c2)x2−2acx+a2−b2=0 có nghiệm khi và chỉ khi b2+c2≠0b2+c2≠0Δ′≥0Δ′≥0

b2+c2≠0b2+c2≠0 suy ra b và c không đồng thời bằng 0.

Δ′=(−ac)2−(b2+c2)(a2−b2)=a2c2−a2b2+b4−a2c2+b2c2=−a2b2+b4+c2b2=b2(−a2+b2+c2)Δ′≥0⇒b2(−a2+b2+c2)≥0Δ′=(−ac)2−(b2+c2)(a2−b2)=a2c2−a2b2+b4−a2c2+b2c2=−a2b2+b4+c2b2=b2(−a2+b2+c2)Δ′≥0⇒b2(−a2+b2+c2)≥0)

b2≥0⇒−a2+b2+c2≥0⇔b2+c2≥a2b2≥0⇒−a2+b2+c2≥0⇔b2+c2≥a2

Vậy với a2≤b2+c2a2≤b2+c2 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 34 (Sách bài tập - tập 2 - trang 56)

Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép :

a) \(5x^2+2mx-2m+15=0\)

b) \(mx^2-4\left(m-1\right)x-8=0\)

 

Hướng dẫn giải

a. 5x2 + 2mx – 2m +15 =0 (1)

Ta có: Δ'=m2 – 5.(-2m +15) = m2 +10m -75

Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

Δ'= 0 ⇔ m2 + 10m – 75 = 0

Δ'm = 52 -1.(-75) = 25 +75 = 100 > 0

√(Δ'm) = √100 =10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Vậy m =5 hoặc m=-15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép

b. mx2 – 4(m -1)x -8 =0 (2)

Phương trình (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi: m≠ 0 và Δ'=0

Ta có: Δ'=[-2(m-1)]2 – m(-8)=4(m2 -2m +1) +8m

=4m2– 8m +4 +8m = 4m2 +4

Vì 4m2 +4 luôn luôn lớn hơn 0 nên Δ' không thể bằng 0 .Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép

Bài 28 (Sách bài tập - tập 2 - trang 55)

Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau :

a) \(x^2+2+2\sqrt{2}\)  và \(2\left(1+\sqrt{2}\right)x\)

b) \(\sqrt{3}x^2+2x-1\) và \(2\sqrt{3}x+3\)

c) \(-2\sqrt{2}x-1\) và \(\sqrt{2}x^2+2x+3\)

d) \(x^2-2\sqrt{3}x-\sqrt{3}\) và \(2x^2+2x+\sqrt{3}\)

e) \(\sqrt{3}x^2+2\sqrt{5}x-3\sqrt{3}\) và \(-x^2-2\sqrt{3}x+2\sqrt{5}+1\)

Hướng dẫn giải

Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 32 (Sách bài tập - tập 2 - trang 56)

Với giá trị nào của m thì :

a) Phương trình \(2x^2-m^2x+18m=0\) có một nghiệm \(x=-3\)

b) Phương trình \(mx^2-x-5m^2=0\) có một nghiệm \(x=-2\)

Hướng dẫn giải

a) Thay x=-3 vào phương trình 2x2 – m2x +18m =0 ta được:

2(-3)2 - m2(-3) + 18m =0 ⇔ 3m2 +18m+18 =0

⇔ m2 + 6m +6 = 0

Δ' = 32 -1.6 = 9 -6 =3 > 0

√Δ' = √3

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Vậy với m=3 - 3 hoặc m=- 3- 3 thì phương trình đã cho có nghiệm x= -3

b) Thay x = -2 vào phương trình mx2 – x – 5m2 = 0 ta được:

m(-2)2 – (-2) – 5m2=0 ⇔ 5m2 – 4m -2 =0

Δ' = (-2)2 -5.(-2) = 4+10 = 14 > 0

√Δ' = √14

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Bài 33 (Sách bài tập - tập 2 - trang 56)

Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :

a) \(x^2-2\left(m+3\right)x+m^2+3=0\)

b) \(\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1=0\)

Hướng dẫn giải

a. x2 – 2(m+3)x + m2+3=0 (1)

Ta có: Δ' = [-(m+3)]2 -1.(m2 +3) = m2 + 6m + 9 – m2 - 3

= 6m +6

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

Δ' > 0 ⇔ 6m + 6 > 0 ⇔ 6m > -6 ⇔ m > -1

Vậy m > -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b. (m+1)x2+4mx+4m -1 =0 (2)

Ta có: Δ' = (2m)2 – (m +1)(4m -1) = 4m2 – 4m2 + m – 4m +1

= 1 – 3m

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

*m +1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1

và *Δ' > 0 ⇔ 1 -3m > 0 ⇔ 3m < 1 ⇔ m < 1/3

Vậy m < 1/3 và m ≠ -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Bài 29 (Sách bài tập - tập 2 - trang 55)

Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình 5).

Khi nhày, độ cao h từ người đó tới mặt nước (tính bằng mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức :

                           \(h=-\left(x-1\right)^2+4\)

Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu 

a) Khi vận động viên ở độ cao 3m ?

b) Khi vận động viên chạm mặt nước ?

Hướng dẫn giải

a) \(3=-\left(x-1\right)^2+4\Leftrightarrow x^2-2x=0\)

Suy ra \(x_1=0;x_2=2\)

b) Khi vận động viên chạm mặt nước thì \(h=0\).

Do đó \(-\left(x-1\right)^2+4=0\) hay \(x^2-2x-3=0\)

Suy ra \(x_1=-1;x_2=3\)

Vì khoảng cách không âm nên \(x_2=3\left(m\right)\)

Bài 31 (Sách bài tập - tập 2 - trang 56)

Với giá trị nào của x thì giá trị của hai hàm số bằng nhau :

a) \(y=\dfrac{1}{3}x^2\) và \(y=2x-3\)

b) \(y=-\dfrac{1}{2}x^2\) và \(y=x-8\)

Hướng dẫn giải

Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 5.3* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 56)

Chứng tỏ rằng phương trình :

                  \(\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0\)

luôn có nghiệm

Hướng dẫn giải

Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 30 (Sách bài tập - tập 2 - trang 56)

Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) :

a) \(16x^2-8x+1=0\)

b) \(6x^2-10x-1=0\)

c) \(5x^2+24x+9=0\)

d) \(16x^2-10+1=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 27 (Sách bài tập - tập 2 - trang 55)

Xác định a, b', c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn :

a) \(5x^2-6x-1=0\)

b) \(-3x^2+14x-8=0\)

c) \(-7x^2+4x=3\)

d) \(9x^2+6x+1=0\)

Hướng dẫn giải

Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 5.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 56)

Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) có \(\Delta'=0\). Điều nào sau đây đúng :

(A) \(x_1=x_2=\dfrac{b}{2a}\)                        (B) \(x_1=x_2=-\dfrac{b'}{a}\)

(C) \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{a}\)                      (D) \(x_1=x_2=-\dfrac{b'}{2a}\)

Hướng dẫn giải