Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Phân thức đại số.

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 3 (Sách bài tập - trang 24)

Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ta chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng 

a) \(\dfrac{5x+3}{x-2}=\dfrac{5x^2+13x+6}{x^2-4}\)

b) \(\dfrac{x+1}{x+3}=\dfrac{x^2+3}{x^2+6x+9}\)

c) \(\dfrac{x^2-2}{x^2-1}=\dfrac{x+2}{x+1}\)

d) \(\dfrac{2x^2-5x+3}{x^2+3x-4}=\dfrac{2x^2-x-3}{x^2+5x+4}\)

Hướng dẫn giải

Bài 3: (SBT/24):

a. \(\dfrac{5x+3}{x-2}\)=\(\dfrac{5x^2+13x+6}{x^2-4}\)

(5x+3) . (x2-4) = 5x3-20x+3x3-12

(x-2) . (5x2+13x+6) = 5x3+13x2+6x-10x2-26x-12 = 5x3-20x+3x2-12

=> (5x+3) (x2-4) = (x-2) (5x2+13x+6)

Vậy \(\dfrac{5x+3}{x-2}\)=\(\dfrac{5x^2+13x+6}{x^2-4}\)(đẳng thức đúng)

b. \(\dfrac{x+1}{x+3}\)=\(\dfrac{x^2+3}{x^2+6x+9}\)

(x+1) . (x2+6x+9) = x3+6x2+9x+x2+6x+9 = x3+7x2+15x+9

(x+3) . (x2+3) = x3+3x+3x2+9

=> (x+1) (x2+6x+9) ≠ (x+3) (x2+3)

Vậy \(\dfrac{x+1}{x+3}\)\(\dfrac{x^2+3}{x^2+6x+9}\)(đẳng thức sai)

Chữa lại: \(\dfrac{x+1}{x+3}\)=\(\dfrac{x^2+3}{x^{2_{ }}+6x+9}\)

c. \(\dfrac{x^2-2}{x^2-1}\)=\(\dfrac{x+2}{x+1}\)

(x2-2) . (x+1) = x3+x2-2x-2

(x2-1) . (x+2) = x3+2x2-x-2

=> (x2-2) (x+1) ≠ (x2-1) (x+2)

Vậy \(\dfrac{x^2-2}{x^2-1}\)\(\dfrac{x+2}{x+1}\)(đẳng thức sai)

Chữa lại: \(\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}\)=\(\dfrac{x+2}{x+1}\)

d. \(\dfrac{2x^2-5x+3}{x^2+3x-4}\)=\(\dfrac{2x^2-x-3}{x^2+5x+4}\)

(2x2-5x+3) . (x2+5x+4) = 2x4+10x3+8x2-5x3-25x2-20x+3x2+15x+12

= 2x4+5x3-14x2-5x+12

(x2+3x-4) . (2x2-x-3) = 2x4-x3-3x2+6x3-3x2-9x-8x2+4x+12

= 2x4+5x3-14x2-5x+12

=> (2x2-5x+3) (x2+5x+4) = (x2+3x-4) (2x2-x-3)

Vậy \(\dfrac{2x^2-5x+3}{x^2+3x-4}\)=\(\dfrac{2x^2-x-3}{x^2+5x+4}\)

Bài 1.3* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 24)

Cho hai phân thức \(\dfrac{P}{Q}\) và \(\dfrac{R}{S}\).

Chứng tỏ rằng : 

a) Nếu \(\dfrac{P}{Q}=\dfrac{R}{S}\) thì \(\dfrac{P+Q}{Q}=\dfrac{R+S}{S}\)

b) Nếu \(\dfrac{P}{Q}=\dfrac{R}{S}\) và \(P\ne Q\) thì \(R\ne S\) và \(\dfrac{P}{Q-P}=\dfrac{R}{S-R}\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\dfrac{P}{Q}=\dfrac{R}{S}\Rightarrow PS=QR\)

\(\Leftrightarrow PS+QS=QR+QS\)

\(\Leftrightarrow S\left(P+Q\right)=Q\left(R+S\right)\)

điều kiện Q,s khác 0 => chia hau vế cho QS

\(\Leftrightarrow\dfrac{S\left(P+Q\right)}{QS}=\dfrac{Q\left(R+S\right)}{QS}\Leftrightarrow\dfrac{\left(P+Q\right)}{Q}=\dfrac{\left(R+S\right)}{S}\) đpcm

Bài 2 (Sách bài tập - trang 24)

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau :

a) \(\dfrac{A}{2x-1}=\dfrac{6x^2+3x}{4x^2-1}\)

b) \(\dfrac{4x^2-3x-7}{A}=\dfrac{4x-7}{2x+3}\)

c) \(\dfrac{4x^2-7x+3}{x^2-1}=\dfrac{A}{x^2+2x+1}\)

d) \(\dfrac{x^2-2x}{2x^2-3x-2}=\dfrac{x^2+2x}{A}\)

Hướng dẫn giải

Phân thức đại số

Bài 1.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 24)

Tìm đa thức P để \(\dfrac{x-3}{x^2+x+1}=\dfrac{P}{x^3-1}\)

Phương án nào sau đây đúng ?

(A) \(P=x^2+3\)                     (B) \(P=x^2-4x+3\)

(C) \(P=x+3\)                       (D) \(P=x^2-x-3\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{x-3}{x^2+x+1}=\dfrac{P}{x^3-1}\)

\(\Leftrightarrow P\left(x^2+x+1\right)=\left(x-3\right)\left(x^3-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\left(x^2+x+1\right)=\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(x-3\right)\left(x-1\right)=x^2-4x+3\)

Vậy chọn (B) là đúng

Bài 1 (Sách bài tập - trang 23)

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau :

a) \(\dfrac{x^2y^3}{5}=\dfrac{7x^3y^4}{35xy}\)

b) \(\dfrac{x^2\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)^2}=\dfrac{x}{x+2}\)

c) \(\dfrac{3-x}{3+x}=\dfrac{x^2-6x+9}{9-x^2}\)

d) \(\dfrac{x^3-4x}{10-5x}=\dfrac{-x^2-2x}{5}\)

Hướng dẫn giải

a. \(x^2y^3.35xy=5.7x^3y^4\)

\(\Leftrightarrow35x^3y^4=35x^3y^4\Rightarrowđpcm\)

\(b.x^2\left(x+2\right).\left(x+2\right)=x\left(x+2\right)^2.x\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x+2\right)^2=x^2\left(x+2\right)^2\Rightarrowđpcm\)

\(c.\left(3-x\right)\left(9-x^2\right)=\left(3+x\right)\left(x^2-6x+9\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(3-x\right)\left(3+x\right)=\left(3+x\right)\left(3-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(3-x\right)^2\left(3+x\right)=\left(3-x\right)^2\left(3+x\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(d.5\left(x^3-4x\right)=\left(10-5x\right)\left(-x^2-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow5x^3-20x=5x^3-20x\Rightarrowđpcm\)

Bài 1.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 24)

Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy tìm hai đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức :

a) \(\dfrac{\left(x+2\right)P}{x-2}=\dfrac{\left(x-1\right)Q}{x^2-4}\)

b) \(\dfrac{\left(x+2\right)P}{x^2-1}=\dfrac{\left(x-2\right)Q}{x^2-2x+1}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{\left(x+2\right)P}{x-2}=\dfrac{\left(x-1\right)Q}{x^2-4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4\right)\left(x+2\right)P=\left(x-2\right)\left(x-1\right)Q\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2\right)^2\left(x-2\right)P=\left(x-2\right)\left(x-1\right)Q\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2\right)^2P=\left(x-1\right)Q\)

\(\Leftrightarrow P=x-1\)

\(Q=\left(x+2\right)^2=x^2+4x+4\)

b)\(\dfrac{\left(x+2\right)P}{x^2-1}=\dfrac{\left(x-2\right)Q}{x^2-2x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)P=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)Q\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)P=\left(x+1\right)\left(x-2\right)Q\)

\(\Leftrightarrow P=\left(x+1\right)\left(x-2\right)=x^2-x-2\)

\(Q=\left(x-1\right)\left(x+2\right)=x^2+x-2\)