Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 13 (Sách bài tập - trang 7)

Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng :

a) \(x^2+6x+9\)

b) \(x^2+x+\dfrac{1}{4}\)

c) \(2xy^2+x^2y^4+1\)

Hướng dẫn giải

a) x2+6x+9=x2+2.x.3+32=(x+3)2

b) x2+x+\(\dfrac{1}{4}\)=x2+2.x.\(\dfrac{1}{2}\)+\(\dfrac{1}{4}\)=(x+\(\dfrac{1}{2}\))2

c) 2xy2+x2y4+1=(xy2)2+2.xy2+1=(xy2+1)2

Bài 11 (Sách bài tập - trang 7)

Tính :

a) \(\left(x+2y\right)^2\)

b) \(\left(x-3y\right)\left(x+3y\right)\)

c) \(\left(5-x\right)^2\)

Hướng dẫn giải

a) (x+2y)2=x2+4xy+4y2

b) (x-3y)(x+3y)=x2-9y2

c) (5-x)2=25-10x+x2

Bài 12 (Sách bài tập - trang 7)

Tính :

a) \(\left(x-1\right)^2\)

b) \(\left(3-y\right)^2\)

c) \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\)

Hướng dẫn giải

a, x^2-2x+1

b,9-6y+y^2

c,x^2-x+1/4

Bài 18 (Sách bài tập - trang 7)

Chứng tỏ rằng :

a) \(x^2-6x+10>0\) với mọi \(x\)

b) \(4x-x^2-5< 0\) với mọi \(x\)

Hướng dẫn giải

a) \(x^2\) − 6x + 10

= ( \(x^2\) − 6x + 9) + 1

= \(\left(x-3\right)^2\) + 1

Ta thấy : \(\left(x-3\right)^2\) \(\ge\) 0

\(\left(x-3\right)^2\) + 1 > 0 với mọi x

b) \(4x-x^2\) − 5

= − ( − 4 + \(x^2\)+ 5)

= − ( \(x^2\) − 4x + 5)

= − (\(x^2\) − 4x + 4 +1)

= − (x − 2) \(^2\) − 1

Ta thấy : − (x − 2)\(^2\) \(\le\) 0

− (x − 2)\(^2\) − < 0 với mọi x

\(x^2\)\(x^2\)\(x^2\)

Bài 3.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 8)

Cho \(x^2+y^2=26\) và \(xy=5\), giá trị của \(\left(x-y\right)^2\) là :

(A) 4                      (B) 16                    (C) 21                        (D) 36

Hãy chọn kết quả đúng ?

Hướng dẫn giải

B

Bài 3.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 8)

Kết quả của tích \(\left(a^2+2a+4\right)\left(a-2\right)\) là :

(A) \(\left(a+2\right)^3\)                    (B) \(\left(a-2\right)^3\)                   (C) \(a^3+8\)                    (D) \(a^3-8\)

Hãy chọn kết quả đúng ?

Hướng dẫn giải

\(\left(a^2+2a+4\right)\left(a-2\right)\\ =\left(a-2\right)\left(a^2+2a+2.2\right)\\ =a^3-8\)

Chọn D

Bài 17 (Sách bài tập - trang 7)

Chứng minh rằng :

a) \(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=2a^3\)

b) \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)^2+ab\right]\)

c) \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

Hướng dẫn giải

\(a,\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3-b^3\right)=2a^3\Rightarrowđpcm\)

\(b,\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)^2+ab\right]=\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2+ab\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)\Rightarrowđpcm\)

\(c,\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=\left(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\right)+\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\)\(=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\Rightarrowđpcm\)

Bài 3.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 8)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(P=\left(5x-1\right)+2\left(1-5x\right)\left(4+5x\right)+\left(5x+4\right)^2\)

b) \(Q=\left(x-y\right)^3+\left(x+y\right)^3+\left(y-x\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)

Hướng dẫn giải

Q=\(\left(x-y\right)^3+x^3+3x^2y+3xy^2-\left(x-y\right)^3-3x^2y-3xy^2\)

Q=\(x^3+y^3\)

Bài 14 (Sách bài tập - trang 7)

Rút gọn biểu thức :

a) \(\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)

b) \(2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)

c) \(\left(x-y+z\right)^2+\left(z-y\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)\)

Hướng dẫn giải

\(a,\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=2\left(x^2+y^2\right)\)\(b,2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2=2x^2-2y^2+x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=3x^2\)\(c,\left(x-y+z\right)^2+\left(z-y\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)=\left[\left(x-y+z\right)-\left(z-y\right)\right]^2=\left(x-2y\right)^2\)

Bài 20 (Sách bài tập - trang 7)

Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức :

a) \(A=4x-x^2+3\)

b) \(B=x-x^2\)

c) \(N=2x-2x^2-5\)

Hướng dẫn giải

\(a,4x-x^2+3=-\left(x^2-4x+4\right)+7=-\left(x-2\right)^2+7\le7\)Vậy Max A= 7 khi (x-2)2=0 \(\Rightarrow x=2\)

\(B=x-x^2=-\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)Vậy Max B=\(\dfrac{1}{4}\) khi \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(N=2x-2x^2-5=-2\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{39}{8}=-2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{39}{8}\le\dfrac{-39}{8}\)Vậy Max N = \(\dfrac{-39}{8}\) khi \(-2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Bài 3.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 8)

Chứng minh hằng đẳng thức :

                     \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Hướng dẫn giải

(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)

<=>(a+b+c)3-a3-b3-c3=3(a+b)(b+c)(c+a) (1)

Ta có:(a+b+c)3-a3-b3-c3=[(a+b+c)3-a3]-(b3+c3)

=(a+b+c-a)(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+a2+ab+ac+a2)-(b+c)(b2-bc+c2)

=(b+c)(3a2+b2+c2+3ab+3ac+2bc)-(b+c)(b2-bc+c2)

=(b+c)(3a2+b2+c2+3ab+3ac+2bc-b2+bc-c2)

=(b+c)(3a2+3ab+3ac+3bc)

=3(b+c)](a2+ab)+(ac+bc)]

=3(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]

=3(b+c)(a+c)(a+b)

=>(1) đúng => đpcm

Bài 15 (Sách bài tập - trang 7)

Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \(a^2\) chia cho 5 dư 1 ?

Hướng dẫn giải

a chia 5 dư 4=>a=5k+4

=>a2=(5k+4)(5k+4)

=(5k+4)5k+4(5k+4)

=(5k+4)5k+5.4k+3.5+1 chia 5 dư 1

=>đpcm


Bài 3.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 8)

Rút gọn biểu thức :

                \(P=12\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

Hướng dẫn giải

\(P=12\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+16\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(5^2-1\right)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(5^4-1\right)\left(5^4+1\right)\cdot\left(5^8+1\right)\cdot\left(5^{16}+1\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(5^8-1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(5^{16}-1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(5^{32}-1\right)\)

Bài 16 (Sách bài tập - trang 7)

Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) \(x^2-y^2\) tại \(x=87\) và \(y=13\)

b) \(x^3-3x^2+3x-1\) tại \(x=101\)

c) \(x^3+9x^2+27x+27\) tại \(x=97\)

Hướng dẫn giải

\(a,x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=\left(87+13\right)\left(87-13\right)=100.74=7400\)\(b,x^3-3x^2+3x-1=\left(x-1\right)^3=\left(101-1\right)^3=100^3=1000000\)c,\(x^3+9x^2+27x+27=\left(x+3\right)^3=\left(97+3\right)^3=1000000\)

Bài 19 (Sách bài tập - trang 7)

Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức :

a) \(P=x^2-2x+5\)

b) \(Q=2x^2-6x\)

c) \(M=x^2+y^2-x+6y+10\)

Hướng dẫn giải

Câu 1:

\(a,P=x^2-2x+5=\left(x^2-2x+1\right)+4\)

\(=\left(x-1\right)^2+4\ge4\forall x\)

Vậy Min \(P=4\) khi \(x-1=0\Rightarrow x=1\)

\(b,Q=2x^2-6x=2\left(x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}\right)-\dfrac{9}{2}\)

\(=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{2}\ge-\dfrac{9}{2}\forall x\)

Vậy \(MinQ=-\dfrac{9}{2}\) khi \(x-\dfrac{3}{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

\(c,M=x^2+y^2-x+6y+10\)

\(=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\left(y^2+9y+9\right)+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall x\)

Vậy Min \(M=\dfrac{3}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=0\\y+3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=-3\end{matrix}\right.\)