Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 7 (Sách bài tập - tập 2 - trang 84)

Hình 6

Cho biết MN // BC, AB = 25 cm, BC = 45 cm, AM = 16 cm, AN = 10 cm

Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng MN, AC ?

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Bài 13 (Sách bài tập - tập 2 - trang 85)

Cho hình thang ABCD (AB //CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M (h.12).

Chứng minh rằng :

a) MN //AB

b) \(M=\dfrac{CD-AB}{2}\)

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD (1)

Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên )

AD = BC (ABCD cân)

CD cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCD\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

Hay \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra: (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Lại có: \(MD=3MO\left(gt\right)\Rightarrow NC=3NO\)

Trong tam giác OCD, ta có: \(\dfrac{MO}{MD}=\dfrac{NO}{NC}=\dfrac{1}{3}\)

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét )

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD

\(\Rightarrow\dfrac{OM}{OB}=\dfrac{MN}{AB}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{OM}{2OM}=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: \(AB=2MN=2.1,4=2,8\left(cm\right)\)

b) Ta có: \(\dfrac{CD-AB}{2}=\dfrac{5,6-2,8}{2}=\dfrac{2,8}{2}=1,4\left(cm\right)\)

Vậy: \(MN=\dfrac{CD-AB}{2}\)

Bài 6 (Sách bài tập - tập 2 - trang 84)

Cho tam giác ABC có cạnh BC = a. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự tại M, N (h.5).

Tính theo a độ dài của các đoạn thẳng DM và EN ?

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Bài 8 (Sách bài tập - tập 2 - trang 84)

Hình 7 

Cho biết tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB = 24 cm, AM = 16 cm, AN = 12 cm. Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng NC và BC ?

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Bài 2.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 86)

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại O. Chứng minh rằng :

                          \(OM.OC=ON.OB\)

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Bài 14 (Sách bài tập - tập 2 - trang 85)

Hình thang ABCD (AB //CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng OM = ON (h.13)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC ta có:

ON // AB (gt)

=> \(\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{CO}{CA}\left(1\right)\)\(\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{CO}{CA}\left(2\right)\)

Xét tam giác ABD ta có:

OM // AB (gt)

=> \(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{DO}{DB}\left(2\right)\)

Vì AB // CD nên \(\dfrac{DO}{DB}=\dfrac{CO}{CA}\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{OM}{AB}=>OM=ON\)

Vậy OM = ON.

Bài 16 (Sách bài tập - tập 2 - trang 86)

Cho ba đoạn thẳng AB = 3cm, CD = 5cm, EF = 2cm. Dựng đoạn thẳng thứ tư có độ dài a sao cho \(\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{EF}{a}\) hay \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{a}\)

Tính giá trị của a ?

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Bài 12 (Sách bài tập - tập 2 - trang 85)

Hình thang cân ABCD (AB //CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O 9h.11).

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3OM, đáy lớn CD = 5,6 cm

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB

b) So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB

Hướng dẫn giải

Lời giải

a)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}MD=MB\\NA=NC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\)MN//DC

\(\Rightarrow\Delta OMN\approx\Delta ODC\approx OBA\)

Tỷ số đồng dạng

\(\dfrac{OM}{OD}=\dfrac{MN}{DC}=\dfrac{ON}{OC}\)\(\Rightarrow MN=\dfrac{OM}{OD}.DC=\dfrac{1}{4}.5,6=1,4\left(cm\right)\)

\(\dfrac{OM}{OB}=\dfrac{MN}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{OB}{OM}.MN=2MN=2,8\left(cm\right)\)

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}CD=4MN\\AB=2MN\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{CD-AB}{2}=\dfrac{4MN-2MN}{2}=MN\)

Bài 11* (Sách bài tập - tập 2 - trang 85)

Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trên cạnh bên AD lấy điểm E sao cho \(\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{p}{q}\). Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt BC tại F (h.10)

Chứng minh rằng :

                       \(EF=\dfrac{p.CD+q.AB}{p+q}\)

Hướng dẫn : Kẻ thêm đường chéo AC, cắt EF ở , rồi áp dụng hệ quả của định lí Ta - let vào các tam giác ADC và CAB

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Bài 10 (Sách bài tập - tập 2 - trang 84)

Cho hình thang ABCD (AB //CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q (h.9)

Chứng minh rằng MN = PQ ?

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Bài 9 (Sách bài tập - tập 2 - trang 84)

Hình thang ABCD (AB //CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.8)

Chứng minh rằng :

                          \(OA.OD=OB.OC\)

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Bài 2.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 86)

Hình bs.1 cho biết AB //CD, \(O\in MN\), MN = 5cm, OB = 1,5 cm, OD = 4,5 cm. MB = 1cm

Hãy chọn kết quả đúng :

1) Độ dài của đoạn thẳng MO (tính theo đơn vị cm) là :

(A) 1,25                     (B) 2,25

(C) 3,25                     (D) 4,25

2) Độ dài đoạn thẳng NO (tính theo đơn vị cm) là :

(A) 5,75                     (B) 4,25

(C) 3,75                     (D) 2,75

Hướng dẫn giải

Lời giải

a)

\(\Delta OMB\approx\Delta OND\Rightarrow\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{OM}{ON}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}OM+ON=5\\\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{1,5}{4,5}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}OM+ON=5\\3OM-ON=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}OM=\dfrac{5}{4}\left(cm\right)\\ON=\dfrac{15}{4}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a) \(\dfrac{5}{4}=1,25\Rightarrow DA\left(A\right)\)

b) \(\dfrac{15}{4}=3+\dfrac{3}{4}=3,75\rightarrow PA\left(C\right)\)

Bài 2.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 86)

Hình thang ABCD (AB//CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M, K, N, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng :

a)   \(\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{AB}{CD}\)

b)*  \(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{BC}{AD}\)

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Bài 15 (Sách bài tập - tập 2 - trang 86)

Cho trước 3 đoạn thẳng có độ dài tương ứng là m, n và p. Dựng đoạn thẳng thứ tư có độ dàu q sao cho \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{p}{q}\) ?

Hướng dẫn giải

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet