Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g)

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 55 (Sách bài tập - tập 1 - trang 145)

Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}=\widehat{C}\). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. 

Chứng minh rằng : 

                                 DB = DC; AB = AC

Hướng dẫn giải

Giải

Trong ∆ADB, ta có:

\(\widehat{\text{B}}+\widehat{A1}+\widehat{D1}\)=180o(tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: \(\widehat{D1}\)=180o−(\(\widehat{\text{B}}+\widehat{A1}\)) (1)

Trong ∆ADC, ta có:

\(C+\widehat{A2}+\widehat{D2}\)=180o(tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra:\(\widehat{D2}\)=180o\((C+\widehat{A2})\) (2)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(gt)

\(\widehat{A1}=\widehat{A2}\) (gt)

Từ (1), (2) và (gt) suy ra: \(\widehat{D1}=\widehat{D2}\)

Xét ∆ADB và ∆ADC, ta có:

\(\widehat{A1}=\widehat{A2}\)

AD cạnh chung

\(\widehat{D1}=\widehat{D2}\) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ADB = ∆ADC(g.c.g)

Vậy: AB = AC (2 cạnh tương ứng)

DB = DC (2 cạnh tương ứng)

Bài 66* (Sách bài tập - tập 1 - trang 146)

Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^0\). Các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng ID = IE

Hướng dẫn : Kẻ tia phân giác của góc BIC 

Hướng dẫn giải

Tia phân giác của góc BIC cắt BC ở K. \(\Delta ABC\)\(\widehat{A}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=180^0-60^0=120^0,\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0.\)

\(\Delta BIC\)\(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=60^0\Rightarrow\widehat{BIC}=180^0-60^0=120^0.\)

Suy ra \(\widehat{I_1}=60^0,\widehat{I_4}=60^0.\)

IK là tia phân giác của góc BIC nên \(\widehat{I_2}=\widehat{I_3}=60^0.\)

\(\Delta BIE = \Delta BIK\) (g.c.g) => IE = IK (2 cạnh tương ứng).

\(\Delta CID = \Delta CIK\)(g.c.g) => ID = IK (2 cạnh tương ứng).

Do đó ID = IE.

A B C I D E K 60 độ 1 2 3 4 1 1 2 2

Bài 5.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 146)

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh DE và BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh :

a) BC // DE

b) AM = AN

Hướng dẫn giải

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g)

a) \(\Delta ABC=\Delta ADE\left(c.g.c\right)\) nên \(\widehat{C}=\widehat{E}\) suy ra DE //BC

b) \(\Delta AEM=\Delta ACN\left(g.c.g\right)\) nên AM = AN

Bài 64* (Sách bài tập - tập 1 - trang 146)

Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh rằng :

a) \(DB=CF\)

b) \(\Delta BDC=\Delta FCD\)

c) \(DE\) // \(BC\) và \(DE=\dfrac{1}{2}BC\)

Hướng dẫn giải

Giải

a) Xét ∆ADE và ∆CFE, ta có:

AE = CE (gt)

ˆAED = CEF^ (đối đỉnh)

DE = FE(gt)

Suy ra: ∆ADE = ∆CFE (c.g.c)

⇒⇒ AD = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = DB (gt)

Vậy: DB = CF

b) Ta có: ∆ADE = ∆CFE (chứng minh trên)

⇒ˆADE = CFE^ (2 góc tương ứng)

⇒⇒ AD // CF (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Hay AB // CF

Xét ∆DBC = ∆CDF, ta có:

BD = CF (chứng minh trên)

ˆBDC = ˆFCD (hai góc so le trong vì CF // AB)

DC cạnh chung

Suy ra: ∆BDC = ∆FCD(c. g. c)

c) Ta có: ∆BDC = ∆FCD (chứng minh trên)

Suy ra: ˆC1 = ˆD1 (hai góc tương ứng)

Suy ra: DE // BC (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

\(\Delta\)BDC = ∆FCD => BC = DF (hai cạnh tương ứng)

DE = 1 : 2 . DF(gt). Vậy DE = 1 : 2 . BC

Bài 50 (Sách bài tập - tập 1 - trang 144)

Tìm các tam giác bằng nhau trên hình 55 (không xét các tam giác mà các cạnh chưa được kẻ) 

Hướng dẫn giải

-Xét tam giác vuông BDA và tam giác vuông BDC có:

ABD = CBD

BD: cạnh chung

=> tam giác BDA = tam giác BDC

-Ta có: góc G = góc H

góc FIG = góc EIH

Mà F + G + FIG = E + H + EIH = 1800

=> góc F = góc E

Xét tam giác IFG và tam giác IEH có:

IF = IE (gt)

FIG = EIH (gt)

góc F = góc E (cmt)

=> tam giác IFG = tam giác IEH

Bài 54 (Sách bài tập - tập 1 - trang 144)

Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE

a) Chứng minh rằng BE = CD

b) Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng \(\Delta BOD=\Delta COE\)

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆BEA và ∆CDA, ta có:

BA = CA (gt)

\(\widehat{A}\)chung

AE = AD (gt)

Suy ra: ∆BEA = ∆CDA (c.g.c)

Vậy BE = CD (hai cạnh tương ứng)

b) ∆BEA = ∆CDA (chứng minh trên)

\(\widehat{\text{B1}}=\widehat{\text{C1}}\);\(\widehat{\text{E1}}=\widehat{\text{D1}}\) (hai góc tương ứng)

\(\widehat{\text{E1}}+\widehat{\text{E2}}\)=180o (hai góc kề bù)

\(\widehat{\text{D1}}+\widehat{\text{D2}}\)=180o (hai góc kề bù)

Suy ra: \(\widehat{\text{E2}}=\widehat{\text{D2}}\)

AB = AC (gt)

AE + EC = AD + DB mà AE = AD (gt) => EC = DB

Xét ∆ODB và ∆OCE, ta có:

\(\widehat{\text{E2}}=\widehat{\text{D2}}\) (chứng minh trên)

DB = EC (chứng minh trên)

\(\widehat{\text{B1}}=\widehat{\text{C1}}\)(chứng minh trên)

Suy ra: ∆ODB = ∆OEC (g.c.g)

Bài 5.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 146)

Cho tam giâc ABC và tam giác có ba đỉnh là D, E, F. Biết AB = DF và \(\widehat{B}=\widehat{D}\)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

a) Nếu \(\widehat{A}=\widehat{F}\) thì hai tam giác đó  bằng nhau

b) Nếu \(\widehat{A}=\widehat{E}\) thì hai tam giác đó bằng nhau

c) Nếu \(\widehat{C}=\widehat{E}\) thì hai tam giác đó bằng nhau

Hướng dẫn giải

Trong các khẳng định sau:

- Khẳng định c) là đúng.

- Khẳng định a) ; b) là sai.

Bài 57 (Sách bài tập - tập 1 - trang 145)

Cho hình 58.

Trong đó DE // AB, DF // AC, EF // BC

Tính chu vi tam giác DEF ?

Hướng dẫn giải

​giải

*xét tam giác abc và tam giác abf có

góc abc=góc bà(so le trong)

ad;chung

góc bac=góc abf(so le trong)

suy ra tam giác abc=tam giác abf(gcg)

suy ra af=bc=4(2 cạnh tương ứng)

bf=ac=3

​*xét tam giác abc và tam giác ace có

góc acb=góc cae(số lẻ trong)

ac; chung

​gốc bac= gốc eca(slt)

​suy ra tam giác abc= tam giác ace

suy ra ae=bc=4(2 cạnh tương ứng)

ce=ab=2

* xét tam giác abc và tam giác dcb có

​góc acb= góc dbc(slt)

bc;chung

​góc abc= góc dcb

suy ra tam giác abc=tam giác dcb

suy ra dc=ab=2

db=ac=3

​ta có ef=ae+af=4+4=8

df=db+bf=3+3=6

de=dc+ce=2+2=4

​vậy chu vi của tam giác def là

​để+DF+EF=4+6+8=18(ĐƠN VỊ ĐO ĐỘ DÀI)

Bài 5.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 146)

Chứng minh rằng nếu hai tam giác bằng nhau thì hai đường cao tương ứng bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

undefined

Xét các tam giác bằng nhau \(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\).Kẻ \(AH\perp BC,A'H'\perp B'C'\)(hình bs 16)

Suy ra \(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\) nên AC=A'C',\(\widehat{C}=\widehat{C'}\)

Suy ra\(\Delta AHC=\Delta A'H'C'\)(cạnh huyền -góc nhọn) nên AH=A'H'

Bài 51 (Sách bài tập - tập 1 - trang 144)

Cho tam giác ADE có \(\widehat{D}=\widehat{E}\). Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M. Tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm N. So sánh các độ dài DN và EM ?

Hướng dẫn giải

Tam giác ADE có: \(\widehat{\text{D}}=\widehat{E}\)(gt)

\(\widehat{\text{D1}}=\widehat{D2}=\dfrac{1}{2}\widehat{D}\)(Vì DM là tia phân giác)

\(\widehat{\text{E1}}=\widehat{E2}=\dfrac{1}{2}\widehat{E}\)(Vì EN là tia phân giác)

Suy ra:\(\widehat{\text{D1}}=\widehat{D2}=\)\(\widehat{\text{E1}}=\widehat{E2}\)

Xét ∆DNE = ∆EMD, ta có:

\(\widehat{NDE}\widehat{=MED}\)((gt)

DE cạnh chung

\(\widehat{\text{D1}}=\widehat{E2}=\)(chứng minh trên)

Suy ra: ∆DNE = ∆EMD (g.c.g)

Vậy DE = EM (2 cạnh tương ứng).

Bài 52 (Sách bài tập - tập 1 - trang 144)

Cho hình 56.

Trong đó AB // HK, AH // BK. Chứng minh rằng AB = HK, AH = BK ?

Hướng dẫn giải

Nối A với K

Xét tam giác ABK và tam giác AHK có:

AK: cạnh chung

góc BAK = góc AKH (AB // HK)

góc HAK = góc AKB (AH //BK)

=> tam giác ABK = tam giác AHK

=> AB = HK (hai cạnh tương ứng)

Ta có: tam giác ABK = tam giác AHK

=> AH = BK (hai cạnh tương ứng)

Bài 60 (Sách bài tập - tập 1 - trang 145)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DE vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB = BE ?

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ:

A B C D E

Xét hai tam giác vuông ABD và EBD có:

BD: cạnh chung

góc ABD = góc EBD

=> tam giác ABD = tam giác EBD

=> AB = BE (hai cạnh tương ứng)

Bài 53 (Sách bài tập - tập 1 - trang 144)

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở O. Kẻ \(OD\perp AC;OE\perp AB\).

Chứng minh rằng OD = OE ?

Hướng dẫn giải

Giải

Kẻ OH⊥BC

Xét hai tam giác vuông OEB và OHB, ta có:

\(\widehat{\text{OEB}}=\widehat{\text{OHB}}\)=90o

Cạnh huyền OB chung

\(\widehat{EBO}=\widehat{\text{HB}O}\)(gt)

Suy ra: ∆OEB = ∆OHB (cạnh huyền, góc nhọn)

OE = OH (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét hai tam giác vuông OHC và ODC, ta có:

\(\widehat{\text{OHC}}=\widehat{\text{ODC}}\)=90o

Cạnh huyền OC chung

\(\widehat{\text{HCO}}=\widehat{\text{DCO}}\)(gt)

Suy ra: ∆OHC = ∆ODC (cạnh huyền, góc nhọn)

OH = OD (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OE = OD.


Bài 56 (Sách bài tập - tập 1 - trang 145)

Cho hình 57, chứng minh rằng O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AD, BC

Hướng dẫn giải

Ta có: góc B + góc D = 1200 + 600 = 1800

Mà hai góc này TCP

=> AB // CD

Xét tam giác ABO và tam giác CDO có:

AB = CD (GT)

ABC = BCD (AB // CD)

BAD = ADC (AB // CD)

=> tam giác ABO = tam giác CDO

=> AO = OD

=> O là trung điểm AD

Ta có: tam giác ABO = tam giác CDO

=> BO = OC

=> O là trung điểm BC

Bài 62* (Sách bài tập - tập 1 - trang 145)

Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng :

a) DM = AH

b) MN đi qua trung điểm của DE

Hướng dẫn giải

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g)

Bài 61 (Sách bài tập - tập 1 - trang 145)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng :

a) \(\Delta BAD=\Delta ACE\)

b) \(DE=BD+CE\)

Hướng dẫn giải

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g)

Bài 5.4* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BE cắt đường thẳng CA ở K. Chứng minh AK = AC ?

Hướng dẫn giải

A B C D E K

Xét hai tam giác KAD và BAE có:

\(\widehat{KAD}=\widehat{BAE}\left(=90^o\right)\)

AD = AE (gt)

\(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\) (cùng phụ với góc K)

Vậy: \(\Delta KAD=\Delta BAE\left(g-c-g\right)\)

Suy ra: AK = AB (hai cạnh tương ứng)

Ta lại có AB = AC

Do đó: AK = AC.

Bài 59 (Sách bài tập - tập 1 - trang 145)

Cho tam giác ABC có AB = 2,5cm, AC = 3cm, BC = 3,5cm. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, qua C vẽ đường thẳng song song với AB, chúng cắt nhau ở D. Tính chu vi tam giác ACD ?

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ:

A B C D

Xét tam giác ABC và tam giác ACD có:

AC: cạnh chung

góc BAC = góc ACD (AB // CD)

góc DAC = góc ACB (AD // BC)

=> tam giác ABC = tam giác ADC

=> AB = DC = 2,5 cm

ta có: tam giác ABC = tam giác ADC

=> BC = AD = 3,5 cm

Chu vi tam giác ACD:

AC + AD + CD = 2,5 cm + 3,5 cm + 3 cm

= 9 cm

Vậy chu vi tam giác ACD là 9 cm.

Bài 63 (Sách bài tập - tập 1 - trang 146)

Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh rằng :

a) \(AD=EF\)

b) \(\Delta ADE=\Delta EFC\)

c) \(AE=EC\)

Hướng dẫn giải

A B C D E F

* Xét tam giác BDE và tam giác EFB có:

+) \widehat{DEB} = \widehat{EBF} ( so le trong)

+) BE chung

+) \widehat{FEB} = \widehat{DBE} ( so le trong)

=> Tam giác BDE = tam giác EFB ( g.c.g )

=> EF = BD ( 2 cạnh tương ứng)

* Mà AD = BD ( D là trung điểm của AB)

=> EF = AD. ( cpcm)

Bài 49 (Sách bài tập - tập 1 - trang 144)

Vẽ tam giác ABC biết \(\widehat{B}=90^0;BC=2cm,\widehat{C}=60^0\). Sau đó đo AC để kiểm tra rằng AC = 4cm ?

Hướng dẫn giải

AC = 4cm.

Bài 65* (Sách bài tập - tập 1 - trang 146)

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E, vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng DM + EN = BC

Hướng dẫn : Qua N, kẻ đường thẳng song song với AB

Hướng dẫn giải

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g)

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g)

Bài 58 (Sách bài tập - tập 1 - trang 145)

Cho đoạn thẳng AB. Qua A vẽ đường thẳng m vuông góc với AB. Qua B vẽ đường thẳng n vuông góc với AB. Qua trung điểm O của AB vẽ một đường thẳng cắt m ở C và cắt n ở D. So sánh các độ dài OC và OD ?

Hướng dẫn giải

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g)