Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Lý thuyết

Bài 74 (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Tìm hai số \(x\) và \(y\), biết rằng :  \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{5}\) và \(x+y=-21\) ?

Hướng dẫn giải

\(x=-6;x=-15.\)

Bài 75 (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Tìm hai số \(x\) và \(y\), biết rằng :  \(7x=3y\) và \(x-y=16\) ?

Hướng dẫn giải

Theo đề ta có: \(7x=3y\)\(x-y=16\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{7}\)\(x-y=16\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{x-y}{3-7}\)\(=\dfrac{16}{-4}=-4\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{3}=-4=-4.3=-12\)\(\Rightarrow\dfrac{y}{7}=-4=-4.7=-28\)

Vậy \(x=-12;y=-28\)

Bài 76 (Sách bài tập - tập 1 - trang 21)

Tính độ dài các cạnh của một tam giác, biết chu vi  là 22cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2; 4; 5

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài các cạnh của 1 tam giác lần lượt là: x, y , z.

Ta có:

Độ dài các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5 => x/2=y/4=z/5

x+y+z=22

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x/2=y/4=z/5=x+y+z/2+4+5=22/11=2

x=4; y=8; z=10

Bài 77 (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

Tính số học sinh của lớp 7A và 7B, biết rằng lớp 7A ít hơn lớp 7B là 5 học sinh và tỉ số học sinh của hai lớp là 8 : 9 ?

Hướng dẫn giải

Lớp 7A : 40 học sinh

Lớp 7B : 45 học sinh.

Bài 78 (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

So sánh các số a, b và c biết rằng \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\)

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=1\\\dfrac{b}{c}=1\\\dfrac{c}{a}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c\)

Vậy \(a=b=c\)

Bài 81 (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

Tìm các số a, b, c biết rằng :

              \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3};\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{4}\) và \(a-b+c=-49\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}\Rightarrow\dfrac{a}{10}=\dfrac{b}{15};\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{4}\Rightarrow\dfrac{b}{15}=\dfrac{c}{12}.\)

Do đó : \(\dfrac{a}{10}=\dfrac{b}{15}=\dfrac{c}{12}=\dfrac{a-b+c}{10-15+12}=\dfrac{-49}{7}=-7.\)

\(\Rightarrow a=-70;b=-105;c=-84.\)

Bài 79 (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

Tìm các số a, b, c, d biết rằng :

                    \(a:b:c:d=2:3:4:5\) và \(a+b+c+d=-42\)

Hướng dẫn giải

\(a=-6;b=-9;c=-12;d=-15.\)

Bài 80 (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

Tìm các số a, b, c biết rằng :

              \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}\) và \(a+2b-3c=-20\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{2b}{6}=\dfrac{3c}{12}=\dfrac{a+2b-3c}{2+6-12}=\dfrac{-20}{-4}=5\Rightarrow a=10;b=15;c=20.\)

Bài 82 (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

Tìm các số a, b, c biết rằng :

              \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}\) và \(a^2-b^2+2c^2=108\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}\Rightarrow\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{c^2}{16}\Rightarrow\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{2c^2}{32}=\dfrac{a^2-b^2+2c^2}{4-9+32}=\dfrac{108}{27}=4.\)

Bài 83 (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10 000 đồng. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ ?

Hướng dẫn giải

Gọi a,b,c lần lượt là số tờ giấy bạc loại 2000đ,5000đ và 10000đ.(a,b,c \(\in N^{\cdot}\))

Theo đề bài,ta có \(2000a=5000b=10000c\)\(a+b+c=16\)

\(\Rightarrow\dfrac{2000a}{10000}=\dfrac{5000b}{10000}=\dfrac{10000c}{10000}\)\(a+b+c=16\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{1}\)\(a+b+c=16\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

\(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{1}=\dfrac{a+b+c}{5+2+1}=\dfrac{16}{8}=2\)

Với\(\dfrac{a}{5}=2\Rightarrow a=10\)

\(\dfrac{b}{2}=2\Rightarrow b=4\)

\(\dfrac{c}{1}=2\Rightarrow c=2\)

Vậy loại 2000đ mua được 10 tờ

loại 5000đ mua được 4 tờ

loại 10000đ mua được 2 tờ

Bài 84 (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

Chứng minh rằng nếu \(a^2=bc,\left(a\ne b,a\ne c\right)\) thì \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(a^2\) \(=b.c\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\)

Từ \(\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

Vậy \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

Bài 8.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

Nếu \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{8}\) và \(x+y=-22\) thì :

(A) \(x=3;y=8\)                                  (B) \(x=-6;y=-16\)

(C) \(x=-16;y=-6\)                         (D) \(x=6;y=-28\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

B là đáp án đúng.

Bài 8.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 22)

Nếu \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) thì ta có :

(A) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b-d}\)                                  (B) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bd}\)

(C) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}\)                                   (D) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{b+d}\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

c

Bài 8.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 23)

Cho \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).

Chứng minh :

                      \(\dfrac{a}{3a+b}=\dfrac{c}{3c+d}\)

 

Hướng dẫn giải

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) thì \(a=b.k;c=d.k\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{3.a+b}=\dfrac{b.k}{3.b.k+b}=\dfrac{b.k}{b.\left(3k+1\right)}=\dfrac{k}{3k+1}\left(1\right)\\ \dfrac{c}{3.c+d}=\dfrac{d.k}{3.d.k+d}=\dfrac{d.k}{d.\left(3k+1\right)}=\dfrac{k}{3k+1}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{a}{3.a+b}=\dfrac{c}{3c+d}\)

Bài 8.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 23)

Cho \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).

Chứng minh :

a) \(\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\dfrac{ab}{cd}\)

b) \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{ab}{cd}\)

                     

Hướng dẫn giải

a, Ta có :\(\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\dfrac{ab}{cd}=k\\ \Rightarrow a=bk;c=dk\)

Thay a = bk và c = dk vào VT ta được:

\(\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2-b^2}{\left(dk\right)^2-d^2}=\dfrac{b^2\left(k^2-1\right)}{d^2\left(k^2-1\right)}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

Thay a = bk và c = dk vào VP ta được :

\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\times b}{dk\times d}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

=> VT = VP

Vậy \(\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\dfrac{ab}{cd}\)

b, Ta có : \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{ab}{cd}=k\)

\(\Rightarrow a=bk;c=dk\)

Thay a = bk và c = dk vào VT ta được:


\(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\dfrac{\left[b\times\left(k-1\right)\right]^2}{\left[d\times\left(k-1\right)\right]^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

Thay a = bk và c = dk vào VP ta được :

\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\times b}{dk\times d}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

=> VT = VP

Vậy \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{ab}{cd}\)

Bài 8.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 23)

Tìm \(x,y\) biết : 

           \(\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{y}\) và \(xy=96\)

Hướng dẫn giải

xy = 96 => x = 96/y => 2/x = y/48

=> y/48 = 3/y => y = 12 hoặc -12

=> x = 8 hoặc -8

Bài 8.6* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 23)

Biết rằng :

                \(\dfrac{bz-cy}{z}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}\)

Hãy chứng minh :

                     \(x:y:z=a:b:c\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}\)

\(=\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}=\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}=\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\)

\(=\dfrac{abz-acy}{a^2}=\dfrac{bcx-abz}{b^2}=\dfrac{acy-bcx}{c^2}\)

\(=\dfrac{abz-acy+bcx-abz+acy-bcx}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{0}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Rightarrow abz-acy=bcx-abz=acy-bcx\)

\(\Rightarrow a\left(bz-cy\right)=b\left(cx-az\right)=c\left(ay-bx\right)\)

\(\Rightarrow bz-cy=cx-az=ay-bx\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}bx=cy\\cx=az\\ay=bx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{c}=\dfrac{y}{b}\\\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\\\dfrac{y}{b}=\dfrac{x}{a}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

Vậy \(x:y:z=a:b:c\)

Loading...