Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 35 (Sách bài tập - tập 2 - trang 42)

Tam giác ABC có BC = 10cm, các đường trung tuyến BD và CE. 

Chứng minh rằng :

                      BD + CE  > 15 cm

Hướng dẫn giải

Bài 37* (Sách bài tập - tập 2 - trang 43)

Theo kết quả của bài 64 chương II, phần Hình học, SBT Toán 7 một ta có :

Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng :

a) IK // DE, IK = DE

b) \(AG=\dfrac{2}{3}AD\)

Hướng dẫn giải

a) DE // AB, DE = \(\dfrac{1}{2}\)AB, IK // AB, IK = \(\dfrac{1}{2}\)AB

=> DE//IK và DE = IK

b) Xét tg GDE và tg GIK có:

DE = IK (cmt)

GDE = GIK (slt)

GED = GKI (slt)

=> tg GDE = tg GIK (g.c.g)

=> GD = GI ( c.t.ứ)

Có GD = GI = IA nên AG = \(\dfrac{2}{3}\)AD

Bài 4.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 44)

Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BD. Các đoạn thẳng CE và CF lần lượt cắt đoạn thẳng AB và I, J. Chứng minh rằng :

                               AI  = IJ = JB

Hướng dẫn giải

Bài 4.6 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 44)

Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM

a) Tìm trọng tâm của tam giác AEM

b) So sánh các cạnh của tam giác ABC với các đường trung tuyến của tam giác AEM

c) So sánh các đường trung tuyến của tam giác ABC với các cạnh của tam giác AEM

Hướng dẫn giải

Giải

a) Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa do

CD=12CB=12CMCD=12CB=12CM

Nên C là trọng tâm của tam giá AEM.

b) Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ∆ADB = ∆EDG (c.g.c) nên AB = EC

Vậy: AC=23AF;BC=CM=23MD;AB=EC=23EIAC=23AF;BC=CM=23MD;AB=EC=23EI

c) Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên AD=12AEAD=12AE

Gọi BP, CQ là các trung tuyến của ∆ABC.

∆BCP = ∆MCF => BP=FM=12EMBP=FM=12EM. Ta sẽ chứng minh CQ=12AMCQ=12AM

Ta có:

ΔABD=ΔECD⇒ˆBAD=ˆCED⇒AB//EC⇒ˆQAC=ˆICAΔABD=ΔECD⇒BAD^=CED^⇒AB//EC⇒QAC^=ICA^

Hai tam giác ACQ và CAI có cạnh AC chung, ˆQAC=ˆICAQAC^=ICA^;

AQ=12AB=12EC=ICAQ=12AB=12EC=IC nên chúng bằng nhau.

Vậy CQ=AI=12AMCQ=AI=12AM.

Tóm lại: AD=12AE,BP=12EM,CQ=12AM

Bài 31 (Sách bài tập - tập 2 - trang 42)

Cho hình 7.

Điền vào chỗ trống :

\(GK=.....CK;AG=.....GM;GK=.....CG;AM=......AG;AM=.....GM\)

Hướng dẫn giải

Bài 36 (Sách bài tập - tập 2 - trang 43)

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho \(BE=\dfrac{1}{3}BC\). Gọi K là giao điểm của AE và CD. 

Chứng minh rằng DK = KC 

Hướng dẫn giải

Bài 39* (Sách bài tập - tập 2 - trang 43)

Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC.

Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^0\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 43)

Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là :

(A) điểm D                                (B) điểm E

(C) điểm O                                (D) cả (A), (B), (C) đều sai

Hãy chọn phương án đúng ?

Hướng dẫn giải

Bài 4.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 44)

Chứng minh rằng các trung tuyến của một tam giác phân chia tam giác đó thành 6 tam giác mà diện tích của chúng (đôi một) bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Bài 4.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 44)

Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến \(AA_1\)và \(BB_1\) cắt nhau tại điểm O

Hãy tính diện tích tam giác ABC nếu diện tích tam giác ABO bằng \(5cm^2\)

Hướng dẫn giải

Bài 32 (Sách bài tập - tập 2 - trang 42)

Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân ?

Hướng dẫn giải

Gọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A (đpcm)

Bài 38* (Sách bài tập - tập 2 - trang 43)

Cho tam giác ABC vuông tại A. đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a) Tính số đo góc ABD

b) Chứng minh : \(\Delta ABC=\Delta BAD\)

c) So sánh độ dài AM và BC

Hướng dẫn giải

Giải sách bài tập Toán 7 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 7

a. Xét ΔAMC và ΔBMD, ta có:

BM = MC (gt)

∠(AMB) = ∠(BMC) (đối đỉnh)

AM = MD (gt)

Suy ra: ΔAMC = ΔDMB (c.g.c)

⇒ ∠(MAC) = ∠D (2 góc tương ứng)

Suy ra: AC // BD

(vì có 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Mà AB ⊥ AC (gt) nên AB ⊥ BD.

Vậy (ABD) = 90o

b. Xét ΔABC và ΔBAD ta có:

AB cạnh chung

∠(BAC) = ∠(ABD) = 90o

AC = BD (vì ΔAMC = ΔDMB)

Suy ra: ΔABC = ΔBAD (c.g.c)

c. Ta có: ΔABC = ΔBAD ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng)

Mặt khác: AM = 1/2 AD

Vậy AM = 1/2 BC.

Bài 34 (Sách bài tập - tập 2 - trang 42)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng :

a) Các cạnh của tam giác BGD bằng \(\dfrac{2}{3}\) các đường trung tuyến của tam giác ABC

b) Các đường trung tuyến của tam giác BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC

 

Hướng dẫn giải

A N C D M E B P G F

a) Gọi AM , BN , CP là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) . Ta có GD = AG = 2GM và GD = GM + MD nên GM = MD

\(\Delta BMD=\Delta CMG\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow BD=CG=\dfrac{2}{3}CP\) (1)

Ta có \(BG=\dfrac{2}{3}BN\) (2)

\(GD=AG=\dfrac{2}{3}AM\) (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra các cạnh của \(\Delta BGD=\dfrac{2}{3}\) các đường trung truyến của \(\Delta ABC\)

b) Gọi CE , DF là các đường trung tuyến của \(\Delta BGD\) . Từ đây tự chứng minh \(BM=\dfrac{1}{2}BC;GE=\dfrac{1}{2}AB;DF=AN=\dfrac{1}{2}AC\)

Bài 33 (Sách bài tập - tập 2 - trang 42)

Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 34 cm, BC = 32 cm. Kẻ đường trung tuyến AM

a) Chứng minh rằng \(AM\perp BC\)

b) Tính độ dài AM

Hướng dẫn giải

a/Ta có: ΔABC cân ở A(gt)

mà AM là đường trung tuyến, nên AM cũng là đường cao

Vậy AM ⊥ BC

b/ Vì M là trung điểm của BC

nên BM=BC:2=32:2=16 (cm)

Xét ΔABM vuông tại M có:

AB2=AM2+BM2 (Định lý Py-ta-go)

nên 342=AM2+162

1156=AM2+256

AM2=1156-256

AM2=900

Vậy AM=30 (cm)

Bài 4.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 43)

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho \(\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{2}{3}\). Tia BG cắt AC tại E, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai ?

(A) \(\dfrac{BG}{EG}=2\)                                           (B) \(\dfrac{FG}{CG}=\dfrac{2}{3}\)

(C) E là trung điểm của cạnh AC             (D) F là trung điểm của cạnh AB

Hướng dẫn giải