Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Tam giác cân

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 6.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 149)

Cho hình bs.4.

Chứng minh rằng :

a) C, O, D thẳng hàng

b) BC = AD 

Hướng dẫn giải

a) Các tam giác cân AOD , BOC có góc đáy bằng nhau nên góc ở đỉnh bằng nhau: \(\widehat{AOD}\) = \(\widehat{BOC}\) . Ta lại có : góc AOD + góc BOD = 180o nên\(\widehat{BOC}\) + \(\widehat{BOD}\) = 180o

Vậy C ,O ,D thẳng hàng

b) Xét tam giác BOC = tam giác AOD (g.c.g)

=> BC = AD (2.c.t.ư)

Bài 70 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc canh AB sao cho AH = AK. Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng tam giác OBC là tam giác cân ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ:

A B C K H O 1 2 1 2

Giải:

Xét \(\Delta ABH\)\(\Delta ACK\) có:

\(AH=AK\left(gt\right)\)

\(\widehat{A}\) là góc chung

\(AB=AC\) ( Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) )

Do đó: \(\Delta ABH=\Delta ACK\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) ( cặp góc tương ứng )

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) ( Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) )

\(\Rightarrow\widehat{B}-\widehat{B_2}=\widehat{C}-\widehat{C_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)

\(\Rightarrow\Delta OBC\) cân tại \(O\) . \(\left(đpcm\right)\)

Bài 81 (Sách bài tập - tập 1 - trang 148)

Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy kẻ ô vuông (h.62) là tam giác nhọn ?

Hướng dẫn giải

Giả sử độ dài mỗi ô vuông nhỏ là 1
Đường chéo mỗi ô vuông là Căn 2.
Độ dài các cạnh AB, AC, BC lần lượt là: ( căn 13) , 3 căn 2, 5
Ta thấy 3 cạnh không bằng nhau nên không phải tam giác đều.
Thử định lý pytago đảo không đúng nên không phải tam giác vuông.
So sánh tỉ lện giữ cách cạnh đều nhỏ hơn 2. Nên trong tam giác không có góc tù. Vậy tam giác là tam giác nhọn

Bài 73 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BA lấy E sao cho BE = BC

Chứng minh rằng BD // EC ?

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ:

A B C D E

Theo bài ra ta có: BE=BC

=> \(\Delta BCE\) cân tại B ( vì trong tam giác có 2 cạnh bằng nhau )

=>\(\widehat{BEC}=\widehat{BCE}\) ( hai góc ở đáy tam giác cân ) (1)

Ta lại có:

\(\widehat{BEC}+\widehat{BCE}=\widehat{CBA}\) ( tính chất góc ngoài của tam giác ) (2_

Ta lại có: BD là phân giác của \(\widehat{B}\)

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

\(\widehat{BEC}+\widehat{BCE}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}\)

Từ (1) ; (2) và (3) suy ra:

\(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\widehat{BEC}=\widehat{BCE}\)

=> \(\widehat{DBC}=\widehat{BCE}\)

=> BD//EC ( có cặp góc sole trong bằng nhau )

(đ.p.c.m)

Bài 80 (Sách bài tập - tập 1 - trang 148)

Đặt đề toán theo hình 61. Sau đó vẽ lại hình theo để toán rồi đo góc DAE ?

Hướng dẫn giải

Đặt đề : Vẽ tam giác đều ABC . Vẽ tam giác ABD vuông cân tại B(D và C nằm khác phía đối với AB)

Vẽ tam giác ACE vuông cân tại C ( E và B nằm khác phía đối với AC )

Đo góc DAE = 150o

Bài 6.5* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 149)

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{B}=30^0\)

Chứng minh rằng \(AC=\dfrac{1}{2}BC\)

Hướng dẫn giải

Kẻ D sao cho A là trung điểm của CD . Tam giác BCD có đường cao BA (gt) và trung tuyến BA nên tam giác BDC cân ở B mà có góc C = 60 độ ( C= 90 - B= 90-30= 60)
Do đó tam giác BDC đều nên BC = CD mà AC= 1/2 CD( A là tđ CD) nên AC= 1/2 BC (đpcm)

Bài 77 (Sách bài tập - tập 1 - trang 148)

Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. 

Chứng minh rằng \(\Delta DEF\) là tam giác đều ?

Hướng dẫn giải

A B C D E F

Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF

nên AB - AD = BC - BE = CA - CF hay BD = CE = AF.

\(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

Xét hai tam giác ADF và BED có:

BD = AF (cmt)

\(\widehat{A}=\widehat{B}\left(cmt\right)\)

BE = AD (gt)

Vậy: \(\Delta ADF=\Delta BED\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\) DF = DE (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác EBD và FCE có:

BD = CE (cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)

BE = CF (gt)

Vậy: \(\Delta EBD=\Delta FCE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\) DE = EF (hai cạnh tương ứng)

Do đó DF = DE = EF. Vậy \(\Delta DEF\) là tam giác đều.

Bài 71 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Vẽ lại hình 59 rồi đặt bài toán vẽ tam giác để có hình 59

Hướng dẫn giải

Cho tam giác đều ABD . Vẽ về phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ở A là ABC và ADE . a , CM CD= BE
b, Câu a có đúng nên tam giác ABD cân ở A hay không ?

Bài 78 (Sách bài tập - tập 1 - trang 148)

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự D, E. Chứng minh rằng DE = BD + CE

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ:

A B C I D E

Ta có: BI là pg góc B

=> góc DBI = góc IBC

Mà góc DIB = góc IBC (DE // BC)

=> góc DBI = góc DIB

=> tam giác BDI cân

=> BD = DI

Ta có: CI là phân giác góc C

=> góc ECI = góc ICB

Mà góc EIC = góc ICB (DE // BC)

=> góc ECI = góc EIC

=> tam giác CEI cân

=> CE = IE

Ta có: BD = DI; CE = IE

=> BD + CE = DI + IE

hay BD + CE = DE

hay DE = BD + CE

Bài 6.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 148)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Tính số đo góc ADB ?

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ:

A B C D

Ta có: tam giác ABC vuông cân tại A

=> góc ABC = 450

Ta có: góc ABC + góc ABD = 1800

hay 450 + góc ABD = 1800

=> góc ABD = 1800 - 450 = 1350

Ta có: góc DAB + góc ABD + góc ADB = 1800

hay góc DAB + góc ADB + 1350 = 1800

=> góc DAB + góc ADB = 450

Ta có: BD = BA => tam giác BDA cân

=> góc DAB = góc ADB = 450 /2 = 2205'

Bài 72 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ:

A B C D E

Giải:

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\):

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) ( góc bù )

Xét \(\Delta ABD\)\(\Delta ACE\) có:

\(AB=AC \) \(\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) \(\left(cmt\right)\)

\(BD=CE \) \(\left(gt\right)\)

Do đó: \(\Delta ABD=\Delta ACE\) \(\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AD=AE\) ( cặp cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại \(A\).

Bài 79 (Sách bài tập - tập 1 - trang 148)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là một điểm nẳm trên đường tròn, tính số đo góc AMB

Hướng dẫn giải

undefined

(h.141)\(\Delta AOM\) cân \(\Rightarrow\)\(\widehat{A}=\widehat{M1}\)

\(\Delta BOM\) cân \(\Rightarrow\)\(\widehat{B}=\widehat{M2}\)

Suy ra \(\widehat{M1}+\widehat{M2}=\widehat{A}+\widehat{B}\)do đó

\(\widehat{AMB}=\widehat{A}+\widehat{B}\).Ta lại có:

\(\widehat{AMB}+\widehat{A}+\widehat{B}=180^0\) nên

\(\widehat{AMB}=90^0\)

Bài 67 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

a) Tính góc ở đáy của một tam giác cân biết góc đỉnh bằng \(50^0\) , bằng \(a^0\)

b) Tính góc ở đỉnh của một tam giác cân biết góc đỉnh bằng \(50^0\) , bằng \(a^0\)

Hướng dẫn giải

a , Góc đáy bằng : (180-50)/2= 65 độ
b Góc ở đỉnh bằng 180 - 2.50 = 80 độ

Bài 6.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 148)

Cho tam giác cân ABC có \(\widehat{A}=100^0\). Trên cạnh BC lấy các điểm D và E sao cho BD = BA , CE = CA

Tính số đo góc DAE ?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\Delta\)ABC cân tại A

\(\widehat{A}\) = 100o

=> \(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\) = 20o (Vì tổng các góc trong 1 \(\Delta\) luôn bằng 180o)

* Vì: BA = BD (gt)

=> \(\Delta\)BAD cân tại B.

Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{B}+B\widehat{DA}=180^O\)

\(\widehat{BAD}+40^{O^{ }}+\widehat{BD}A=180^O\)

\(B\widehat{AD}+\widehat{BDA}=180^{O^{ }}-40^O=120^O\)

\(\Delta\)ABD cân

=> \(\widehat{A}\)= \(\widehat{BDA}\) = 70o

* Vì AC = CE (gt)

=> \(\Delta\)ACE cân tại C.

Ta có: \(\widehat{EAC}+\widehat{C}+\widehat{CEA}=180^O\)

\(\widehat{EAC}+40^O+\widehat{CEA}=180^O\)

\(\widehat{EAC}+\widehat{CEA}=180^O-40^O=140^O\)

\(\Delta\)ACE cân

=> \(\widehat{EAC}=\widehat{CEA}=70^O\)

* Xét \(\Delta\)AED có: \(\widehat{AED}=\widehat{ADE}=70^O\)

Áp dụng định lý tổng các góc trong 1 \(\Delta\) bằng 180o, ta có:

\(\widehat{DAE}+\widehat{ADE}+\widehat{DEA}=180^O\)

\(\widehat{DAE}+70^O+70^O=180^O\)

\(\widehat{DAE}=180^O-70^{O^{ }}-70^O\)

\(\widehat{DAE}=40^O\)

Bài 6.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 148)

Cho hình bs.3

Góc ADB có số đo bằng :

(A) \(20^0\)                    (B) \(25^0\)

(C) \(30^0\)                    (D) \(35^0\)

Hãy chọn phương án đúng ?

Hướng dẫn giải

=> Góc ADB = 25o

Chọn (B)

Bài 68 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{A}=100^0\). Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MN // BC ?

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ :

A B C M N

Ta có:

\(\Delta ABC\) cân tại A

=> \(\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}=\dfrac{180^0-100^0}{2}=40^0\) ( hai góc đáy của tam giác cân ) (1)

Theo bài ra ta lại có:

AM=AN

=> \(\Delta AMN\) cân tại A ( trong tam giác có 2 góc bằng nhau )

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=A\widehat{NM}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}=40^0\) ( hai góc đáy của tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:\(\widehat{B}=\widehat{AMN}\)

=> MN//BC ( vì có cặp góc đồng vị )

(đ.p.c.m)

Bài 76 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy BC. Qua D, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại F và E

Tính tổng DE + DF ?

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ

Tam giác cân

Ta có:

FD//EC và BF//ED

=> +) \(\widehat{FDB}=\widehat{ECD}\) (hai góc đồng vị ) (1)

+) \(\widehat{FBD}=\widehat{EDC}\) (hai góc đồng vị ) (2)

+)\(\widehat{DFB}=\widehat{FDE}\) (hai góc đồng vị )

+)\(\widehat{FDE}=\widehat{DFE}\) (hai góc đồng vị )

+)\(\widehat{EBF}=\widehat{DEC}\) (hai góc đồng vị )

+)\(\widehat{EDC}=\widehat{DEF}\) (hai góc đồng vị )

Ta lại có :

\(\Delta ABC\) cân tại A => \(\widehat{B}=\widehat{C}\) ( hai góc ở đáy của tam giác cân ) (3)

Từ (1);(2) và (3) ta suy ra:

+)\(\Delta FBD\) là tam giác cân tại F ( vì tam giác có 2 góc bằng nhau )

+)\(\Delta EDC\) là tam giác cân tại E ( vì tam giác có 2 góc bằng nhau )

=> +) FB=FD (4)

+) ED=EC (5)

Ta lại có:

*)\(\Delta FBD=\Delta DEF\) (g.c.g)

=> +) FB=ED ( hai cạnh tuơng ứng ) (6)

+) BD=FE ( hai cạnh tuơng ứng ) (7)

*)\(\Delta DFE=\Delta ECD\) (g.c.g)

=> +) FD=EC ( hai cạnh tuơng ứng ) (8)

+) FE=DC ( hai cạnh tuơng ứng ) (9)

Từ(4);(5);(6) và (8) suy ra:

FB=FD=DE=EC (10)

Ta lại có:

\(\Delta FBD=\Delta AFE\) (g.c.g)

=> AF=BF ( hai cạnh tương ứng ) (11)

=> \(AF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}=1,5\) (12)

Từ (10) và (11) suy ra:

AF=FD=ED (13)

Từ (12) và (13) suy ra:

FD=ED=1,5 (cm)

=> FD+ED=3 (cm)

Vậy DE+DF=3 (cm)

Bài 74 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Tính số đo các góc của tam giác ACD trên hình 60 ?

Hướng dẫn giải

Ta có : AB=AC

=> \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại A ( vì tam giác có 2 cạnh bằng nhau )

=> \(\widehat{ABC}=A\widehat{CB}\) ( hai cạnh đáy của tam giác cân )

=> \(\widehat{ABC}=A\widehat{CB}=45^0\)

=> \(\widehat{CBD}=\widehat{A}+\widehat{BCA}=135^0\) ( góc ngoài của tam giác )

Ta lại có:

BD=BC

=> \(\Delta BCD\) cân tại B ( vì tam giác có 2 cạnh bằng nhau )

=> \(\widehat{BDC}=\widehat{BCD}\) ( hai cạnh đáy của tam giác cân )

=> \(\widehat{BDC}=\widehat{BCD}=\dfrac{\left(180^0-135^0\right)}{2}=\dfrac{45^0}{2}=22,5^0\)

\(\widehat{ACD}=\widehat{BCA}+\widehat{BCD}\)

=> \(\widehat{ACD}=45^0+22,5^0=67,5^0\)

Vậy trong \(\Delta ACD\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=90^0\\\widehat{ADC}=22,5^0\\\widehat{ACD}=67,5^0\end{matrix}\right.\)

Bài 75 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Tính số đo góc BCD ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ:

A B C D

Giải:

Ta có: \(AB=\dfrac{BD}{2}\) ( \(A\) là trung điểm của \(BD\) )

\(AB=AC\) ( Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) )

\(\Rightarrow AC=\dfrac{BD}{2}\)

\(AC\) là đường trung tuyến của tam giác \(CBD\) ( \(A\) là trung điểm của\(BD \) ).

\(\Rightarrow\Delta CBD\) vuông tại \(C.\)

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=90^o\)

Bài 69 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. Chứng minh rằng BM = CN ?

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ:

A B C N M

Theo bài ra ta có:

Tam giác ABC cân tại A

=> AB=AC ( hai cạnh bên của tam giác cân )

Ta lại có:

M là trung điểm của AC;N là trung điểm của AB

=> AN=BN=CM=AM

Ta có: \(\Delta ABM=\Delta ACN\) (c.g.c)

=> BM=CN ( hai cạnh tuơng ứng )

(đ.p.c.m)

Bài 76 (Sách bài tập - tập 1 - trang 147)

Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy BC. Qua D, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại F và E

Tính tổng DE + DF ?

Hướng dẫn giải

undefined(hình 138).DE//AF, DF//AE nên DE=AF (1) (giải thích như bài 52)

DF//AC\(\Rightarrow\) \(\widehat{D1}=\widehat{C}\) (đồng vị)

\(\Delta ABC\) cân tại A\(\Rightarrow\)\(\widehat{B}=\widehat{C}\)

Suy ra :\(​\widehat{D1}=​\widehat{B}\)

\(\Delta FBD\)\(​\widehat{D1}=​\widehat{B}\) suy ra \(\Delta FBD\) cân tại F \(\Rightarrow\)FB=FD (2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)DE+DF=AF+FB=AB=3cm