Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Ôn tập chương Số thực. Số hữu tỉ

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài I.7* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 35)

Với giá trị nào của \(x\) thì \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-5\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất ?

Hướng dẫn giải

Ta có :

B = \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|+\left|5-x\right|\)

\(\ge x-1+x-2+3-x+5-x=5\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x-2\ge0\\3-x\ge0\\5-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x\ge2\\x\le3\\x\le5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2\le x\le3\)

Vậy với \(2\le x\le3\)thì B đạt giá trị nhỏ nhất là 5.

Bài 140 (Sách bài tập - tập 1 - trang 34)

Cho \(x,y\in\mathbb{Q}\). Chứng tỏ rằng :

a) \( \left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

b) \(\left|x-y\right|\le\left|x\right|-\left|y\right|\)

Hướng dẫn giải

a) Với mọi \(x,y\in Q\), ta luôn luôn có:

\(x\le\left|x\right|\)\(-x\le\left|x\right|\) ; \(y\le\left|y\right|\)\(-y\le\left|y\right|\)

Suy ra \(x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)\(-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

hay \(x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

Do đó \(-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

b) Theo câu a ta có:

\(\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\) ,suy ra \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)

Bài 139 (Sách bài tập - tập 1 - trang 34)

Tính :

               \(G=\dfrac{4,5:\left[47,375-\left(26\dfrac{1}{3}-18.0,75\right).2,4:0,88\right]}{17,81:1,37-23\dfrac{2}{3}:1\dfrac{5}{6}}\)

Hướng dẫn giải

G = 4

Bài 141 (Sách bài tập - tập 1 - trang 34)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

                 \(A=\left|x-2001\right|+\left|x-1\right|\)

Hướng dẫn giải

Giải:

Dễ thấy: \(\left|x-1\right|=\left|1-x\right|\)

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(A=\left|x-2001\right|+\left|1-x\right|\) \(\ge\left|x-2001+1-x\right|=2000\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2001\ge0\\1-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le2001\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1\le x\le2001\)

Vậy \(A_{min}=2000\Leftrightarrow1\le x\le2001\)

Bài 130 (Sách bài tập - tập 1 - trang 32)

Tìm \(x\), biết :

a) \(\dfrac{1}{4}+x=-\dfrac{1}{3}\)

b) \(-\dfrac{3}{7}+x=\dfrac{5}{8}\)

c) \(0,472-x=1,634\)

d) \(-2,12-x=1\dfrac{3}{4}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{1}{4}\) + x = \(-\dfrac{1}{3}\)

x = \(\dfrac{1}{4}\) + \(-\dfrac{1}{3}\)

x = \(\dfrac{-1}{12}\)

Vậy x = \(\dfrac{-1}{12}\)

b)\(-\dfrac{3}{7}+x=\dfrac{5}{8}\)

x = \(-\dfrac{3}{7}+\dfrac{5}{8}\)

x = \(\dfrac{11}{56}\)

Vậy x = \(\dfrac{11}{56}\)

c) 0,472 − x = 1,634

x = 0,472 − 1,634

x = -1,162

Vậy x = -1,162

d) −2,12 − x = \(1\dfrac{3}{4}\)

x = −2,12 − \(1\dfrac{3}{4}\)

x = -3,87

Vậy x = -3,87

Bài I.4* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 34)

Cho :

                 \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\)

         và 

                 \(x:y:z=a:b:c\)

Chứng minh rằng :

                        \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

Hướng dẫn giải

Ta có :

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)( Vì a+b+c=1)

Do đó :

\(\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\)( Vì \(a^2+b^2+c^2=1\) ).

Vậy \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2.\)

Bài 134 (Sách bài tập - tập 1 - trang 33)

Từ tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), hãy suy ra các tỉ lệ thức sau :

a) \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}\)

b) \(\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{c+d},\left(a+b\ne0,c+d\ne0\right)\)

Hướng dẫn giải

a, Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) ( k # 0 )

\(\Rightarrow\) \(a=b.k\)

\(c=d.k\)

Ta có: \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{b.k+b}{b}=\dfrac{b.\left(k+1\right)}{b}=k+1\) (1)

\(\dfrac{c+d}{d}=\dfrac{d.k+d}{d}=\dfrac{d.\left(k+1\right)}{d}=k+1\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}\)

b,

, Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) ( k # 0 )

\(\Rightarrow\) \(a=b.k\)

\(c=d.k\)

Ta có: \(\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{b.k}{b.k+b}=\dfrac{b.k}{b.\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\) (1)

\(\dfrac{c}{c+d}=\dfrac{d.k}{d.k+d}=\dfrac{d.k}{d.\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{c+d}\)

Bài I.5* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 34)

Tìm \(x,y\) biết : 

                     \(\dfrac{x^2+y^2}{10}=\dfrac{x^2-2y^2}{7}\) và \(x^4y^4=81\)

Hướng dẫn giải

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2.y^2}{10}=\dfrac{x^2-2y^2}{7}\\x^4.y^4=81\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7.x^2+7.y^2=10.x^2-20.y^2\\\left(x^2.y^2\right)^2=81\end{matrix}\right.\leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3.x^2=27.y^2\\x^2.y^2=9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=9.y^2\\x^2.y^2=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=9.y^2\\9.y^2.y^2=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=9.y^2\\\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

(+) \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x^2=9\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x^2=9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=-9\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=9\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=-9\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy y=1 , x=-9 y=1 , x=9

y=-1 , x=-9 y=-1 , x=9

Bài 136 (Sách bài tập - tập 1 - trang 33)

Hãy cho một ví dụ để bác bỏ mệnh đề sau : " Tổng của hai số vô tỉ là một số vô vỉ"

Hướng dẫn giải

Ví dụ:

\(\sqrt{3}+\left(-\sqrt{3}\right)=0\)

Bài 137 (Sách bài tập - tập 1 - trang 33)

a) Các đẳng thức sau có đúng không ?

\(\sqrt{1^3}=1\)

\(\sqrt{1^3+2^3}=1+2\)

\(\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3\)

b) Hãy cho và kiểm tra hai đẳng thức cùng loại như trên ?

Hướng dẫn giải

a) Đúng

b) \(\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4\)

\(\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=1+2+3+4+5}\)

Bài I.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 34)

Tích \(2^5.9^5.2^8.9^8\) bằng :

(A) \(11^{12}\)                (B) \(11^{40}\)                (C) \(324^{26}\)                  (D) \(18^{13}\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

Đáp án: (D) \(18^{13}\)

Bài I.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 34)

\(\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}}\) bằng :

(A) \(\dfrac{1}{2}\)                      (B) \(\dfrac{1}{4}\)                            (C) \(\dfrac{5}{12}\)                        (D) \(\dfrac{2}{7}\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

C là đúng

Bài I.6* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 35)

Với giá trị nào của \(x\) thì \(A=\left|x-3\right|+\left|x-5\right|+\left|x-7\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất ?

Hướng dẫn giải

Ta biết rằng \(\left|A\right|\ge A\) ( Dấu '' = '' xảy ra \(\Leftrightarrow A=0\))

\(\left|A\right|=\left|-A\right|\)\(\left|A\right|\ge0\) ( Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow A=0\))

Ta có :

\(A=\left|x-3\right|+\left|x-5\right|+\left|7-x\right|\ge x-3+0+7-x=4\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-3\ge0\\x-5=0\\7-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\x=5\\x\le7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)

Vậy với x = 5 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 4.

Bài I.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 34)

Thương \(\dfrac{12^{30}}{36^{15}}\) bằng :

(A) \(4^{15}\)                 (B) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{15}\)               (C) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\)                    (D) 1

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

Ta có : \(12^{30}:36^{15}\) = 1073741824

Mà lại có : \(4^{15}\) = 1073741824

Suy ra thương của \(\dfrac{12^{30}}{36^{15}}\) băng \(4^{15}\)

CHÚC BẠN HOK TỐT !

Bài 131 (Sách bài tập - tập 1 - trang 33)

Tìm số nghịch đảo của a, biết :

a) \(a=0,25\)                          b) \(a=\dfrac{1}{7}\)                    c) \(a=-1\dfrac{1}{3}\)                        d) \(a=0\)

Hướng dẫn giải

a) a = 0,25

=> nghịch đảo của a = 1: 0,25 = 4

Vậy nghịch đảo của a = 4

b) a = \(\dfrac{1}{7}\)

=> nghịch đảo của a = 1: \(\dfrac{1}{7}\) = 7

Vậy nghịch đảo của a = 7

c) a = \(-1\dfrac{1}{3}\)

=> nghịch đảo của a = 1: \(-1\dfrac{1}{3}\) = -0,75

Vậy nghịch đảo của a = -0,75

d) a = 0

Vì 1 không thể chia cho 0 nên a = 0 không có giá trị nghịch đảo.

Bài 133 (Sách bài tập - tập 1 - trang 33)

Tìm \(x\) trong các tỉ lệ thức sau :

a) \(x:\left(-2,14\right)=\left(-3,12\right):1,2\)

b) \(2\dfrac{2}{3}:x=2\dfrac{1}{12}:\left(-0,06\right)\)

Hướng dẫn giải

a) x : ( -2,14) = (-3,12) :1,2

x : ( -2,14) = -2,6

x = -2,6 x ( -2,14)

x = 5,564

Vậy x = 5,564

b)\(2\dfrac{2}{3}\) : x = \(2\dfrac{1}{12}\) : ( -0,06)

\(2\dfrac{2}{3}\) : x = \(-\dfrac{625}{18}\)

x = \(2\dfrac{2}{3}\) : \(-\dfrac{625}{18}\)

x =

Bài 135 (Sách bài tập - tập 1 - trang 33)

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 70m và tỉ số giữa hai cạnh của nó bằng \(\dfrac{3}{4}\). Tính diện tích miếng đất này ?

Hướng dẫn giải

lm đi

Bài 138 (Sách bài tập - tập 1 - trang 33)

Tính :

\(E=\dfrac{\left(13\dfrac{1}{4}-2\dfrac{5}{27}-10\dfrac{5}{6}\right).230\dfrac{1}{25}+46\dfrac{3}{4}}{\left(1\dfrac{3}{7}+\dfrac{10}{3}\right):\left(12\dfrac{1}{3}-14\dfrac{2}{7}\right)}\)

Hướng dẫn giải

\(E=\dfrac{\left(13\dfrac{1}{4}-2\dfrac{5}{27}-10\dfrac{5}{6}\right).230\dfrac{1}{25}+46\dfrac{3}{4}}{\left(1\dfrac{3}{7}+\dfrac{10}{3}\right):\left(12\dfrac{1}{3}-14\dfrac{2}{7}\right)}\)

\(E=\dfrac{\left(\dfrac{53}{4}-\dfrac{59}{27}-\dfrac{65}{6}\right).\dfrac{5751}{25}+\dfrac{187}{4}}{\dfrac{100}{21}:\left(-\dfrac{41}{21}\right)}\)

\(E=\dfrac{\dfrac{25}{108}.\dfrac{5751}{25}+\dfrac{187}{4}}{-\dfrac{100}{41}}\)

Bài 132 (Sách bài tập - tập 1 - trang 33)

Chứng tỏ rằng số nghịch đảo của một số hữu tỉ âm cũng là một số hữu tỉ âm ?

Hướng dẫn giải

Số nghịch đảo của số \(x\ne0\)\(\dfrac{1}{x}\) hay \(x^{-1}\). Vì \(x.x^{-1}=1\) nên \(x\)\(x^{-1}\) cùng dấu. Suy ra nếu \(x\) âm thì \(x^{-1}\) cũng âm.