Ước chung lớn nhất

Lý thuyết

Bài 176 (Sách bài tập - tập 1 - trang 28)

Tìm ƯCLN của :

a) 40 và 60

b) 36, 60, 72

c) 13 và 20

d) 28, 39, 35

 

Hướng dẫn giải

a) 40=23.5

60=22.3.5; ƯCLN(40,60)=22.5=20

b)36=22.32

60=22.3.5; ƯCLN(36,60)=22.3=12

c)13=13

20=22.5; ƯCLN(13,20)=1

d)28=22.7

39=3.13

35=5.7; ƯCLN(28,39,35)=1

Bài 177 (Sách bài tập - tập 1 - trang 28)

Tìm ƯCLN rồi tìm các ước chung của 90 và 126 ?

Hướng dẫn giải

. Thực hiện phép tính: 90÷5, ta được 18

suy ra ước chung lớn nhất của 90 và 126 là 18

Ta có: \small \dpi{80} \fn_jvn 18=2\times 3^2 và ước chung của 90 và 126 là ước của 18

suy ra các ước chung của 90 và 126 là 1;2;3;6;9;18

Vậy các ước chung của 90 và 126 là 1;2;3;6;9;18

Bài 178 (Sách bài tập - tập 1 - trang 28)

Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng \(480⋮a\) và \(600⋮a\) ?

Hướng dẫn giải

Vì 480 chia hết cho a , 600 chia hết cho

Mà a là số lớn nhất

\(\Rightarrow a\in UCLN\left(480;600\right)\)

Ta có:

\(480=2^5.3.5\)

\(600=2^3.3.5^2\)

\(\Rightarrow UCLN\left(480;600\right)=2^3.3.5=120\)

Vậy số a cần tìm là 120.

Bài 179 (Sách bài tập - tập 1 - trang 28)

Hùng muốn cắt một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 60cm và 96 cm thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là cm)

 

Hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông .

Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông:

=> a là ƯCLN(60;96)

60 = 22.3.5

96 = 25.3

=> ƯCLN(60;96) = 22.3 = 12

Vậy độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông là 12 cm .

Bài 180 (Sách bài tập - tập 1 - trang 28)

Tìm số tự nhiên \(x\) biết rằng \(126⋮x\)\(120⋮x\) và \(15< x< 30\) ?

Hướng dẫn giải

Vì 126 \(⋮\) x, 120 \(⋮\) x nên x \(\in\) ƯC(126 ; 210)

Ta có : 126 = 2 . 32 . 7

210 = 2 . 3 . 5 . 7

=> UCLN(126 ; 210) = 2 . 3 . 7 = 42

Mà Ư(42) = {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42}

=> ƯC(126 ; 210) = {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42}

=> x \(\in\) {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42}

Vì 15 < x < 30 nên x = 21

Vậy x = 21

Bài 181 (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Ngọc và Minh mỗi người mua một số hộp bút mầu, trong mỗi hộp đều có từ hai bút trở lên và số bút ở các hộp đều bằng nhau. Tính ra Ngọc mua 20 bút, Minh mua 15 bút. Hỏi mỗi hộp bút chì mầu có bao nhiêu chiếc ?

Hướng dẫn giải

Gọi a là số bút chì trong mỗi hộp, ta phải có

20\(⋮\)a, 15\(⋮\) a và a\(\ge\) 2.

Do đó a\(\inƯC\left(20,15\right)\) và a\(\ge\) 2.Ta tìm được :

\(ƯCLN\left(20,15\right)=5\) nên \(\inƯC\left(20,15\right)\)={1;5}. Do đó : a=5.

Mỗi hộp bút chì màu có 5 chiếc

Bài 182 (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Một đội y tế có 24 bác sĩ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ cũng như các y tá được chia để vào mỗi tổ ?

Hướng dẫn giải

Gọi a là số tổ cần chia và \(a\in N\)*

24 chia hết cho a => a thuộc Ư(24) , a nhiều nhất

108 chia hết cho a => a thuộc Ư(108) , a nhiều nhất

Vậy a là ƯCLN ( 24;108)

U(108) = {1;2;3;4;6;9;12;18;27;36;54;108}

U(24) = { 1;2;3;4;6;8;12;24}

UCLN(24;108) = { 12 }

Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 tổ .

Khi đó mỗi tổ có :

Số bác sĩ là : 24 : 12 = 2 ( bác sĩ )

Số y tá là : 108 : 12 = 9 ( y tá )

Bài 183 (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Trong các số sau, hai số nào là hai số nguyên tố cùng nhau ?

                12; 25; 30; 21

Hướng dẫn giải

- 12 và 25 là hai số nguyên tố cùng nhau.

- 21 và 25 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 184 (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Tìm các ước chung của 108 và 180 mà lớn hơn 15 ?

Hướng dẫn giải

18;36

Bài 185 (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Cho biết \(b⋮a\), tìm ƯCLN(a,b). Cho ví dụ ?

Hướng dẫn giải

Ta có :

b : a = số tự nhiên

Vậy UCLN(a;b) = a

Ví dụ :

UCLN( 6;2) = 2

Bài 186 (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Trong mỗi buổi liên hoan, ban tổ chức đã mua 96 cái kẹo, 36 cái bánh và chia đều ra các đĩa, mỗi đĩa gồm cả kẹo và bánh. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa, mỗi đĩa có bao nhiêu cái kẹo, bao nhiêu cái bánh ?

Hướng dẫn giải

Gọi số đĩa là a (a ϵ N*)
Theo bài ra ta có:96$⋮$a;36$⋮$a và a lớn nhất.
Ta có:96=25.3 ;36=22.32
=>ƯCLN(96;36)=22.3=4.3=12
Vậy có thể chia nhiều nhất thành 12 đĩa.
Mỗi đĩa có số kẹo là:96:12=8(cái)
Mỗi đĩa có số bánh là:36:12=3(cái)
Vậy mỗi đĩa có 8 cái kẹo và 3 cái bánh.

Bài 187* (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 42 học sinh, lớp 6C có 48 học sinh. Trong ngày khai giảng, ba lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như nhau để diễu hành mà không lớp nào có người lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được ?

Hướng dẫn giải

Vì cả 3 lớp xếp cùng số hàng như nhau nên số học sinh của mỗi lớp phải chia hết cho số hàng
gọi a là số hàng 3 lớp có thể xếp được
ta có: a thuộc ƯC(54, 42, 48)
vì số hàng dọc cần tìm là nhiều nhất nên a thuộc ƯCLN(54, 48, 42) = 2.3 = 6
vậy số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp là 6 hàng

Bài 17.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Điền các từ thích hợp (ước chung, bội chung, ƯCLN) vào chỗ trống :

a) \(a=15a'\left(a'\in\mathbb{N}\right)\)

    \(b=15b'\left(b'\in\mathbb{N}\right)\)

15 là .......của a và b

b)  \(a=15a'\left(a'\in\mathbb{N}\right)\)

     \(b=15b'\left(b'\in\mathbb{N}\right)\)

ƯCLN\(\left(a',b'\right)=1\)

15 là .......của a và b

Hướng dẫn giải

a) a=15a′(a′∈N)a=15a′(a′∈N)

b=15b′(b′∈N)b=15b′(b′∈N)

15 là ước chung của a và b.

b) a=15a′(a′∈N)a=15a′(a′∈N)

b=15b′(b′∈N)b=15b′(b′∈N)

ƯCLN(a′,b′)=1(a′,b′)=1

15 là ƯCLN của a và b.

Bài 17.2* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Chứng tỏ rằng hai số \(n+1\) và \(3n+4,\left(n\in\mathbb{N}\right)\) là hai số nguyên tố cùng nhau ?

Hướng dẫn giải

Gọi \(d=ƯCLN\left(n+1;3n+4\right)\) (\(d\in N\)*)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(d\in N\)*; \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n+1;3n+4\right)=1\)

\(\Rightarrow n+1;3n+4\) nguyên tố cùng nhau với mọi n

Bài 17.3* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 29)

Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) có tổng bằng 224, biết rằng ƯCLN của chúng bằng 28 ?

Hướng dẫn giải

Vì ƯCLN(a,b) = 28

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=28k\\b=28q\end{matrix}\right.\)( ƯCLN(k.q)=1 , k > q )

Mà : \(a+b=224\) \(\Rightarrow28k+28q=224\)

\(\Rightarrow28\left(k+q\right)=224\Rightarrow k+q=224\div28=8\)

Mà : k > q

+) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=7\\q=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=28.7\\b=28.1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=196\\b=28\end{matrix}\right.\)

+) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=6\\q=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=28.6\\b=2.28\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=168\\b=56\end{matrix}\right.\)

+) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=5\\q=3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=28.5\\b=28.3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=140\\b=84\end{matrix}\right.\)

Vậy a = 196 ; b = 28

a = 168 ; b = 56

a = 140 ; b = 84

Bài 17.4* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 30)

Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) có tích bằng 1944, biết rằng ƯCLN của chúng bằng 18 ?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có:

\(ƯCLN\)\(\left(a,b\right)=18\)

\(\Rightarrow a=18m\left(m\in N^{\circledast}\right)\text{và }b=18n\left(n\in N^{\circledast}\right)\)

\(a\cdot b=1944\\ \Leftrightarrow18m\cdot18n=1944\\ \Leftrightarrow\left(18\cdot18\right)\cdot\left(m\cdot n\right)=1944\\ \Leftrightarrow324\cdot mn=1944\\ \Leftrightarrow mn=6\\ \)

m 1 2 3 6
n 6 3 2 1
a 18 36 54 108
b 108 54 36 18
ƯCLN(a,b) 18 18 18 18

Vậy ta có 4 cặp số a,b là 18,108; 36,54; 54,36; 108,18

Bài 17.5* - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 30)

Tìm số tự nhiên a, biết rằng 156 chia cho a dư 12, và 280 chia cho a dư 10 ?

Hướng dẫn giải

Có 156 chia cho a dư 12

=> 156 - 12 = 144 chia hết cho a (1)

Có 280 chia cho a dư 10

=> 280 - 10 = 270 chia hết cho a (2)

Từ (1) và (2)

=> a \(\in\)ƯC(144,270)

12 là số dư của phép chia 156 cho a => a > 12

Có ƯC(144,270) = {1,2,3,6,9,18}

Mà a > 12

=> a = 18

Vậy số tự nhiên a cần tìm là 18.

Loading...