Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 3.21 (Sách bài tập trang 184)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

a) \(y=2x-x^2;x+y=2\)

b) \(y=x^3-12x;y=x^2\)

c) \(x+y=1;x+y=-1;x-y=1;x-y=-1\)

d) \(y=\dfrac{1}{1+x^2};y=\dfrac{1}{2}\)

e) \(y=x^3-1\) và tiếp tuyến với \(y=x^3-1\) tại điểm \(\left(-1;-2\right)\)

Hướng dẫn giải

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 3.23 (Sách bài tập trang 184)

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi :

a) \(y=2-x^2;y=1\), quanh trục Ox

b) \(y=2x-x^2;y=x\), quanh trục Ox

c) \(y=\left(2x+1\right)^{\dfrac{1}{3}};x=0;y=3\), quanh trục Oy

d) \(y=x^2+1;x=0\) và tiếp tuyến với \(y=x^2+1\) tại điểm \(\left(1;2\right)\), quanh trục Ox

e) \(y=\ln x;y=0;x=e\), quanh trục Oy

Hướng dẫn giải

Bài 3.22 (Sách bài tập trang 184)

Tính thể tích vật thể :

a) Có đáy là một tam giác cho bởi \(y=x;y=0;x=1\).Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông

b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi \(x^2+y^2=1\). Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông

Hướng dẫn giải

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 3.26 (Sách bài tập trang 185)

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau :

a) \(\left\{y=x+\sin x;y=x,0\le x\le\pi\right\}\) và \(\left\{y=x+\sin x;y=x;\pi\le x\le2\pi\right\}\)

b) \(\left\{y=\sin x;y=0;0\le x\le\pi\right\}\) và \(\left\{y=\cos x;y=0;0\le x\le\pi\right\}\)

c) \(\left\{y=2x-x^2;y=x\right\}\) và \(\left\{y=2x-x^2;y=2-x\right\}\)

d) \(\left\{y=\log x;y=0;x=10\right\}\) và \(\left\{y=10^x;x=0;y=10\right\}\)

e) \(\left\{y=\sqrt{x};y=x^2\right\}\) và \(\left\{y=\sqrt{1-x^2};y=1-x\right\}\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.24 (Sách bài tập trang 184)

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\dfrac{1}{x};y=0;x=1;x=a\) (\(a>1\))

Gọi thể tích đó là \(V\left(a\right)\). Xác định thể tích của vật thể khi \(a\rightarrow+\infty\) (tức là \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}V\left(a\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.25 (Sách bài tập trang 185)

Một hình phẳng được giới hạn bởi \(y=e^{-x};y=0;x=0;x=1\)

Ta chia đoạn \(\left[0;1\right]\) thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như hình 80)

a) Tính diện tích \(S_n\) của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con)

b) Tìm \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tính tích phân

Hướng dẫn giải