Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Ôn tập chương I

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1.48 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Dựa vào các điểm A, B, C, D, O, M, N đã cho, hãy:

a) Kể tên hai vec tơ cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \), hai vec tơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \), hai vec tơ ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \) (các vec tơ kể ra này đều khác \(\overrightarrow 0 \))

b) Chỉ ra một vec tơ bằng vec tơ \(\overrightarrow {MO} \), một vec tơ \(\overrightarrow {OB} \)

Hướng dẫn giải

a) Hai vec tơ cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {CD} \);

Hai vec tơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {ON} ,\overrightarrow {DC} \);

Hai vec tơ ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {NO} \);

b) Vec tơ \(\overrightarrow {MO} \) là \(\overrightarrow {ON} \)

Vec tơ \(\overrightarrow {OB} \) là \(\overrightarrow {DO} \)

Bài 1.49 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Nối AF và CE, hai đường thẳng này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N. Chứng minh \(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {NB} \)

Hướng dẫn giải

(h.1.63)

AECF là hình bình hành => EN // AM

E là trung điểm của AB => N là trung điểm của BM, do đó MN = NB.

Tương tự, M là trung điểm của DN, do đó DM = MN.

Vậy \(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {NB} \)

Bài 1.50 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF với A, D, F không thẳng hàng. Dựng các vec tơ $\(\overrightarrow {EH} \) và \(\overrightarrow {FG} \) bằng vec tơ  \(\overrightarrow {AD} \). Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

(h.1.64)

\(\overrightarrow {EH}  = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {FG}  = \overrightarrow {AD}  =  > \overrightarrow {EH}  = \overrightarrow {FG} \)

=>Tứ giác FEHG là hình bình hành

\( =  > \overrightarrow {GH}  = \overrightarrow {FE} \,(1)\)

Ta có: \(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {FE} \)

\(\overrightarrow { =  > DC}  = \overrightarrow {FE} \,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {GH}  = \overrightarrow {DC} \)

Vậy tứ giác GHCD là hình bình hành.

Bài 1.51 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho bốn điểm A, B, C, D. Tìm các vec tơ:

a) \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CA} \)

b) \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA} \)

Hướng dẫn giải

a)

\(\eqalign{
& \overrightarrow u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \cr 
& = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} ) + (\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CA} ) \cr 
& = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& \overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} \cr 
& = (\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} ) + (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} ) \cr 
& = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow 0 \cr} \)

Bài 1.52 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho lục giác đều ABCDEF và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MF} \)

Hướng dẫn giải

(h.1.65)

Gọi O là tâm lục giác đều. Khi đó O là trọng tâm của các tam giác đều ACE và BDF.

Do đó, với mọi điểm M ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {ME}  = 3\overrightarrow {MO} \)

\(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MF}  = 3\overrightarrow {MO} \)

Vậy ta có đẳng thức cần chứng minh. 

Bài 1.53 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện: \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Hướng dẫn giải

(h.1.66)

\(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CM} $\)

M là đỉnh của hình bình hành ABCM.

Bài 1.54 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC. BE cắt trung tuyến AM tại N. Tính \(\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {MN} \)

Hướng dẫn giải

(h.1.67)

Ta có \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {FC} \)

Vì MF // BE nên N là trung điểm của AM, suy ra \(\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0 \)

Do đó \(\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {FC}  = \overrightarrow {AC}\)

Bài 1.55 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\). Chứng minh rằng: \(OM = {1 \over 2}AB\), trong đó O là trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải

(h.1.68)

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MO}  =  > \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = 2MO\)

\(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {BA}  =  > \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right| = AB\)

Vậy 2MO = AB hay \(OM = {1 \over 2}AB.\)

Chú ý: Tập hợp các điểm M có tính chất \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\) là đường tròn đường kính AB.

Bài 1.56 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vec tơ \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC} \) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy xác định điểm D sao cho \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow v \).

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow v  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC}\)

\( = 2\overrightarrow {ME}  - 2\overrightarrow {MC} \) (E là trung điểm cạnh AB)

\( = 2(\overrightarrow {ME}  - \overrightarrow {MC} ) = 2\overrightarrow {EC} \)

Vậy \(\overrightarrow v \) không phụ thuộc vị trí của điểm M.

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow v  = 2\overrightarrow {CE} \) thì E là trung điểm của CD. Vậy ta xác định được điểm D.

Bài 1.57 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau:

\(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB} \)

a) Chứng minh \(2\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm O.

b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn giải

(Xem h.1.69)

a) $\(3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB}  = 3(\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} ) - (\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} )\)

\(= 3(\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OM} ) + (3\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} ) = 2\overrightarrow {OM} \)

b) Gọi S, Q và R lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.

\(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC}  =  > \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {SC} \)

\(\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA}  =  > \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CQ} \)

\(\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB}  =  > \overrightarrow {BP}  = \overrightarrow {RB}  = \overrightarrow {QS} \)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \cr 
& = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \cr} \)

\(\overrightarrow { = (GA}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CQ}  + \overrightarrow {QS} )\)

\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0 \)

Vậy G là trọng tâm của tam giác MNP.

Loading...