Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§2. Tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 2.13 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)  đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) khi nào dương, khi nào âm và  khi nào bằng 0?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)

Do đó:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  > 0\) khi \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) > 0\) nghĩa là \(0 \le (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) \le {90^0}\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  < 0\) khi \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) < 0\) nghĩa là \({90^0} \le (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) \le {180^0}\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\) khi \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 0\) nghĩa là \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {90^0}\)

Bài 2.14 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:

\({(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

\({(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

\((\overrightarrow a  + \overrightarrow b )(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {(\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} = (\overrightarrow a + \overrightarrow b ).(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) \cr 
& = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b \cr} \)

\(= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

Các tính chất còn lại được chứng minh tương tự.

Bài 2.15 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tam giác ABC vuông tại A và có  AB = AC = a. Tính:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)

Hướng dẫn giải

(h2.20)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = {a^2}\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = a.a\sqrt 2 .\cos {135^0} =  - {a^2}\)

Bài 2.16 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) rồi suy ra giá trị của góc A;

b) Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )^2}\)

\({\overrightarrow { = AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

Do đó:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {{{{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {AB} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \over 2} \cr 
& = {{{8^2} + {5^2} - {7^2}} \over 2} = 20 \cr} \)

Mặt khác:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cosA \cr 
& = 5.8.cosA = 20 \cr} \)

Suy ra \(\cos A = {{20} \over {40}} = {1 \over 2} =  > \widehat A = {60^0}\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& B{A^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} = {(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} )^2} \cr 
& = {\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} - 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \cr} \)

Do đó:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = {1 \over 2}({\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} - {\overrightarrow {BA} ^2}) \cr 
& = {1 \over 2}({8^2} + {7^2} - {5^2}) = 44 \cr} \)

Bài 2.17 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 11 cm.

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng tỏ rằng tam giác ABC có góc A tù.

b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm và gọi N là trung điểm của cạnh AC. Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} \).

Hướng dẫn giải

(h.2.21)

a) 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {1 \over 2}(A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}) \cr 
& = {1 \over 2}({8^2} + {6^2} - {11^2}) = - {{21} \over 2} \cr} \)

\( = AB.AC.cosA =  - {{21} \over 2}\)

=> Góc A tù

b) Ta có:

\(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)

Do đó:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AM.} \overrightarrow {AN} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} .{1 \over 2}\overrightarrow {AC} \cr 
& = {1 \over 6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {1 \over 6}.( - {{21} \over 2}) = - {7 \over 4} \cr}\)

Bài 2.18 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

Hướng dẫn giải

(h.2.22) 

Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Tac có: \(2\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} \) vì M là trung điểm của đoạn HD.

\(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HD} \)

Do đó:

\(2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = (\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} ).(\overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HD} )\)

\(= \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH}  + \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} }_{ = 0}\)

\( =  > \,2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} \)

\( = (\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + (\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HD} ).\overrightarrow {BH} \)

\( = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \)

\( = \overrightarrow {HD} .(\underbrace {\overrightarrow {AH} +\overrightarrow {BH} }_{\overrightarrow {AC} }) = \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

Vậy AM vuông góc với BD.

Bài 2.19 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học

Cho hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 13\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\) và suy ra góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

Hướng dẫn giải

(h.2.23)

Dựng tam giác ABC có AB = 5, BC= 12 và AC = 13.

Ta có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 13\)

Và \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

Khi đó \(\overrightarrow a (\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Mặt khác ta có:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = {1 \over 2}(A{C^2} + A{B^2} - B{C^2})\)

\( = {1 \over 2}({13^2} + {5^2} - {12^2}) = 25\)

Ta suy ra:

\(\eqalign{
& \cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ) = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} \cr 
& = {{25} \over {5.13}} \approx 0,3846 \cr} \)

Suy ra \((\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ) \approx {67^0}23'\)

Bài 2.20 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA}  = {1 \over 4}B{C^2}\)

Hướng dẫn giải

(h.2.24)

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )\)

\(\overrightarrow {HM}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} )\)

\( =  > \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM}  = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ).(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} )\)

\( = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB}  + \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_{ = 0} + \underbrace {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {.HB} }_{ = 0} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} )\)

\( = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} )\)

\( = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {HC}  + \overrightarrow {CB} ) + \overrightarrow {AC} .(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {BC} )} \right]\)

\( = {1 \over 4}\left[ {\underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  + \underbrace {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} }_0 + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right]\)

\( = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} ) = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} )\)

\( = {1 \over 4}\overrightarrow {CB} .(\underbrace {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }_{\overrightarrow {CB} }) = {1 \over 4}{\overrightarrow {CB} ^2} = {1 \over 4}{\overrightarrow {BC} ^2}\)

Bài 2.21 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)

Hướng dẫn giải

(H.2.25) 

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a.\cos {60^0} = {1 \over 2}{a^2}\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a.\cos {120^0} =  - {1 \over 2}{a^2}\)

Bài 2.22 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \)

Hướng dẫn giải

(h.2.26)

\(2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD} )(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\)

\( = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \underbrace {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} }_0 - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)

\(= \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)

Do đó: \(\overrightarrow {MP}  \bot \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB}\)