Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 6 trang 68 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:

a) \(m(m - 6)x + m =  - 8x + {m^2} - 2\)

b) \({{(m - 2)x + 3} \over {x + 1}} = 2m - 1\)

c) \({{(2m + 1)x - m} \over {x - 1}} = x + m\)

d) \({{(3m - 2)x - 5} \over {x - m}} =  - 3\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình 

\(({m^2} - 6m + 8)x = {m^2} - m - 2\)

\( \Leftrightarrow (m - 2)(m - 4)x = (m + 1)(m - 2)\)

Kết luận

Với \(x \ne 2\) và \(x \ne 4\) , phương trình có nghiệm \(x = {{m + 1} \over {m - 4}}\)

Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;

Với m = 4, phương trình vô nghiệm.

b)Điều kiện của phương trình là \(x \ne  - 1\), ta có

\({{(m - 2)x + 3} \over {x + 1}} = 2m - 1\)

=> \((m - 2)x + 3 = (2m - 1)(x + 1)\)

=> \((m + 1)x = 4 - 2m\) (1)

Với m = -1 phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.

Với \(m \ne  - 1\) phương tình (1) có nghiệm \(x = {{4 - 2m} \over {m + 1}}\)

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \(x \ne  - 1\) khi và chỉ khi \({{4 - 2m} \over {m + 1}} \ne  - 1\) hay \( - 2m + 4 \ne  - m - 1 =  > m \ne 5\)

Kết luận

Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm

Với \(m \ne  - 1\) và \(m \ne 5\) phương trình có nghiệm là \(x = {{4 - 2m} \over {m + 1}}\)

c) Điều kiện của phương trình là \(x \ne 1\). Khi đó ta có

\({{(2m + 1)x - m} \over {x - 1}} = x + m\)

\( \Leftrightarrow (2m + 1)x - m = (x + m)(x - 1)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 2)x = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 0,x = m + 2\)

Giá trị x = m +2 thỏa mãn điều kiện của phương trình khi \(m \ne  - 1\)

Kết luận

Vậy với m = -1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;

Với \(m \ne  - 1\) phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = m + 2.

d) Điều kiện của phương trình là \(x \ne m\). Khi đó ta có

\({{(3m - 2)x - 5} \over {x - m}} =  - 3\)

\( \Leftrightarrow (3m - 2)x - 5 =  - 3x + 3m\)

\( \Leftrightarrow (3m + 1)x = 3m + 5\)

Với \(m \ne  - {1 \over 3}\) nghiệm của phương trình cuối là \(x = {{3m + 5} \over {3m + 1}}\)

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi

\({{3m + 5} \over {3m + 1}} \ne m =  > 3m + 5 \ne 3{m^2} + m\)

\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 2m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\) và \(m \ne {5 \over 3}\)

Kết luận

Với \(m =  - {1 \over 3}\) hoặc \(m =  - 1\) hoặc \(m = {5 \over 3}\) phương trình vô nghiệm.

Với \(m \ne  - {1 \over 3}\), \(m \ne  - 1\) và \(m \ne {5 \over 3}\) phương trình có một nghiệm \(x = {{3m + 5} \over {3m + 1}}\)

Bài 7 trang 68 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho phương trình

\((m + 2){x^2} + (2m + 1)x + 2 = 0\).

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(m \ne  - 2\) \({2 \over {m + 2}} < 0\) suy ra m < -2.

Tổng của hai nghiệm bằng -3 khi \( - {{2m + 1} \over {m + 2}} =  - 3 =  > m =  - 5\) thỏa mãn điều kiện m < -2.

Đáp số: m = -5.

b) Phương trình có nghiệm kép khi \(m \ne  - 2\) và ∆ = 0.

\(\Delta  = {(2m + 1)^2} - 8(m + 2) = 4{m^2} - 4m - 15\)

\(\Delta  = 0 \Leftrightarrow m = {5 \over 2}\) hoặc \(m =  - {3 \over 2}\)

Khi \(m = {5 \over 2}\) nghiệm kép của phương trình là \(x =  - {{2m + 1} \over {m + 2}} =  - {2 \over 3}\)

Khi \(m =  - {3 \over 2}\) nghiệm kép của phương trình là x = 2.

Bài 8 trang 68 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho phương trình \(9{x^2} + 2({m^2} - 1)x + 1 = 0\)

a) Chứng tỏ rằng với m > 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)mà \({x_1} + {x_2} =  - 4\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\Delta ' = {({m^2} - 1)^2} - 9 = ({m^2} + 2)({m^2} - 4) = ({m^2} + 2)(m + 2)(m - 2)\)

Với m > 2 thì \(\Delta ' =  > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

Vì \({x_1}.{x_2} = {1 \over 9} > 0\) nên hai nghiệm cùng dấu. Hơn nữa

 \({x_1} + {x_2} =  - {{2({m^2} - 1)} \over 9} < 0\) với mọi m > 2 nên hai nghiệm đều âm.

b) Ta có \({{ - 2({m^2} - 1)} \over 9} =  - 4 \Leftrightarrow {m^2} = 19 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt {19} \)

Với \(m =  \pm \sqrt {19} \) thì \(\Delta ' > 0\)

Đáp số \(m =  \pm \sqrt {19} \)

Bài 9 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho phương trình bậc hai với tham số m

\(3{x^2} - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0\)

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn: Trước hết tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm. Sau đó sử dụng định lí Vi – ét.

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi biệt thức dương. Ta có:

\(\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3(3m - 5) = {m^2} - 7m + 16\)

Các giá trị m tìm được phải thỏa mãn điều kiện \({m^2} - 7m + 16 > 0\) tuy nhiên, trong trường hợp này tam thức bậc hai \({m^2} - 7m + 16 > 0\) với mọi m. Xem §5 chương IV).

Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} = 3{x_2}\)

Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Theo định lí Vi – ét ta có

\({x_1} + {x_2} = {{2(m + 1)} \over 3},{x_1}{x_2} = {{3m - 5} \over 3}\)

Từ đó suy ra:

\({x_2} = {{m + 1} \over 6},3x_2^2 = {{3m - 5} \over 3}\)

Khử \({x_2}\) ta được phương trình bậc hai đối với m:

\({m^2} - 10m + 21 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({m_1} = 7,{m_2} = 3\)

+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {4 \over 3},{x_1} = 4\)

+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {2 \over 3},{x_1} = 2\)

Bài 10 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10.

 Giải các phương trình

a) \(\sqrt {3x - 4}  = x - 3\)

b) \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3}  = 2x - 1\)

c) \(\sqrt {2{x^2} + 3x + 7}  = x + 2\)

d) \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 4}  = \sqrt {2x - 5} \)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge {4 \over 3}\)

Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả

\(3x - 4 = {x^2} - 6x + 9 =  > {x^2} - 9x + 13 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \(x = {{9 \pm \sqrt {29} } \over 2}\). Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(x \ge {4 \over 3}\) nhưng khi thay vào phương trình ban đều thì giá trị \({{9 - \sqrt {29} } \over 2}\) bị loại (vế trái dương nhưng vế phải âm).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = {{9 + \sqrt {29} } \over 2}\)

b) Điều kiện của phương trình là \({x^2} - 2x + 3 > 0\)

Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả.

\({x^2} - 2x + 3 = 4{x^2} - 4x + 1\)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 2 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \(x = {{1 \pm \sqrt 7 } \over 3}\) . Khi thay các giá trị này vào phương trình ban đầu thì giá trị \({{1 - \sqrt 7 } \over 3}\) bị loại.

Đáp số: \(x = {{1 + \sqrt 7 } \over 3}\)

c) Điều kiện của phương trình \({x^2} + 3x + 7 > 0\) 

\(\sqrt {2{x^2} + 3x + 7}  = x + 2 =  > 2{x^2} + 3x + 7 = {x^2} + 4x + 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0\)

Phương trình cuối vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện của phương trình là: \(3{x^2} - 4x - 4 \ge 0\) và \(2x + 5 \ge 0\)

\(\sqrt {3{x^2} - 4x - 4}  = \sqrt {2x + 5}  =  > 3{x^2} - 4x - 4 = 2x + 5\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} =  - 1,{x_2} = 3\) . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn các điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã có hai nghiệm \(x =  - 1,x = 3\)

Bài 11 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau

a) \(|3x + 2m| = x - m\)

b) \(|2x + m| = |x - 2m + 2|\)

c) \(m{x^2} + (2m - 1)x + m - 2 = 0\)

d) \({{\sqrt {4x - 2} } \over {2x - 1}} = m - 1\)

Hướng dẫn giải

a) Với \(x \ge  - {{2m} \over 3}\) phương trình đã cho trở thành

\(3x + 2m = x - m \Leftrightarrow 2x =  - 3m \Leftrightarrow x =  - {{3m} \over 2}\)

Ta có:

\( - {{3m} \over 2} \ge  - {{2m} \over 3} \Leftrightarrow  - 9m \ge  - 4m\)

\( \Leftrightarrow 5m \le 0 \Leftrightarrow m \le 0\)

Với \(x <  - {{2m} \over 3}\) Phương trình đã cho trở thành

\( - 3x - 2m = x - m \Leftrightarrow 4x =  - m \Leftrightarrow x =  - {m \over 4}\)

Ta có:

\( - {m \over 4} \ge  - {{2m} \over 3} \Leftrightarrow  - 3m \ge  - 8m\)

\( \Leftrightarrow 5m < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

Kết luận

Với m > 0 phương trình vô nghiệm;

Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0;

Với m < 0 phương trình có nghiệm \({x_1} =  - {{3m} \over 2}\) và \({x_2} =  - {m \over 4}\)

b) \(\left| {2x + m} \right| = \left| {x - 2m + 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \matrix{2x + m = x - 2m + 2(1) \hfill \cr 2x + m = - x + 2m - 2(2) \hfill \cr} \right.\)

Phương trình (1) \( \Leftrightarrow x =  - 3m + 2\)

Phương trình (2) \( \Leftrightarrow 3x = m - 2 \Leftrightarrow x = {{m - 2} \over 3}\)

Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là:

\({x_1} =  - 3m + 2$$ và $${x_2} = {{m - 2} \over 3}\)

c) m = 0 phương trình trở thành

\( - x - 2 = 0 =  > x =  - 2\)

\(m \ne 0\) phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có \(\Delta  = 4m + 1\)

Với \(m <  - {1 \over 4}\) phương trình vô nghiệm;

Với \(m \ge  - {1 \over 4}\) nghiệm của phương trình là

\({x_{1,2}} = {{1 - 2m \pm \sqrt {4m + 1} } \over {2m}}\)

d) Điều kiện của phương trình là \(m > {1 \over 2}\)

Với điều kiện đó vế trái dương, nên vế phải cũng dương nên m > 1. Lúc đó ta có:

\({{\sqrt {4x - 2} } \over {2x - 1}} = m - 1 \Leftrightarrow \sqrt {2(2x - 1)}  = (m - 1)(2x - 1)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {(2x - 1)} {\rm{[}}\sqrt 2  - (m - 1)\sqrt {2x - 1} {\rm{]}} = 0\)

\( \Leftrightarrow (m - 1)\sqrt {2x - 1}  = \sqrt 2\)

\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2}(2x - 1) = 2\)

\( \Leftrightarrow x = {{{{(m - 1)}^2} + 2} \over {2{{(m - 1)}^2}}} = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m - 1)}^2}}}\)

Giá trị \(x = {1 \over 2} + {1 \over {(m - 1){}^2}}\) thỏa mãn điều kiện  \(x > {1 \over 2}\)

Kết luận. Với \(m \le 1\) phương trình vô nghiệm.

Với m > 1 nghiệm của phương trình là \(x = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m - 1)}^2}}}\)

Loading...