Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§2. Giá trị lượng giác của một cung

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 7 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau

a) \(\cos (\alpha  - {\pi  \over 2})\);

b) \(\sin ({\pi  \over 2} + \alpha )\);

c) \(\tan ({{3\pi } \over 2} - \alpha )\);

d) \(\cot (\alpha  + \pi )\)

Hướng dẫn giải

a) Với \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\) thì \({\pi  \over 2} < \alpha  - {\pi  \over 2} < \pi \), do đó \(\cos (\alpha  - {\pi  \over 2}) < 0\).

b) \({{3\pi } \over 2} < {\pi  \over 2} + \alpha  < 2\pi \) nên \(\sin ({\pi  \over 2} + \alpha ) < 0\)

c) \(0 < {{3\pi } \over 2} - \alpha  < {\pi  \over 2}\) nên \(\tan ({{3\pi } \over 2} - \alpha ) > 0\)

d) \(\pi  < \alpha  + \pi  < {{5\pi } \over 2}\) nên \(\cot (\alpha  + \pi ) > 0\)

Bài 8 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \), ta luôn có

a) \(\sin (\alpha  + {\pi  \over 2}) = \cos \alpha \);

b) \({\rm{cos}}(\alpha  + {\pi  \over 2}) =  - \sin \alpha \);

c) \(\tan (\alpha  + {\pi  \over 2}) =  - \cot \alpha \);

d) \(\cot (\alpha  + {\pi  \over 2}) =  - \tan \alpha \).

Hướng dẫn giải

a) \(\sin (\alpha  + {\pi  \over 2}) = \sin ({\pi  \over 2} - ( - \alpha )) = c{\rm{os( - }}\alpha {\rm{) = cos}}\alpha \)

b) \({\rm{cos}}(\alpha  + {\pi  \over 2}) = c{\rm{os(}}{\pi  \over 2} - ( - \alpha ) = \sin ( - \alpha ) =  - \sin \alpha \)

c) \(\tan (\alpha  + {\pi  \over 2}) = {{\sin (\alpha  + {\pi  \over 2})} \over {\cos (\alpha  + {\pi  \over 2})}} = {{\cos \alpha } \over { - \sin \alpha }} =  - \cot \alpha \)

d) \(\cot (\alpha  + {\pi  \over 2}) = {{\cos (\alpha  + {\pi  \over 2})} \over {\sin (\alpha  + {\pi  \over 2})}} = {{ - \sin \alpha } \over {\cos \alpha }} =  - \tan \alpha \)

Bài 9 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), nếu

a) \({\rm{cos}}\alpha  =  - {1 \over 4},\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\)

b) \({\rm{sin}}\alpha  = {2 \over 3},{\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \)

c) \({\rm{tan}}\alpha  = {7 \over 3},0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\)

d) \({\rm{cot}}\alpha  =  - {{14} \over 9},{{3\pi } \over 2} < \alpha  < 2\pi \)

Hướng dẫn giải

a) \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2} =  > \sin \alpha  < 0\)

Vậy \(\sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - {1 \over {16}}}  =  - {{\sqrt {15} } \over 4}\)

\(\tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha }} = \sqrt {15} ,\cot \alpha  = {1 \over {\sqrt {15} }}\)

b) \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi  =  > c{\rm{os}}\alpha {\rm{ < 0}}\)

Vậy \(\cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - {4 \over 9}}  = {{ - \sqrt 5 } \over 3}\)

\(\tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {c{\rm{os}}\alpha }}{\rm{ =  - }}{2 \over {\sqrt 5 }}{\rm{,cot}}\alpha {\rm{ =  - }}{{\sqrt 5 } \over 2}\)

c) \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2} = \cos \alpha  > 0,co{s^2}\alpha  = {1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}\)

Vậy \(\cos \alpha  = {1 \over {\sqrt {1 + {{49} \over 9}} }} = {3 \over {\sqrt {58} }}\)

\(\sin \alpha  = \cos \alpha \tan \alpha  = {7 \over {\sqrt {58} }},\cot \alpha  = {3 \over 7}\)

d) \({{3\pi } \over 2} < \alpha  < 2\pi  =  > \sin \alpha  < 0,{\sin ^2}\alpha  = {1 \over {1 + {{\cot }^2}\alpha }}\)

Vậy \(\sin \alpha  =  - {1 \over {\sqrt {1 + {{196} \over {81}}} }} =  - {9 \over {\sqrt {277} }}\)

\({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = sin}}\alpha {\rm{cot}}\alpha {\rm{ = }}{{14} \over {\sqrt {277} }},\tan \alpha  = {1 \over {\cot \alpha }} =  - {9 \over {14}}\)

Bài 10 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Biết \(\sin \alpha  = {3 \over 4}\) và \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \). Tính

a) \(A = {{2\tan \alpha  - 3\cot \alpha } \over {\cos \alpha  + tan\alpha }}\)

b) \(B = {{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha } \over {\tan \alpha  - \cot \alpha }}\)

Hướng dẫn giải

a) \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi  =  > \cos \alpha  < 0\)

Ta có: \(\cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - {9 \over {16}}}  =  - {{\sqrt 7 } \over 4}\)

\(\tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} =  - {3 \over {\sqrt 7 }},\cot \alpha  =  - {{\sqrt 7 } \over 3}\)

Vậy \(A = {{ - {6 \over {\sqrt 7 }} + \sqrt 7 } \over { - {{\sqrt 7 } \over 4} - {3 \over {\sqrt 7 }}}} =  - {4 \over {19}}\)

b) \(B = {{{7 \over {16}} + {7 \over 9}} \over { - {3 \over {\sqrt 7 }} + {{\sqrt 7 } \over {\sqrt 7 }}}} = {{{{7 \times 25} \over {144}}} \over { - {2 \over {3\sqrt 7 }}}} =  - {{175\sqrt 7 } \over {96}}\)

Bài 11 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho \(\tan \alpha  - 3\cot \alpha  = 6\) và \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\). Tính

a) \(\sin \alpha  + \cos \alpha \)

b) \({{2\sin \alpha  - \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\)

Hướng dẫn giải

Vì \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\)

Nên \(\cos \alpha  < 0,\sin \alpha  < 0\) và \(\tan \alpha  > 0\)

Ta có: \(\tan \alpha  - 3\cot \alpha  = 6 \Leftrightarrow \tan \alpha  - {3 \over {\tan \alpha }} - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  - 6\tan \alpha  - 3 = 0\)

Vì \(\tan \alpha  > 0\) nên \(\tan \alpha  = 3 + 2\sqrt 3\)

a) \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = {1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {1 \over {22 + 12\sqrt 3 }}\)

Suy ra \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ =  - }}{1 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }},\sin \alpha  =  - {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}.\)

Vậy \(\sin \alpha  + c{\rm{os}}\alpha {\rm{ =  - }}{{4 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}\)

\(\eqalign{
& {{2\sin \alpha - \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }} = {{\sin \alpha (2 - {1 \over {{\rm{cos}}\alpha }})} \over {{\rm{cos(1 + }}{1 \over {\sin \alpha }})}} \cr 
& = \tan \alpha .{{2\cos \alpha - 1} \over {{\rm{cos}}\alpha }}.{{\sin \alpha } \over {\sin \alpha + 1}} = {\tan ^2}\alpha .{{2\cos \alpha - 1} \over {\sin \alpha + 1}} \cr} \)

\(\eqalign{
& {(3 + 2\sqrt 3 )^2}.{{ - {2 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}} \over { - {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} + 1}} \cr 
& = (21 + 12\sqrt 3 ).{{2 + \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } } \over {3 + 2\sqrt 3 - \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} \cr} \)

Bài 12 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh các đẳng thức

a) \({{\tan \alpha  - \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ - cot}}\alpha }} = \tan \alpha \tan \beta\)

b) \(\tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\)

c) \(2({\sin ^6}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) + 1 = 3({\sin ^4}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\eqalign{
& {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ - cot}}\alpha }} = {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{1 \over {\tan \beta }} - {1 \over {\tan \alpha }}}} \cr 
& = {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{{\tan \alpha - \tan \beta } \over {tan\alpha \tan \beta }}}} = \tan \alpha \tan \beta \cr} \) 

b)

\(\eqalign{
& \tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} \cr 
& = \tan ({90^0} + {10^0}) + {{\sin ({{360}^0} + {{170}^0})} \over {1 + \sin ({{720}^0} - {{80}^0})}} \cr} \)

\(\eqalign{
& = - \cot {10^0} + {{\sin {{170}^0}} \over {1 - \sin {{80}^0}}} \cr 
& = - {{\cos {{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}}} + {{\sin {{10}^0}} \over {1 - c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0}}} \cr} \)

\( = {{ - \cos {{10}^0} + {{\cos }^2}{{10}^0} + {{\sin }^2}{{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}(1 - c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0})}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\)

\(\eqalign{
& c)2({\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) + 1 \cr 
& = 2({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x)({\sin ^4}x - {\sin ^2}x{\cos ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + 1 \cr 
& = 2({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + {({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x)^2} - 2{\sin ^{^2}}x{\cos ^2}x \cr 
& = 2({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + ({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) \cr 
& = 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha ) \cr} \)

Bài 13 trang 190 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho \(\tan \alpha  + \cos \alpha  = m\), hãy tính theo m

a) \({\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha \)

b) \({\tan ^3}\alpha  + {\cot ^3}\alpha \)

Hướng dẫn giải

a)

\(\eqalign{
& {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \cr 
& = {(\tan \alpha + \cot \alpha )^2} - 2\tan \alpha \cot \alpha = {m^2} - 2 \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& {\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \cr 
& = (\tan \alpha + \cot \alpha )({\tan ^2}\alpha - \tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha ) \cr 
& = m({m^2} - 3) \cr} \)

Bài 14 trang 190 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức

a) \(A = \tan {18^0}\tan {288^0} + \sin {32^0}\sin {148^0} - \sin {302^0}\sin {122^0}\)

b) \(B = {{1 + {{\sin }^4}\alpha  - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha } \over {1 - {{\sin }^6}\alpha  - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha }}\)

Hướng dẫn giải

a)

\(A = \tan ({90^0} - {72^0})\tan ({360^0} - {72^0}) + \sin {32^0}\sin ({180^0} - {32^0}) - \sin ({360^0} - {58^0})\sin ({180^0} - {58^0})\)

\(\eqalign{
& \cot {72^0}( - \tan {72^0}) + {\sin ^2}{32^0} + {\sin ^2}{58^0} \cr 
& = - 1 + {\sin ^2}{32^0} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{32^0} \cr 
& = - 1 + 1 = 0 \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& B = {{1 + ({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )(si{n^2}\alpha - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )} \over {1 - ({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )({{\sin }^4}\alpha - {{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )}} \cr 
& = {{1 + {{\sin }^2}\alpha - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \over {1 - {\rm{[}}{{({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )}^2} - 3{{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \cr 
& = {{3{{\sin }^2}\alpha } \over {3{{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = {2 \over 3}(1 + {\tan ^2}\alpha ) \cr} \)

Bài 15 trang 190 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) làm cho biểu thức \({{\sin \alpha  + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\) có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\eqalign{
& {{\sin \alpha + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }} = {{\sin \alpha (1 + {1 \over {{\rm{cos}}\alpha }})} \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{(1 + }}{1 \over {\sin \alpha }})}} \cr 
& = {{{{\sin }^2}\alpha (1 + c{\rm{os}}\alpha {\rm{)}}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha (1 + \sin \alpha )}} \cr} \)

Vì \(1 + c{\rm{os}}\alpha  \ge {\rm{0}}\) và \(1 + \sin \alpha  \ge {\rm{0}}\) cho nên biểu thức đã cho không thể có giá trị là một số âm.