Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§2. Đường tròn

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 3.15 trang 150 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng Oxy,hãy lập phương trình đường tròn (C)  có tâm là điểm (2 ; 3) và thỏa mãn điều kiện sau:

a) (C)  có bán kính là 5 ;

b) (C)  đi qua gốc tọa độ ;

c) (C)  tiếp xúc với trục Ox;

d) (C)  tiếp xúc với trục Oy;

e) (C)  tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :4x + 3y - 12 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\);

b) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\);

c) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\);

d) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\);

e) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1\).

Bài 3.16 trang 150 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho ba điểm A(1;4), B(-7;4), C(2;-5). 

a) Lập phương trình đường tròn (C)  ngoại tiếp tam giác ABC ;

b) Tìm tâm và bán kính của (C). 

Hướng dẫn giải

a) Phương trình của (C)  có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\). Ta có:

\(A,B,C \in \) (C)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 2a - 8b + c = - 17 \hfill \cr 
14a - 8b + c = - 65 \hfill \cr 
- 4a + 10b + c = - 29 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 3 \hfill \cr 
b = - 1 \hfill \cr 
c = - 31 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình của (C) là: \({x^2} + {y^2} + 6x + 2y - 31 = 0\)

b) (C) có tâm là điểm (-3;-1) và có bán kính bằng \(\sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {41} \)

Bài 3.17 trang 151 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.

Cho đường tròn tâm (C)  đi qua hai điểm A(-1;2), B(-2;3) và có tâm ở trên đường thẳng \(\Delta :3x - y + 10 = 0\)

a) Tìm tọa độ tâm của (C);

b) Tính bán kính R của (C);

b)Viết phương trình của (C); 

Hướng dẫn giải

Gọi I(a;b) là tâm của (C) ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr 
I \in \Delta \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} \hfill \cr 
3a - b + 10 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a - 2b = - 8 \hfill \cr 
3a - b = - 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 3 \hfill \cr 
b = 1. \hfill \cr} \right.\)

Vậy (C) có tâm I (-3 ; 1).

b) \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

c) Phương trình của (C)  là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\)

Bài 3.18 trang 151 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho ba đường thẳng: \({\Delta _1}:3x + 4y - 1 = 0\)

\({\Delta _2}:4x + 3y - 8 = 0\)

d:2x + y - 1 = 0

a) Lập phương trình các đường phân giác của góc hợp bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

b) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn (C) biết rằng I nằm trên d và (C) tiếp xúc với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)

c) Viết phương trình của (C)

Hướng dẫn giải

a) x - y - 7 = 0 (d) hay \(x + y - {9 \over 7} = 0\) (d')

b) \({I_1}\left( {{8 \over 3}; - {{13} \over 3}} \right)\), \({I_2}\left( { - {2 \over 7};{{11} \over 7}} \right)\)

c) (C1) : \({\left( {x - {8 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y + {{13} \over 3}} \right)^2} = {\left( {{{31} \over {15}}} \right)^2}\)

   (C2) : \({\left( {x + {2 \over 7}} \right)^2} + {\left( {y - {{11} \over 7}} \right)^2} = {\left( {{{31} \over {35}}} \right)^2}\)

Bài 3.19 trang 151 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Lập phương trình của đường tròn (C)  đi qua hai điểm A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng \({\Delta _1}:3x + 4y - 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

(C1) : \({x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0\)

 (C2) : \({x^2} + {y^2} - 3x - 7y + 12 = 0\)

Bài 3.20 trang 151 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Lập phương trình đường tròn bán kính AB trong các trường hợp sau:

a) A có tọa độ (-1;1), B có tọa độ (5;3) ;

b) A có tọa độ (-1;-2), B có tọa độ (2;1).

Hướng dẫn giải

a) \({x^2} + {y^2} - 4x - 4y - 2 = 0\)

b) \({x^2} + {y^2} - x + y - 4 = 0\)

Bài 3.21 trang 151 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Lập phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua M(4;2). 

Hướng dẫn giải

Phương trình của (C) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} = {a^2}\), ta có:

\(M \in \) (C) \( \Leftrightarrow {\left( {4 - a} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2} = {a^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 2 \hfill \cr 
a = 10 \hfill \cr} \right.\)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài là: 

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) và \({\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100\)

Bài 3.22 trang 151 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} - x - 7y = 0\) và đường thẳng d: 3x + 4y - 3 = 0.

a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và d.

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó.

c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến. 

Hướng dẫn giải

a) \({M_1}\left( {1;0} \right)\), \({M_2}\left( { - 3;3} \right)\)

b) \({\Delta _1}:x - 7y - 1 = 0\); \({\Delta _2}:7x + y + 18 = 0\)

c) \(A\left( { - {5 \over 2}; - {1 \over 2}} \right)\)

Bài 3.23 trang 151 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và điểm A(1;3).

a) Chứng tỏ rằng điểm A nằm ngoài đường tròn (C) .

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C)  xuất phát từ điểm A. 

Hướng dẫn giải

a) (C) có tâm I (3;-1) và có bán kính R = 2, ta có: 

\(IA = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \)

và IA > R, vậy A nằm ngoài (C).

b) \({\Delta _1}:3x + 4y - 15 = 0\); \({\Delta _2}:x - 1 = 0\).

Bài 3.24 trang 152 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Lập phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y = 0\) biết rằng vuông góc với đường thẳng d:3x - y + 4 = 0

Hướng dẫn giải

\(\Delta\) vuông góc với d nên phương trình \(\Delta\) có dạng: x + 3y + c = 0

(C) có tâm I(3;-1) và có bán kính \(R = \sqrt {10} \). Ta có:

\(\Delta\) tiếp xúc với (C) : 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R \Leftrightarrow {{\left| {3 - 3 + c} \right|} \over {\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \cr 
& \Leftrightarrow c = \pm 10. \cr} \)

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: 

\({\Delta _1}:x + 3y + 10 = 0\) và \({\Delta _2}:x + 3y - 10 = 0\)