Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§1. Đường thẳng

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 3.1 trang 142 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Lập Phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: 

a) d đi qua điểm A(-5;-2) và có vec tơ chỉ phương  ;

b) d đi qua hai điểm \(A\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\) và \(B\left( {2 + \sqrt 3 ;4} \right)\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \matrix{
x = - 5 + 4t \hfill \cr 
y = - 2 - 3t \hfill \cr} \right.\)

b) \(\left\{ \matrix{
x = \sqrt 3 + 2t \hfill \cr 
y = 1 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Bài 3.2 trang 143 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số  

\(\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr 
y = 3 + t \hfill \cr} \right.\)

a) Tìm điểm M nằm trên \(\Delta \) và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với đường thẳng x + y + 1 = 0

c) Tìm M trên \(\Delta \) sao cho AM ngắn nhất.

Hướng dẫn giải

a) \(M(2 + 2t;3 + t) \in \Delta .\)

\(AM = 5 \Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25\)

\(\Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \vee t =  - {{17} \over 5}\)

Vậy M có tọa độ là (4;4) hay \(\left( {{{ - 24} \over 5};{{ - 2} \over 5}} \right)\)

b) \(M(2 + 2t;3 + t) \in \Delta .\)

\(\eqalign{
& d:x + y + 1 = 0 \cr 
& M \in d \Leftrightarrow 2 + 2t + 3 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \cr} \)

Vậy M có tọa độ là (-2;1).

c) \(M(2 + 2t;3 + t) \in \Delta .\)

\(\overrightarrow {AM}  = (2 + 2t;2 + t)\), \({\overrightarrow u _\Delta } = (2;1)\)

Ta có AM ngắn nhất \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  \bot {\overrightarrow u _\Delta }\)

\( \Leftrightarrow 2(2 + 2t) + (2 + t) = 0 \Leftrightarrow t =  - {6 \over 5}\)

Vậy M có tọa độ là \(\left( { - {2 \over 5};{9 \over 5}} \right).\)

Bài 3.3 trang 143 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Lập Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\Delta \) đi qua điểm M(1;1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (3; - 2);\)

b) \(\Delta \) đi qua điểm A(2;-1) và có hệ số góc \(k =  - {1 \over 2}\);

c) \(\Delta \) đi qua hai điểm A(2;0) và B(0;-3).

Hướng dẫn giải

a) 3x - 2y - 1 = 0

b) \(y + 1 =  - {1 \over 2}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow x + 2y = 0\)

c) 3x - 2y - 6 = 0

Bài 3.4 trang 143 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1;0), N(4;1), P(2;4).

Hướng dẫn giải

Gọi \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\) lần lượt là các đường trung trực đi qua M, N, P.

Ta có: \({\overrightarrow n _{{\Delta _1}}} = \overrightarrow {NP}  = ( - 2;3)\)

Vậy \({\Delta _1}\) có phương trình \( - 2(x + 1) + 3y = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 2 = 0.\)

Ta có: \({\overrightarrow n _{{\Delta _2}}} = \overrightarrow {MP}  = (3;4)\)

Vậy \({\Delta _2}\) có phương trình \(3(x - 4) + 4(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 16 = 0.\)

Ta có: \({\overrightarrow n _{{\Delta _3}}} = \overrightarrow {MN}  = (5;1)\)

Vậy \({\Delta _3}\) có phương trình \(5(x - 2) + (y - 4) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 14 = 0.\)

Bài 3.5 trang 143 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho M(1;2). Hãy lập phương trình của đường thẳng đi qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1: \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\)

Phương trình \(\Delta \) có dạng: \({x \over a} + {y \over b} = 1.\)

Ta có: \(\left| a \right| = \left| b \right|\)

(+) b = a

\(\Delta \) có dạng: \({x \over a} + {y \over a} = 1.\)

\(M \in \Delta  \Leftrightarrow {1 \over a} + {2 \over a} = 1 \Leftrightarrow a = 3\)

Vậy: \(\Delta :{x \over 3} + {y \over 3} = 1 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0.\)

(+) b = -a

\(\Delta \) có dạng: \({x \over a} + {y \over { - a}} = 1.\)

\(M \in \Delta  \Leftrightarrow {1 \over a} + {2 \over { - a}} = 1 \Leftrightarrow a =  - 1\)

Vậy: \(\Delta :{x \over { - 1}} + {y \over 1} = 1 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0.\)

Trường hợp 2: b = a = 0 

\(\Delta \) đi qua M và O nên có phương trình 2x - y = 0

Bài 3.6 trang 143 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB:x - 3y + 11 = 0, đường cao AH = 3x + 7y - 15 = 0, đường cao BH:3x - 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài tọa độ điểm A luôn thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = - 11 \hfill \cr 
3x + 7y = 15 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr 
y = 3. \hfill \cr} \right.\)

Vì \(AC \bot BH\) nên C có dạng: 5x + 3y + c = 0, ta có:

\(A \in AC \Leftrightarrow  - 10 + 9 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1.\)

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AC: 5x + 3y + 1 = 0.

Tọa độ của điểm B luôn thỏa mãn hệ phương trình: 

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = - 11 \hfill \cr 
3x - 5y = - 13 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr 
y = 5. \hfill \cr} \right.\)

Vì \(BC \bot AH\) nên BC có dạng: \(7x - 3y + c = 0\), ta có:

\(B \in BC \Leftrightarrow 28 - 15 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 13.\)

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh BC: 7x - 3y - 13 = 0.

Bài 3.7 trang 143 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC có A(-2;3) và hai đường trung tuyến: 2x - y + 1 = 0 và x + y - 4 = 0. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

Hai đường trung tuyến đã cho đều không phải là đường trung tuyến xuất phát từ A vì tọa độ A không thỏa mãn các phương trình của chúng. Đặt BM: 2x - y + 1 = 0 và CN: x + y - 4 = 0 là hai trung tuyến của tam giác ABC.

Đặt B(x;y), ta có \(N\left( {{{x - 2} \over 2};{{y + 3} \over 2}} \right)\) và

\(\left\{ \matrix{
B \in BM \hfill \cr 
N \in CN \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x - y + 1 = 0 \hfill \cr 
{{x - 2} \over 2} + {{y + 3} \over 2} - 4 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x - y = - 1 \hfill \cr 
x + y = 7 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
y = 5 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là : 2x - 4y + 16 = 0

\( \Leftrightarrow x - 2y + 8 = 0\)

Tương tự ta có phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là : 2x + 5y - 11 = 0

Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là : 4x + y - 13 = 0

Bài 3.8 trang 143 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc:

\({\Delta _1}:mx + y + q = 0\) và \({\Delta _2}:x - y + m = 0\)

Hướng dẫn giải

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\overrightarrow n _1} = (m;1)\)

\(\overrightarrow {{n_2}}  = (1; - 1)\)

Ta có: \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = 1.\)

Bài 3.9 trang 143 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) \(d:\left\{ \matrix{
x = - 1 - 5t \hfill \cr 
y = 2 + 4t \hfill \cr} \right.\)

và 

\(d':\left\{ \matrix{
x = - 6 + 5t` \hfill \cr 
y = 2 - 4t` \hfill \cr} \right.\)

b) \(d:\left\{ \matrix{
x = 1 - 4t \hfill \cr 
y = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\) và d':2x + 4y - 10 = 0

c) d:x + y - 2 = 0 và d':2x + y - 3 = 0

Hướng dẫn giải

a) Đưa phương trình của d và d' về dạng tổng quát

d: 4x + 5y - 6 = 0

d': 4x + 5y + 14 = 0

\({4 \over 5} + {5 \over 5} \ne {{ - 6} \over {14}}\)

Vậy d//d'

b) d:x + 2y - 5 = 0

d':2x + 4y - 10 = 0

\({1 \over 2} = {2 \over 4} = {{ - 5} \over { - 10}}\)

Vậy \(d \equiv {d'}\)

c) d:x + y - 2 = 0

d':2x + y - 3 = 0

\({1 \over 2} \ne {1 \over 1}.\)

Vậy d cắt d'

Bài 3.10 trang 144 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tìm góc giữa hai đường thẳng:

\({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:2x - y + 6 = 0\)

Hướng dẫn giải

\(\cos (\widehat {{d_1},{d_2}}) = {{\left| {2 - 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 4} \sqrt {4 + 1} }} = 0\)

Vậy \((\widehat {{d_1},{d_2}}) = {90^ \circ }.\)