Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

§1. Bất đẳng thức

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)

Hướng dẫn giải

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} - {x^3}y - x{y^3} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3}(x - y) + {y^3}(y - x) \ge 0 \Leftrightarrow (x - y)({x^3} - {y^3}) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0 \Leftrightarrow {(x - y)^2}({(x + {y \over 2})^2} + {{3{y^2}} \over 4}) \ge 0\) (đúng)

Bài 2 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\)

Hướng dẫn giải

\({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4{y^2} - 12y + 3({z^2} - 2z) + 14 > 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2}{(2y - 3)^2} + 3{(z - 1)^2} + 1 > 0\) (đúng)

Bài 3 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr 
& \Leftrightarrow {{{{(\sqrt a )}^3} + {{(\sqrt b )}^3}} \over {\sqrt a \sqrt b }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr} \)

\( \Leftrightarrow (\sqrt a  + \sqrt b )(a + b - \sqrt {ab} ) \ge (\sqrt a  + \sqrt b )\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow (\sqrt a  + \sqrt b )(a + b - 2\sqrt {ab} ) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow (\sqrt a  + \sqrt b ){(\sqrt a  - \sqrt b )^2} \ge 0\) (đúng)

Bài 4 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Hướng dẫn giải

Từ \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \) và \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) suy ra

\((a + b)({1 \over a} + {1 \over b}) \ge 4\) hay \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Bài 5 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)

Hướng dẫn giải

Từ \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) và \(c + d \ge 2\sqrt {cd} \)suy ra

\(a + b + c + d \ge 2(\sqrt {ab}  + \sqrt {cd} )\)

\( =  > 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \)

=> \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)

=> \(a + b + c + d \ge 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \)

=> \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)

Bài 6 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}\)

Hướng dẫn giải

Từ \(a + b + c + d \ge 4\root 4 \of {abcd} \) và \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge 4\root 4 \of {{1 \over {abcd}}} \)

Suy ra \((a + b + c + d)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d}) \ge 16\)

Hay \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}\)

Bài 7 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({a^2}b + {1 \over b} \ge 2a\)

Hướng dẫn giải

\({a^2}b + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{a^2}b.{1 \over b}}  = 2a\)

Bài 8 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\((a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc\)

Hướng dẫn giải

Từ \(a + b \ge 2\sqrt {ab} ,b + c \ge 2\sqrt {bc} ,c + a \ge 2\sqrt {ca} \)

Suy ra: \((a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc\)

Bài 9 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({(\sqrt a  + \sqrt b )^2} \ge 2\sqrt {2(a + b)\sqrt {ab} } \)

Hướng dẫn giải

\({(\sqrt a  + \sqrt b )^2} = a + b + 2\sqrt {ab}  \ge 2\sqrt {(a + b).2\sqrt {ab} } \)

Bài 10 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\)

Hướng dẫn giải

\((a + b + c)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}) = 1 + 1 + 1 + ({a \over b} + {b \over a}) + ({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b})\)

\( \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9 =  > {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\)

Loading...