Phương pháp giải các bài tập hình học không gian-luyện thi đh

Gửi bởi: k62bcntt vào ngày 2016-02-15 10:18:31 || Kiểu file: PDF

Nội dung tài liệu Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Loading...

Thông tin tài liệu

NGUYỄN TRUNG KIÊN 1Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠ NG PHÁP GI ẢI CÁC BÀI ẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG THI TS ĐH Biên so ạn: Nguy ễn Trung Kiên Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều học sinh bối rối. Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: tanb B=, tanc C=, 2.AH HB HC= 22 21 AB ACAHAH AB ACAB AC= =+ Trong tam giác thường ABC ta có: 22 22 cos cos2b aa bc Abc+ -= Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, và góc B, C: 1sin sin sin2 2ABCS ab bc ac BD= .S r= (Trong đó là nữa chu vi, là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) 4abcSR= HCBAwww.boxtailieu.net www.boxtailieu.netNGUYỄN TRUNG KIÊN 2⊻ Thể tích khối đa diện: 1.3chopV h=(B là diện tích đáy, là chiều cao) .LTV h= Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. Loại 2: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến. Loại 3: Khối chóp có mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của mặt kề nhau đó. Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy. Sử dụng các giả thiết mở: Hình chóp SABCD có mặt phẳng )SAB và )SAC cùng tạo với đáy góc thì chân đường cao hạ từ đỉnh thuộc phân giác trong góc BAC Hình chóp SABCD có SB SC= hoặc ,SB SCcùng tạo với đáy một góc thì chân đường cao hạ từ rơi vào đường trung trực của BC Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường cao và sử dụng các công thức óp1.3chV h= .LTV h= Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1) (TSĐH 2009 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại vàD có ,AB AD CD a= =. Góc giữa mặt phẳng ), )SCB ABCDbằng 600. Gọi là trung điểm AD biết mặt phẳng )SBIvà )SCIcùng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp SABCD. HD giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’ mặt phẳng )SBIvà )SCIcùng vuông góc với đáy ABCD’’ www.boxtailieu.net www.boxtailieu.netNGUYỄN TRUNG KIÊN 3Vì mặt phẳng )SBIvà )SCIcùng vuông góc với đáy ABCD mà )SBIvà )SCIcó giao tuyến là SI nên )SI ABCD^. Kẻ IH BC^ ta có góc giữa mặt phẳng ), )SCB ABCDlà 0ˆ60SHI =. Từ đó ta tính được:212 5; 32IC IB BC ABCD AD AB CD a= 22 21 3. 322 2a aIH BC IBC ABCD ABI CDI a= nên 2IBCSIHBCD= =3 35a. Từ đó tính được 33 155SABCDV a=. Ví dụ 2) (TSĐH 2009) Cho lăng trụ đứng \' \' \'ABCA có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \' \' 3AB AA a= =. Gọi là trung điểm của đoạn \' \'B C, là giao điểm của BMvà \'B C. Tính thể tích khối chóp IABC theo HD giải: Dấu hiệu để nhận biết đường cao trong bài toán này là:’’I nằm trong mặt bên \' \')BCC Bvuông góc với đáy )ABC’’ Ta có: \' \' \'ABCA là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. \' )I BCÌ^(ABC), từ ta kẻ IH BC^ thì )IH ABC^ và chính là trọng tâm tam giác \' \'BB 4\' \' 3IH CI aIHBB CB= == HISDCBAwww.boxtailieu.net www.boxtailieu.netNGUYỄN TRUNG KIÊN 4Có 22 22AA 2AC BC AC AB a¢ ¢= == 31 4. .2 .3 9IABCaV IH dt ABC a= =( đvtt) Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ,AB AD SA a= và vuông góc với mặt phẳng()ABCD. Gọi ,M lần lượt là trung điểm của AD và SC; là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng ()SAC vuông góc với mặt phẳng ()SMB. Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Lời giải: +) Chứng minh ()()SAC SMB^. Ta có: 22 22 62 3;4 2a aAC AB BC BM AB AM Gọi AC BD= Ç;do là giao điểm của hai đường trung tuyến AO và BM nên là trọng tâm của tam giác ABD. Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có: 6;3 3a aAI AO AC BI BM AMOBIHCC\'B\'A\'www.boxtailieu.net www.boxtailieu.netNGUYỄN TRUNG KIÊN 5Nhận xét: 22 223 3a aAI BI AB+ =, suy ra tam giác AIB vuông tại I. Do đó BM AI^ (1) Mặt khác: ()SA ABCD^ nên SA BM^ (2) Từ (1) và (2) suy ra ()BM SAC^ +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Ta thấy khối chóp ANIB cũng chính là khối chóp NAIB Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là ‘’Điểm nằm trong mặt phẳng )SAC vuông góc với đáy )ABCD’’ Do NO là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có:/ /NO SA và 12 2aNO SA= Do đó NO là đường cao của tứ diện ANIB Diện tích tam giác đều AIB là: 21 2. .2 6AIBa aS AI BI Thể tích khối tứ diện ANIB là:2 31 2. .3 36AIBa aV NO NMIDCBASOwww.boxtailieu.net www.boxtailieu.netNGUYỄN TRUNG KIÊN 6Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với 2AB AC BC a= =. Các mặt bên đều hợp với đáy một góc 060. Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’ Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp’’ Từ đó ta có lời giải sau: Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng ()ABC và ,I lần lượt là hình chiếu của trên ,AB BC CA. Theo định lý ba đường vuông góc ta có:, ,SI AB SJ AC SH BC^ Suy ra: , ,SIO SJO SHO lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên ()()(), ,SAB SAC SBC và mặt đáy Theo giả thiết ta có: 060SIO SJO SHO Các tam giác vuông ,SOI SOJ SOH bằng nhau nên OI OJ OH= Do đó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác: ABC là tam giác cân tại nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến Suy ra ,A thẳng hàng và là trung điểm của BC Tam giác ABH vuông tại H, ta có:2 29 2AH AB BH a= Diện tích tam giác ABC là:21 1. .2 .2 22 2ABCS BC AH Ngoài ra: ABCS pr= với )142p AB AC BC a= và r: bán kính đường tròn nội tiếp ABCD. 22 24 2ABCS ar OHp a= www.boxtailieu.net www.boxtailieu.netNGUYỄN TRUNG KIÊN 7Tam giác SOH vuông tại O, ta có: 06tan 602aSO OH Thể tích khối chóp SABC là: 321 3. .2 2.3 3ABCa aV SO Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác\' \' \'ABCA Ccó đáy ABClà tam giác vuông tại 3,AB AC a= =. Biết đỉnh \'C cách đều các đỉnh ,A và khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng (C’AC) bằng 615a.Tính thể tích khối chóp \' \'A ABC theo và tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng \' \')ABB và mặt phẳng đáy )ABC. Giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Đỉnh \'C cách đều các đỉnh ,A CÛ \' \' \'C C= =’’ JHISOCBANHMC C\'B\'A\'IKBAwww.boxtailieu.net www.boxtailieu.netNGUYỄN TRUNG KIÊN 8- Hạ \' \' \' \'C ABC HA HB HC HA HB HC^D Suy ra là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vuông tại nên là trung điểm của BC. Ta có: \') \')2B ACC ACCd d=. Hạ \') \')1 3, \' \') 215H ACC ACCaHM AC HN HN ACC HN d^ ^^= Ta có: 3\' 32 2aHM AB a= == từ đó tính được \' .CC a= Có 3\' \'1 \' 3. 3.3 2A ABC LTaV dt ABC a= Hạ \' )A ABC^ thì \' \'C HKA là hình chữ nhật Gọi HK AB= thì 1/ /2OI AC= suy ra là trung điểm của AB. Tam giác ABC vuông tại nên KI AB^ Góc tạo bởi \' \')ABB và đáy )ABC là \'A IK Ta có: cos \'\'IKA IKA I=. Tính được 2 21 13 13; \' \' cos \'2 \' 13a IKIK HK IK IKA I= == Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành 02 60AB AD BAD SAB là tam giác đều Gọi là trung điểm của AB, là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng )SCD. Tính thể tích khối chóp SABCD biết 155aHK và điểm nằm trong tam giác SCD Giải: Bài toán này được cho theo kiểu giả thiết mở. Dấu hiệu để tìm ra đường cao khối chóp là:’’ SAB là tam giác đều Tức là \'\'SA SB= www.boxtailieu.net www.boxtailieu.netNGUYỄN TRUNG KIÊN Gọi là trung điểm của ,CD là trung điểm của ED Với giả thiết SA SB= ta suy ra chân đường cao hạ từ lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB Nói cách khác chân đường cao hạ từ lên )ABCD thuộc đường thẳng chứa HF Hạ )HK SF HK SCD^^ Ta có: 22 )3SABCD SHCDV HK dt SCD= Ta cần tính diện tích tam giác SCD Ta có: 1( ;2dt SCD SF CD= Mà 2; ;SF SK KF SK SH HK KF HF HK= SH là đường cao tam giác đều SAB suy ra: 3,SH HF=là đường cao tam giác đều HDE suy ra: 32aHF Thay số ta có: 1510aSF= Vậy: 32 15 3. .23 10 55SABCDa aV 120°AHKEFDCBSwww.boxtailieu.net www.boxtailieu.netNGUYỄN TRUNG KIÊN 10 Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại AB BC 3a khoảng cách từ đến mặt phẳng SBC bằng 2a và 090SAB SCB Tính thể tích khối chóp .ABC theo Giải: Đây là bài toán dễ làm cho học sinh bối rối khi xác định đường cao hình chóp. Hạ )SH ABCD^ vì AB SHAB SHA AB HAAB SA^^^^. Chứng minh tương tự ta có BC HC HABC^ là hình vuông. Ta có HC BC^ kẻ 2HK SC HK SBC HK a^^= Mặt khác ta có: 21 .6HK HCSH aHK HC HS HC HK= += =- Thể tích khối chóp 31 6. 6.3 2SABC ABCa aV SH aD= Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA SB a= =, 2SD a= và mặt phẳng SBD vuông góc với mặt phẳng (ABCD ). Tính theo thể tích khối chóp S.ABCD Giải: KSCBAHwww.boxtailieu.net www.boxtailieu.net