Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Một số bài toán Bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 năm 2021

150d9fedf8f27f20e781c2116dfe93c7
Gửi bởi: HCEM - CNTT vào ngày 2021-04-05 10:06:22 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 39 | Lượt Download: 0 | File size: 0.22841 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Nguyễn Trung Kiên 0988844088

MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ÔN
THI VÀO LỚP 10
Bài 1. Với x là số thực không âm. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P



1 
 1
x 1 


3x  1  .
 x3



Hướng dẫn:
Ta có:
1  x 1  1  1
x 1 
.

,
 
 x  1  3x  1  2  x  1 3x  1 

1

3x  1

x
1 2x
11
2x 

  
 suy ra
3x  1
2 3 x  1 2  2 3x  1 

x 1 1  1
x 1  1  1
2x  1  1
3
 

  (*).
  
 
3x  1 2  x  1 3 x  1  2  2 3x  1  2  x  1 2 
1
1 2
11
2 
x

.
  

,
2 x 3 2 2 x3 x3
x3

Tương tự:

x 1 1  1
2  1 x
x 1  1  x
3
  

  (**). Từ (*),(**) ta suy ra:
 
 
x  3 2  2 x  3  2  x 1 x  3  2  x 1 2 

Suy ra:

P



x x 1 1  x
x 1 
.
 


x  1 x  3 2  x 1 x  3 

1  1 1
3 1 x
3
 1
x 1 

  2  x  1  2   2  x  1  2   2 . Dấu đẳng thức xảy ra tại
3x  1 




 x 3



x 1 .

Bài 2. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x 2  y 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

x y
.
1  xy

Hướng dẫn:

 x  y

2

Ta có P 

x

2

2

 y 2  xy 

2



 x  y

x

2

2

x

2

 y2 

 y 2  xy 
2

2

. Ta chứng minh: P 2 

8
hay
9

2

9  x 2  2 xy  y 2  x 2  y 2   8  x 2  xy  y 2    x 2  y 2   2 xy  x 2  y 2   8 x 2 y 2 

x

2

2

2

 y 2   2 xy  x  y   0 .Bất đẳng thức này luôn đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x y

2 2
1
1
. Vậy GTNN của P là
tại x  y 
.
3
2
2

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Bài 3. Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x  y  3, x  y  5 . Tìm GTLN của
biểu thức: P  x 2  x  1  y 2  y  1 .
Hướng dẫn:

Ta sẽ chứng minh: x 2  x 3  y 2  y 3  22  23  32  33 hay

32  y 2  33  y3  22  x 2  23  x3  0 hay
  y 2  3 y  9   3  y    x 2  2 x  4   2  x    3  y  3  y    2  x  2  x   0 . Sử dụng công
thức khai triển Abel : a1b1  a2b2   a1  a2  b1  a2  b1  b2 
Ta viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành:

VT   y 2  3 y  x 2  2 x  5  3  y    x 2  2 x  4   5  x  y   1  y  x  3  y    2  x  5  x  y 
hay

VT   y 2  x 2  3 y  2 x  5  3  y    x 2  2 x  4   5  x  y   1  y  x  3  y    2  x  5  x  y 
Chú ý rằng với điều kiện: 0  x  y  3, x  y  5 thì VT  0 nên bất đẳng thức được chứng
minh.
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x  2, y  3 .
Bài 3. Cho các số thực x  3, y  3 thỏa mãn x  y  2





x  3  y  3 . Chứng minh rằng:

4  x 2  y 2   15 xy  83  0 .

Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có

x  y  4
x  y  2( x  3  y  3)  ( x  y) 2  4( x  y)  8 x  3. y  3  4( x  y)  
x  y  0
Mặt khác x  y  2( x  3  y  3)  2 2( x  y )  x  y  8  4  x  y  8
Xét biểu thức P  4( x 2  y 2 )  15 xy  4( x  y ) 2  7 xy . Từ điều kiện xác định ta có

 x  3 y  3   0  xy  3  x  y   9

. Dẫn đến
2

P  4( x 2  y 2 )  15 xy  4( x  y ) 2  7 xy  4  x  y   21 x  y   63 .
2

2

Ta có: 4  x  y   21 x  y   63  4  x  y  4   11 x  y   125  11.4  125  83
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x  y  4 và  x  3 y  3  0

 x  7, y  3 .

Vậy GTNN của P là -83 tại x  7, y  3 .



Bài 4 . Cho các số thực x, y thỏa mãn: x  3  x 2

P  x 2  xy  y 2 .

 y 



3  y 2  9 .Tìm GTNN của

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Hướng dẫn:



Giả sử  x; y  là các số thực thỏa mãn x  3  x 2

 y 

x 2  3  x  x 2  x  x  x  0 , tương tự

Ta có



3 y 2  9 .

y2  3  y  0

Đặt: a  x  x 2  3 với a  0  x 2  3  a  x  x 2  3  a 2  2ax  x 2  x 
tự với b  y  y 2  3 ta sẽ thu được y 
x 2  xy  y 2 

Nên P 

a2  3
. Tương
2a

b2  3
. Ta có
2b

3
1
3
2
2
2
x  y  x  y  x  y
4
4
4

a 2  3 b2  3
3
2

với điều kiện a, b  0, ab  9 . Ta
 x  y  . Xét Q  x  y ta có: Q 
4
2a
2b

a 2  3 b2  3 a b 3
3 a 3
a 3

  

   2 .  2  P  3.
2a
2b
2 2 2a 2b 3 a
3 a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a  3  x  y  1 .
có: Q 

Bài 5: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

a3
b3
c3


.
1  bc
1  ca
1  ab

P

Hướng dẫn:
Ta có

a3

1  bc

a2

a2

. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:
1 a
a 1  bc 

a  b  c

P

2

1 a  1  b  1  c
2

2a  b  c  3 2



. Ta chứng minh:

a  b  c

2

1 a  1 b  1 c



3 2
hay
2



1  a  1  b  1  c . Chú ý rằng:

2 2 1  a  2 2 1  a   2  1  a  a  3 dẫn đến

3 2





1  a  1  b  1  c  3  a  b  c  9  . Cuối cùng ta chỉ cần chỉ ra
2

4  a  b  c   3  a  b  c   27   a  b  c  3   4  a  b  c   9   0 nhưng điều này luôn đúng

do a  b  c  3 3 abc  3 . Vậy GTNN của P là

3 3
tại a  b  c  1 .
2

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Bài 6. Cho 3 số thực không âm x, y, z . Chứng minh rằng:
x
2

y



x 3

2



y 3

z
2



z 3

3 3 2
3
x  y2  z2  .
8
8

Hướng dẫn:
Ta có

3  x2  y 2  z 2   x  y  z .

Nên VT 
x
x2  3



x
x2  3
y
y2  3




y
y2  3
z
z2  3




Mặt khác ta chứng minh được:

z
z2  3



3
 x  y  z  . Ta chứng minh:
8

3
3
x  y  z  .
8
8

x
2

x 3



3x  1
(*) thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương
8

đương với
2

 64 x 2   9 x 2  6 x  1 x 2  3  3 x 4  2 x 3  12 x 2  6 x  1  0   x  1  3x 2  8 x  1  0 , bất
đẳng thức cuối cùng đúng vậy (*) được chứng minh.
y
3y 1
z
3z  1
Tương tự ta cũng có:

,

. Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta có
8
8
y2  3
z2  3
đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 .
Bài 7. Cho các số thực a, b, c không đồng thời bằng 0 và a  b  c  0 . Biết

a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca  . Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của P 

a
.
abc

Hướng dẫn:
2

Từ a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca  chia 2 vế cho  a  b  c  ta thu được:
2
2
2


a
b
c
ab
bc
ca

 
 




2



 đặt

 
 

  a  b  c 2  a  b  c 2  a  b  c 2 
 abc   abc   abc 


a
b
c
x
,y 
,z 
suy ra
a bc
abc
a bc
x  y  z  1
 y  z  1 x
 x  y  z  1


 2
 2
1 2
1
2
2
2
2
x

y

z

y  z 2   x2
 x  y  z  2  xy  yz  zx 


2 
2

Nguyễn Trung Kiên 0988844088

2
2
1

2  y 2  z 2    y  z   2   x 2   1  x   3 x 2  2 x  0  x  3x  2   0  3 x  3 x  2   0
2


3 x  0
2
2
Suy ra 
 0  x  suy ra 0  P  .
3
3
3 x  2  0
Bài 8: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x 2  y 2  z 2  8 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P  x3  y 3  y 3  z 3  z 3  x3 .

Hướng dẫn:
x  y  z
2 6
Ta có P  0 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2
.
 x yz
2
2
3
x

y

z

8


Do vai trò x, y, z như nhau nên ta có thể giả sử x  y  z thế thì P  2  x 3  z 3  ta có
 x 2  2 xz  z 2  x 2  xz  z 2  x 2  xz  z 2 
P  4  x  2 xz  z  x  xz  z  x  xz  z   4. 

3


2

2

2

2

2

3

2

2

3

3

 P 2  4  x 2  z 2  mà  x 2  z 2    x 2  y 2  z 2   83 nên P  32 2 . Dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi x  2 2, y  z  0 hoặc x  y  0, z  2 2 .
Bài 9. Cho các số thực dương a, b, c . Chứng minh:
a
2

5a   b  c 

2

b


2

5b   c  a 

2

c


2

5c   a  b 

2

 1.

Hướng dẫn:
a

Đặt: P 

5a 2   b  c 

2

b



5b 2   c  a 

2

c



5c 2   a  b 

2

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:



a2
b2
c2
Ta có P  3  2
 2
 2

2
2
2
 5a   b  c  5b   c  a  5c   a  b  


2

Ta chứng minh: Q 

a2
5a 2   b  c 

2



b2
5b 2   c  a 

2



c2
5c 2   a  b 

2

1
 .
3

3

Nguyễn Trung Kiên 0988844088

a2
a2
Chú ý rằng:

.
5a 2  b 2  2bc  c 2 a 2  b2  c 2  2a 2  bc  2a 2  bc
Ta cũng có:
a2
a2
a2 
1
1
1



 2
 2
 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5a  b  2bc  c
 a  b  c    2a  bc    2a  bc  9  a  b  c 2a  bc 2a  bc 

Từ đó suy ra
 2  a2
1
a2
b2
c2
b2
c2  1 2
Q  2







  S .
9  a  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2  9  2a 2  bc 2b 2  ca 2c 2  ab  9 9

a2
b2
c2
1
bc  1 
ca  1 
ab 


 1  2
  1  2
  1  2

2
2
2
2a  bc 2b  ca 2c  ab 2  2a  bc  2  2b  ca  2  2c  ab 
3 1
bc
ca
ab
hay S   T với T  2
 2
 2
2 2
2a  bc 2b  ca 2c  ab
Ta có: S 

Ta viết lại T 

b 2c 2
c 2a2
a 2b 2


. Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy2a 2bc  b 2c 2 2b 2ca  c 2 a 2 2c 2 ab  a 2b 2

Schwarz ta có:
2

2

 ab  bc  ca 
 ab  bc  ca 
b 2c 2
c2 a 2
a 2b 2
T 2




1
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2a bc  b c 2b ca  c a 2c ab  a b
2abc  a  b  c   a b  b c  c a
 ab  bc  ca 
1
Vậy S  1 dẫn đến Q  nên P  1 đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra tại a  b  c .
3
Bài 10. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của
ab
bc
ca
P


.
2
2
4a
4  b 4  c2
Hướng dẫn:
Ta chứng minh: P  1 hay

ab
bc
ca


 1.
2
2
2
2
1  b  c 1  c  a 1  a 2  b2
2







Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  a  b  c   a 2  1  1 1  b 2  c 2 , tương tự ta
có 2 bất đẳng thức nữa và suy ra
a 3b  b3c  c 3a  2  ab  bc  ca 
ab
bc
ca



. Cuối cùng ta sẽ chứng
2
1  b2  c2 1  c 2  a 2 1  a 2  b2
a  b  c
2

minh:  a  b  c   a 3b  b3c  c 3a  2  ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2  a 3b  b3c  c3a

Nguyễn Trung Kiên 0988844088



Hay chứng minh: a 2  b 2  c2



2

 3  a 3b  b3c  c3a  ( Đây là một bất đẳng thức nổi tiếng ).

2

Sử dụng đánh giá:  x  y  z   3  xy  yz  zx  với

x  a 2  bc  ab, y  b 2  ca  bc, z  c 2  ab  ca ta có:

a

2

2

 b 2  c 2   3  a 2  bc  ab  b 2  ca  bc    b 2  ca  bc  c 2  ab  ca    c 2  ab  ca  a 2  bc  ab  



Khai triển và thu gọn vế phải ta được: a 2  b 2  c2



2

 3  a 3b  b3c  c3a  đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .
Bài 11. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a 2  b 2  c2  3 . Tìm GTLN,GTNN của
P

1
4  ab



1
4  bc



1
4  ca

.

Hướng dẫn:
Ta có P 

 a, b, c 

1
4  ab



1
4  bc



1
4  ca





1 1 1 3
   dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4 4 4 4



là hoán vị của bộ số 0; 0; 3 .

Chú ý rằng:

2
4  ab

 1










2  ab 2  ab
2  ab
4  ab
 1
 1
4  ab
4  ab 2  ab
4  ab 2  ab







Do ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  3  ab, bc, ca  3 dẫn đến 4  ab  0 . Sử dụng bất đẳng thức
2

 4  ab  2  ab 
AM-GM ta có: 4  ab 2  ab  
  9 nên
2


4  ab
4  ab
2
4  ab 5 ab
1
5 ab
dẫn đến
 1
 

 
tương

9
9 9
9
4  ab
4  ab 18 18
4  ab 2  ab













tự ta cũng có 2 bất đẳng thức nữa và cộng lại thì thu được: P 

15 ab  bc  ca 15 3

  1 .
18
18
18 18

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .
Bài 12. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x, y, z  0; z  1 và x  y  z  3 . Tìm GTLN,GTNN
của P  x 2  y 2  2 z 2  2 xyz .
Hướng dẫn:
GTLN.

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Từ z  1  x  y  3  z  2 . Ta có:

z 2  2 xyz   2 xy  2 yz  2 zx   z  z  2 x  2 y   2 xy  z  1  0 nên suy ra
2

P  x 2  y 2  2 z 2  2 xyz  x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx    x  y  z   9 . Dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi x  3; y  z  0 hoặc y  3, x  z  0 .
GTNN.
Ta có:
2

2

2

2

P   x  y   2 z  2 xy  z  1   3  z   2 z   z  1

Hay P 

 x  y
2

2
2

2

  3  z   2 z   z  1

3  z 

2

2

1
9 9
3
z  z 2  z  3   . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z  0, x  y  .
2
2 2
2

Bài 13. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: ab  a  b  3 . Tìm giá trị lớn nhất của P
3a
3b
ab
P


  a 2  b2  .
b 1 a 1 a  b
Giải:
Đặt t  a  b suy ra t  0 , ta có ab  t  3  ab  3  t nên t  3 ( do a, b  0 ).
2

Mặt khác ta có:  a  b   4ab suy ra t 2  4  3  t   t 2  4t  12  0   t  2  t  6   0  t  2
vậy 2  t  3
Đưa P về f  t  . Ta có:
3a  a  1  3b  b  1

2

3  a  b   3  a  b   6ab
ab
ab
2
2
P

  a  b   2ab 

  a  b   2ab
ab
ab  a  b  1
a b
 a  1 b  1
Thay t  a  b, ab  3  t ta có:
P  f t  

3t 2  3t  6  3  t  3  t 2
1
1
1 3

 t  2 3  t    t 2  t   .
4
t
4
4
2 t

1
1
1 3 3
Ta chứng minh: f  t   f  2    22  2   
4
4
2 2 2

Tức là chứng minh:
1
1 1 3 3
12
 t 2  t     t 2  t  2   6  t 3  t 2  4t  12  0   t  2   t 2  t  6   0
4
4
2 t 2
t

Nguyễn Trung Kiên 0988844088

Bất này luôn đúng do t  2 . Vậy P max bằng

3
tại a  b  1 .
2

Bài 14. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  1 . Tìm GTLN,GTNN của

P  a  b  c  ab  bc  ca .
Hướng dẫn:
2

Ta chứng minh được: 3  a 2  b 2  c 2    a  b  c   a  b  c  3  a 2  b2  c 2   3 .
Ta chứng minh: ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  1 .
1
Suy ra P  3  1 . Tại a  b  c 
thì P  3  1 nên GTLN của P là
3

3  1.

Cách khác:
P  a bc 

a  b  c

2

  a 2  b2  c2 
2

a  b  c
 a bc
2

2

1

suy ra 2 P  t 2  2t  1 .

Với t  a  b  c .
2

Ta có  a  b  c   3  a 2  b 2  c 2   3   3  t  3 .
2

Suy ra 2 P   t  1  2  2  P  1 , dấu = xảy ra khi và chỉ khi t  1 …..
2P 





2

3  1  2  2  2 3  P  3  1 …..

Bài 15: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm GTLN,GTNN của

P

1
1
1


.
1  ab 1  bc 1  ca

Hướng dẫn:
Trước hết ta chứng minh: P 

27
.
8

1
.Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
27
1  ab 1  bc   1  bc 1  ca   1  ca 1  ab   27 hay
8
1  ab 1  bc 1  ca 

Từ giả thiết a  b  c  1 ta suy ra abc 

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
3  2  ab  bc  ca   abc  a  b  c 
27

2 2 2
1   ab  bc  ca   abc  a  b  c   a b c
8

 8 3  2  ab  bc  ca   abc   27 1   ab  bc  ca   abc  a 2 b 2 c 2 
Hay

3  11 ab  bc  ca   19abc  27 a 2 b 2 c 2  0  4 3  19abc  27 a 2 b 2 c 2   11.4  ab  bc  ca 
Từ bất đẳng thức quen thuộc  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc suy ra

1  2a 1  2b 1  2c   abc  11.4  ab  bc  ca   111  9abc  .
Ta cần chứng minh 4 3  19abc  27 a 2 b 2 c 2   111  9abc  .
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 1  27abc 1  4abc   0 . Bất đẳng thức cuối
cùng đúng do abc 

1
.Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
27

1
abc .
3
Tiếp theo ta chứng minh: P  3 .
Ta có 1  ab,1  bc,1  ca  1 nên P  3 , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  a; b; c  là hoán vị
của bộ số  0;0;1 .
Bài 16. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm GTLN,GTNN của

P  a 2  abc  b 2  abc  c 2  abc  3 abc .
Hướng dẫn:
Ta có a 2  abc  a 2  a  b  c   abc  a  a  b  a  c  .
Do đó ta được

a 2  abc  a  a  b  a  c  

Chứng minh tương tự ta được :

Do đó ta được:

b 2  abc 

a a  b  a  c
a  a  1

2
2

b  b  1
;
2

a 2  abc  b 2  abc  c 2  abc 

c 2  abc 

c  c  1
2

a  a  1
b  b  1
c  c  1


2
2
2

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có
a  a  1
2

 a 1 b  c 
 a  b  c 1
 abc  a 

 a
 a
2 
2
 2



Chứng minh tương tự ta được:

b  b  1
 abc  b ;
2

c  c  1
 abc  c
2

Như vậy ta có: P  a 2  abc  b 2  abc  c 2  abc  3 abc  a  b  c
Mà ta có

a  b  c  3  a  b  c   3 . Nên ta suy ra P  3 .Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ

1
khi a  b  c  .
3
Dễ thấy P  a 2  b2  c 2  a  b  c  1 dấu đẳng thức xảy ra khi  a, b, c  là hoán vị của bộ
số 1;0;0 
Bài 17. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: ab  bc  ca  3 . Tìm GTNN của biểu thức
P   a 3  a  5  b5  b3  5  c 7  c5  5  .
Hướng dẫn:
Nhận xét: Với mọi số thực dương x thì x  1, x 2  1; x 3  1, x 5  1 luôn cùng bằng 0 hoặc cùng
dấu.
2

Ta có:  a  1  a 2  1   a  1  a  1  0  a 3  a 2  a  1  0  a 3  a  5  a 2  4 .

b
c

2

2

 1 b3  1   b  1  b  1  b 2  b  1  0  b5  b3  5  b 2  4 , tương tự ta có

2

 1 c 5  1  0  c 7  c5  5  c 2  4

Dẫn đến P   a 3  a  5 b5  b3  5  c 7  c 5  5    a 2  4  b 2  4  c 2  4  .
2

Trước hết ta chứng minh:  a 2  4  b 2  4  c 2  4   5  a  b  c  2  (*)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:

 a  b  c  2

2

2
  b  c  2 2 
 bc2 
2
 a  

 .2    a  4  1 
2
4
 
 



  b  c  22 
Ta quy bài toán về chứng minh: 5  a  4  1 
   a 2  4  b 2  4  c 2  4 
4


2

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Hay
2
5  4   b  c  2    4  b 2  4  c 2  4   40  5b 2  5c 2  10bc  20  b  c   4  b 2c 2  4b 2  4c 2  16 


Hay
2
2
2
2
4b 2c 2  10bc  11b 2  11c 2  20  b  c   24  0   2bc  2    b  c   10  b  1  10  c  1  0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng (*) được chứng minh.
2

2

Bây giờ ta có:  a  b  c   3  ab  bc  ca   9  a  b  c  3 dẫn đến 5  a  b  c  2   125
vậy P  125 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .
Vậy GTNN của P là 125 tại a  b  c  1 .





Bài 18.Với x, y , z là các số thực không âm thỏa mãn: 5 x 2  y 2  z 2  6  xy  yz  zx 
Chứng minh: 2 2  x  y  z   2  y 2  z 2   3 .
Hướng dẫn:
2

Sử dụng bất đẳng thức:  A  B   2  A2  B 2  ta có:

5x 2 

5
6
2
2
 y  z   5x 2  5  y 2  z 2   6 x  y  z   6 yz  6 x  y  z    y  z 
2
4
2

Suy ra 5 x 2  6 x  y  z    y  z   0  5 x   y  z    x   y  z    0



yz
 x  y  z  x  y  z  2 y  z .
5
2

Suy ra 2 2  x  y  z   2  y 2  z 2   2 4  y  z    y  z  đặt

y  z  t  0 . Ta chứng minh:

2

4t  t 4  3  t 4  4t  3  0   t  1  t 2  2t  3  0 bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu ‘=’ xảy

x  y  z
1

ra khi và chỉ khi  y  z
 x  1, y  z  .
2
y  z 1

Bài 19. Cho các số thực dương x, y , z sao cho xy  yz  zx  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 x2 y 2 z 2 
2
P   x  y  z   
 .
z
x
 y

Hướng dẫn:

Nguyễn Trung Kiên 0988844088

Ta có



x2 y 2 z 2  x 2 y 2 z 2 

       xy  yz  zx 
y
z
x  y
z
x 

1  x3 z y 3 x   y 3 x z 3 y   z 3 y x 3 z   2
2
2
3
3
3






  x z  y x  z y  x  y  z .
2  y
z   z
x   x
y 

 x 3 z y 3 x   y 3 x z 3 y   z 3 y x3 z 
2
2
2
Mặt khác ta có: 





  2x y  2 y z  2z x .
y
z
z
x
x
y

 
 


Suy ra:

Hay

x2 y 2 z 2

  x 2 y  y 2 z  z 2 x  x 2 z  y 2 x  z 2 y  x3  y 3  z 3   x  y  z   x 2  y 2  z 2  .
y
z
x

x2 y 2 z 2
2

   x  y  z   x  y  z   2  . Dẫn đến:


y
z
x

2
2
P   x  y  z    x  y  z   x  y  z   2  . Đặt t  x  y  z ta có P  t 3  t 2  2t do



 x  y  z

2

 3  xy  yz  zx   3  t  3 .

Ta chứng minh:





t 3  t 2  2t  3  3  t 3  t 2  2t  3  3  0  t  3 t 2 






3  1 t  1  3   0 . Bất đẳng


thức cuối cùng luôn đúng do t  3 . Vậy GTLN của P là 3  3 tại x  y  z  1 .
Bài 20. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1 . Tìm GTLN,GTNN
của
P   x  y 1 z   y  z  1 x   z  x 1 y .

Hướng dẫn:
2

Sử dụng bất đẳng thức  Ax  By  Cz    A2  B 2  C 2  x 2  y 2  z 2 
Ta có: P 2   x  y  1  z   y  z  1  x   z  x  1  y 

2

  x  y  y  z  z  x   x  y 1  z    y  z 1  x    z  x 1  y    4 1  xy  yz  zx 
2

Lại có 3  xy  yz  zx    x  y  z   1  xy  yz  zx 
1
tại x  y  z  .
3

1
4
suy ra P 
3 dấu đẳng thức xảy ra
3
3

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Ta cũng có: P   x  y  1  z   y  z  1  x   z  x  1  y   x  y    y  z    z  x   2 dấu
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x; y; z  là hoán vị của bộ số 1;0; 0  .
Bài 21. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: 0  y  x  4, x  y  7 . Chứng minh:

x 2  y 2  25 .
Hướng dẫn:
Cách 1: Do x  4 suy ra x  x  y   4  x  y  (tạo x 2 ). Ta có y  x  y   7 y
Cộng 2 bất đẳng thức suy ra
x  x  y   y  x  y   4  x  y   7 y  x 2  y 2  4 x  3 y  3  x  y   x  3.7  4  25
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  4, x  y  7  x  4, y  3 .
Cách 2: Ta chứng minh: x 2  y 2  42  32   4  x  4  x    3  y  3  y   0 . Sử dụng công
thức khai triển Abel : a1b1  a2b2   a1  a2  b1  a2  b1  b2  .
Ta có:  4  x  4  x    3  y  3  y   1  x  y  4  x    3  y  7  x  y  . Rõ rang với điều
kiện đề bài thì 1  x  y  4  x    3  y  7  x  y   0 ddpcm.
Bài 22. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm GTLN của
2

2

2

2

2

2

P  4 a   b  c   4 b   a  c   4c   a  b  .

Hướng dẫn:
Ta có
2

2

P  4a   b  c   4b   a  c   4c   a  b   4a   b  c   4b   a  c   4c   a  b 

2

2

2

Hay P  4a  1  a   4b  1  b   4c  1  c   a  1  b  1  c  1  4 . Dấu đẳng thức xảy
ra khi  a; b; c  là hoán vị của bộ số 1;0;0  .
Bài 23. Cho các số thực x, y, z  0 thỏa mãn:
của P  x  y  z  xy  yz  zx .
Hướng dẫn:

x  2 y  1  x  2 z  1  4 . Tìm GTLN,GTNN

2

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Tìm GTNN.
Cách 1: Từ giả thiết ta suy ra
16 



x  2 y 1  x  2z 1



2

 1  1 2 x  2 y  2 z  2   4  x  y  z  1 suy ra x  y  z  3

Ta có P  x  y  z  3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  3, y  z  0 .
Cách 2:
Đặt a  2  x  2 y  1  0  x  2 z  1  2  a do x, y, z  0 nên 1  a  1 .
Ta có: 2  x  y  z  1  2  a 2  4   x  y  z  a 2  3 và y  z  4a .
Do a 2  0 nên x  y  z  3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  3, y  z  0 .
Tìm GTLN:
2

2

2

Chú ý rằng: 4  x  y  z   3  y  z   12  xy  yz  zx    2 x  y  z   12  xy  yz  zx 
Suy ra xy  yz  zx 

1
1
1
1
2
2
2
2
 x  y  z    y  z  .Dẫn đến P  x  y  z   x  y  z    y  z 
3
4
3
4

a 2  a 2  3
2
1 2
2
 6  6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
hay P  a  3   a  3  4a 
3
3
x  y  z  1.
2

Bài 24. Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: (a  c)(b  c )  4c 2 . Tìm GTLN của biểu thức:
A

a
b
ab


.
b  3c a  3c bc  ca

Bằng cách: a  xc, b  yc . Giả thiết trở thành:

 xc  c  yc  c   4c2   x  1 y  1  4  x  y  xy  3 .
Biểu thức A trở thành: A 

xc
yc
xc. yc
x
y
xy

 2



2
yc  3c xc  3c yc  xc
y3 x3 x y

Bài toán trở thành: Cho x, y  0 , x  y  xy  3 . Tìm GTLN A 

x
y
xy


.
y 3 x3 x y
2

Đặt t  x  y suy ra xy  3  t do x, y  0  0  t  3 . Lại có  x  y   4 xy suy ra t 2  4  3  t 
2

hay t 2  4t  12  0   t  2   16  t  2  4  t  2 vậy 2  t  3 .

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
2

x 2  3x  y 2  3 y
xy
 x  y   2 xy  3  x  y   xy  t 2  2  3  t   3t  3  t
Ta có A 


xy  3  x  y   9
x y
3t   3  t   9
t
 x  3 y  3 x  y

A

t 2  2  3  t   3t
3t   3  t   9



 t  1 t  6   3  1  t  3  3  f t .
3  t t 2  5t  6 3

 1 

t
2t  12
t
2  t  6
t
2 t 2

Ta chứng minh: A  f  2   1 hay
t 3 3
t 3 5
   1     0  t 2  6  5t  0   t  2  t  3  0 luôn đúng do 2  t  3 .
2 t 2
2 t 2

Dấu bằng xảy ra tại t  2  x  y  1  a  b  c .
Bài 25. Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a  b  c  4 và a 2  b2  c 2  6 .
a. Tính giá trị biểu thức M  ab  bc  ca
b. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  a 3  b3  c 3 .
Hướng dẫn:
2





a. Từ giả thiết ta có: 2  ab  bc  ca    a  b  c   a 2  b 2  c 2  16  6  10
 ab  bc  ca  5 .
a  b  c  4
b. Ta có  2
suy ra
2
2
a

b

c

6


2  6  a2    4  a 

2

Tương tự ta cũng có

b  c  4  a
2
mà 2 b2  c 2   b  c  b, c suy ra
 2 2
2
b  c  6  a
3a  2  0
2
  3a  2  a  2   0   3a  2  3a  6   0  
 a2
3
3a  6  0





2
 b, c  2 .
3
3

Sử dụng đẳng thức x3  y 3   x  y   3xy  x  y  Ta có
3

3

P  a 3  b 3  c 3   a  b   3ab  a  b   c3   4  c   3ab  4  c   c 3
3

3

  4  c   c 3  12ab  3abc P   4  c   c 3  12ab  3abc  64  48c  12c 2  12ab  3abc

 12c  4  c   12ab  3abc  64

Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Hay P  12c  a  b   12ab  3abc  64  64  12  ab  bc  ca   3abc  3abc  4 Vì
 a  2  b  2  c  2   0

2
2
 a, b, c  2 suy ra  a  2   b  2 
c 0


3
3 
3 
3


abc  4  a  b  c   2  ab  bc  ca   8  0
50
86



 abc  2 suy ra
 P  10 .
4
2
8
27
9
0
abc   a  b  c    ab  bc  ca  

9
3
27
2
5
86
Khi a  2, b  1, c  1 thì P  10 , a  , b  c  thì P  .
3
3
9

Vậy GTLN của P là 10, giá trị nhỏ nhất của P là

86
.
9