Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Lí thuyết hai mặt phẳng vuông góc

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương vào ngày 2020-03-17 05:48:57

Mục lục
* * * * *

A. Phương pháp giải

1. Góc giữa hai mặt phẳng

a. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai đường thẳng đó.

b. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng

c. Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S' là diện tích của hình chiếu (H') của (H) trên (Q), φ = ((P), (Q)) . Khi đó: S' = S.cosφ

2. Hai mặt phẳng vuông góc

a. Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90°. (P) ⊥ (Q) ⇔ ((P), (Q)) = 90°

b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

c. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

+ Định lí: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng a nào nằm trong (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và( Q) đều vuông góc với (Q)

+ Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là 1 điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

+ Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

+ Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mp(P).

3. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

a. Hình lăng trụ đứng : Là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

b. Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

c. Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

d. Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

e. Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.

D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đường thẳng thỏa mãn cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước. Đây là đường thẳng cố định.

Ví dụ 2: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường này thì song song với đường kia.

B. Cho đường thẳng a ⊥ (α) , mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α) .

C. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường thẳng kia.

D. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng (α) chứa a và mặt phẳng (β) chứa b thì (α) ⊥ (β) .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Định lí: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau .

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một cạnh bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc với nhau

B. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau

C. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc với nhau

D. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc với nhau

Hướng dẫn giải

Xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA ⊥ (ABCD)

+ Do SA ⊂ (SAB) và SA ⊥ (ABCD) nên (SAB) ⊥ (ABCD)

+ Do SA ⊂ (SAD) và SA ⊥ (ABCD) nên (SAD) ⊥ (ABCD)

+ Do AD ⊥ SA, AD ⊥ AB nên AD ⊥ ( SAB)

AD ⊂ (SAD) và AD ⊥ (SAB) nên (SAD) ⊥ (SAB).

+ Chứng minh tương tự; ta có: (SAD) ⊥ (SCD) và (SAB) ⊥ (SBC).

⇒ có tất cả năm cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Chọn C

Ví dụ 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

D. Một mặt phẳng (P) và một đường thẳng a không thuộc (P) cùng vuông góc với đường thẳng b thì (P) // a .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Khi đó tất cả 6 mặt của hình hộp đều là hình chữ nhật

Hình hộp đứng : Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Khi đó chỉ có 4 mặt của hình hộp là hình chữ nhật

Ví dụ 6: Trong các mệnh đề sau đây, hãy tìm mệnh đề đúng.

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Nếu hai mặt vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

C. Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (α) và mỗi điểm B thuộc (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với d.

D. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) đều vuông góc với mặt phẳng (γ) thì giao tuyến d của (α) và (β) nếu có sẽ vuông góc với (γ)

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đây là định lí.

Ví dụ 7: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và gọi d = (α) ∩ (β).

I. Nếu a ⊂ (α) và a ⊥ d thì a ⊥ (β)

II. Nếu d' ⊥ (α) thì d' ⊥ d

III. Nếu b ⊥ d thì b ⊂ (α) hoặc b ⊂ (β)

IV. Nếu (γ) ⊥ d thì (γ) ⊥ (α) và (γ) ⊥ (β)

Các mệnh đề đúng là

A. I, II và III.

B. III và IV.

C. II và III.

D. I, II và IV.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dựa theo tính chất hai mặt phẳng vuông góc nên suy ra : I ; II và IV đúng.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân đỉnh

B. S.ABC là hình chóp đều nếu góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy bằng nhau.

C. S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân.

D. S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên có diện tích bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Chọn A

+ Định nghĩa: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

+ Nếu hình chóp S.ABC có các mặt bên là các tam giác cân tại S thì SA = SB = SC.

Lại có đáy ABC là tam giác đều

⇒ S.ABC là hình chóp đều.

Ví dụ 9: Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai?

A. Đáy là đa giác đều.

B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

C. Các cạnh bên là những đường cao.

D. Các mặt bên là những hình bình hành.

Hướng dẫn giải

A. Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều.

B. Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy.

C. Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.

D. Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông.

Chọn D

Ví dụ 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

B. Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

C. Nếu hình hộp có bốn mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

D. Nếu hình hộp có ba mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án B

A sai vì đáy có thể là hình bình hành.

B đúng

C sai vì đáy có thể là hình bình hành

D sai vì đáy có thể là hình bình hành.

Ví dụ 11: Hình hộp ABCD.A'B'C'D' trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây?

A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

B. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông.

C. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông.

D. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án C

+ Định nghĩa: Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông.

+ Do đó; để hình hộp ABCD.A’B’C’D’ trở thành hình lăng trụ tứ giác đều thì các mặt bên là hình chữ nhật và đáy là hình vuông .

Lượt xem: 249