Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011-2012

GD&ĐT VĨNH PHÚCỞ——————Đ CHÍNH TH CỀ THI CH HSG 11 NĂM 2011­2012Ỳ ỌĐ THI MÔN: TOÁNỀDành cho sinh THPT chuyên Vĩnh PhúcọTh gian làm bài: 180 phút, không th gian giao đờ ề————————————Câu 3,0 đi mể ).1. Gi ph ng trình: ươ( 2)( 2) )( 2)y xyz yz zx zx   ¡ .2. Tính gi sau: ạ0limxxx .Câu 2,0 đi mể ).Cho các số thực dương ,a thỏa mãn 12ac và 8.bc Tìm giá trị nhỏ nhấtcó thể được của biểu thức 82D cab bc ca abc    Câu 2,0 đi mể ).Tìm các nguyên ng ươ và nguyên th mãn đng th các đi ki ệ2n pvà 1) 1np chia cho 1pn .Câu 2,0 đi mể ).Xét các đi M, không trùng ng ng thay đi trên các đng th ng ch aươ ườ ứcác nh AB AC tam giác ABC sao cho MN BCP và các đng th ng ườ BN CM nhau iắ ạP là giao đi th hai (khác đi đng tròn ngo ti các tam giác ườ BMP vàCNP 1. Ch ng minh ng luôn trên đng th ng đnh.ằ ườ ị2. ọ' ' 'A là đi đi ng ượ qua các đng th ng ườ ẳ, ,BC CA AB .Ch ng minh ng tâm đng tròn ngo ti tam giác ườ ế' ' 'A trên đng th ng cằ ườ ốđnh.ịCâu 1,0 đi mể ).Ta gọi mỗi bộ ba số nguyên dương )a là một bộ đẹp nếu ,a c ướcchung nh ủ, ,a ng ằ1 và n na c M Ví dụ, bộ (1; 2) là đẹp nhưng không phải là đẹp Tìm tất cả các bộ đẹp với mọi 1n (nếucó).—H t—ếCán coi thi không gi thích gì thêm.ộ ảH và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; báo danh……………….ọ ốS GD&ĐT VĨNH PHÚCỞ——————— THI CH HSG 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚCỲ ỚNĂM 2011­2012ỌH NG CH MÔN: TOÁNƯỚ Ấ———————————I. CHUNG:Ư­ ng ch ch trình bày cách gi nh ng ph có. Khi ch bài cướ ọsinh làm theo cách khác đúng và thì cho đi đa.ế ố­ Đi toàn bài tính đn 0,25 và không làm tròn.ể ế­ bài hình thí sinh không hình ph nào thì không cho đi ng ng ph nớ ươ ầđó.II. ĐÁP ÁN:Câu dung trình bàyộ Điểm1 2,0 đi mểH ph ng trình ng đng: ươ ươ ươ222(1 2(1 2(1 2y xz yx z   N trong ba ố, ,x ng ằ1 thì ph ng trình vô nghi m.ệ ươ ệ ph ng trình tr thành ươ ở222212121xyxyzyzxz 0,5Đt ặtanx ớ;2 2     Do 22 tantan 21 tan 0,5Ta có tan 2tan 4tan 8yzx2 3tan tan ,7 7   0,5V y, ph ng trình có nghi m: ươ ệ(0; 0; 0),2 4tan tan tan7 7    ,2 2tan tan tan tan tan tan7 7    ,2 4tan tan tan7 7     ,2 2tan tan tan tan tan tan7 7     . 0,52 1,0 đi mểXét hàm ốlnf x ớ0 ;1x Theo đnh lí Lagrange ạ3;1c x saocho: 3 311 ' 1f xc 0,253 3311 ln ln 1x xx 3 331 11 ln ln 13 3x xx . 0,5Do 3 30 0lim lim 0x xx x     0 0lnlim lim 13xx xx xx       . ậ0lim 1xxx 0,252 2,0 đi mểÁp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có36 63 3,3 2a bab ab dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 63 2a bab (1)38 83 3,2 4b cbc bc dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 82 4b cbc (2)312 123 3,4 3c aca ca dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 124 3c aca (3)424 244 4,3 4a cabc abc dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi243 4a cabc (4) 0,5(1) (2) (3) (4) 6 32 84 243 40a cab bc ca abc y26 783 40Dbc ca 0,5Mặt khác, từ giả thiết suy ra 112ca và 18bc Do đó1 13 117 12140 26 78 39 34 12 12D Dbc ca 0,5Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3, 2, 4.a c Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 121,12 đạt được khi3, 2, 4.a c 0,53 2,0 đi mểV ớ1n thì nguyên đu th mãn. 22pn  thì 4n và(2 1) 1nn M. Suy ra 2n 0,25Xét 2n và 3.p Do 1) 1np là và là 1pn nên là nhiên do đó ẻ2n p 0,25G là nguyên nh nh ướ Do 1) 1nq p nên ( 1) modnp q và 1; . 0,25Do đu nên ẻ( 1) 1n q do đó ạ*,u v¥ sao cho 1) 1un q Khi vàẻ( 1)1 1)∙( 1) m1od mod1 1unv quvp qp  Suy ra |q p, do là các nguyên nên .T đó, do ừ2n p suy ra 0,5V 1pp là ướ ủ12 22( 1) 11(11)pp kk kpp kkkkppp Cp ppC     0,25Do ng ủ221pp kk kpkC p đu chia cho nên 3p p ởv ậ3n p .K lu n: ậ( {(2 2), (3; 3)} {(1; ):n p là nguyên }.ố 0,54 2,0 đi mể1 1,0 đi mểDo ,B cùng trên đng tròn và ườ, ,C cùng trên tằ ộđng tròn, nên ườ( modBQ BM PQ PM PQ PC NQ NC và ( modMQ MB PQ PB PQ PN CQ CN 0,5T đó suy ra ừ~BQM NQC (2)G và theo th là hình chi trên các đng th ng ườ BM và CN Khi đó,do (2) nên QI MB ABQJ NC AC (do MN BCP ). đó, theo tính ch đng đi trung, ườ trên đng đi trung ườ aủtam giác ABC 0,52 1,0 đi mểG ọL là giao đi AP BC Áp ng đnh lý Céva cho tam giác ABC ta cóụ ị1 (1)MA LB NCMB LC NA Do MN BCP nên MA NAMB NC đó và (1) suy ra ừ1LBLC hay là trung đi BC 0,25Do AQ là đng đi trung nên ườ ố··BAQ CAP và giác AIQJ ti nênộ ế··AQI AJI suy ra ····090CAP AJI AQI BAQ AP IJ (3). 0,25Do cách xác đnh các đi ể' 'B nên ' 'AB AC AQ hay tam giác ' 'AB cân iạA ớIJ là đng trung bình tam giác ườ ủ' 'QB C' ', ' 'IJ AB AC P (4) 0,25T (3), (4) suy ra ừAP là đng trung tr đo ườ B’C’ suy ra tâm đng tròn ngo iườ ạti tam giác A’B’C’ trên đng th ng ườ AP hay trên trung tuy AL tamủgiác ABC 0,255 1,0 đi mểTr ta có nh xét: nguyên ướ thì11 10 ;pa paa pÕÕ (đnh lý Fermat)ịDo đó, vì chung nh ướ ủ, ,a ng suy raằ1 11, 2, modp pa p  0,25V y, là nguyên ướ ủ1 1p pa c  thì 2p ho 3p .T đó, ế( )a là đp thì ẹa c ch có các nguyên là 2, 3.ỉ ướ 0,25Do 20, mod 4x và không cùng ch nên ẵ2 21, 2, mod 4a c (1)Do 30, mod 9x và không cùng chia cho nênế6 61, 2, mod 9a c (2) 0,25T (1) và (2) suy ra ế( )a là đp thì ẹa c không chia cho và 9. ếDo đó c ng ho 6.ằ ặB ng vi ki tra tr ti p, thu đc ượ(1; 1; 1) và (1; 1; 4) là đp ọ1n 0,25