Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Đáp án vận dụng cao của Hàm số 12

a962d91d3748d669a60b653b7c3fdd8d
Gửi bởi: Nguyễn Trần Thành Đạt vào ngày 2021-01-20 07:05:15 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 69 | Lượt Download: 0 | File size: 1.936104 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

GV: Nguyễn Quang Hợp
VẬN DỤNG CAO : HAØM SOÁ (hàm ẩn)

Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
1. Cho đồ thị
2. Cho đồ thị

f '  x .

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số
Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

f '  x .

f u  x  . …………………….…

02

f u  x   g  x  …………….…….

16

3. Cho bảng biến thiên

f '  x .

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

4. Cho biểu thức

f '  x .

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

5. Cho biểu thức

f '  x , m.

Tìm

m

để hàm số

f u  x 

f u  x  . ……………… 20

f u  x  . ………….…………

đồng biến, nghịch biến…..…..

22
23

Phần 2. Cực trị của hàm số
Kí hiệu
1. Cho đồ thị

f u  x 

f '  x .

là các hàm số hợp; hàm tổng, hàm chứa trị tuyệt đối.

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

2. Cho biểu thức

f '  x .

3. Cho biểu thức

f '  x , m.

f u  x  . …………………………

Hỏi số điểm cực trị của hàm số
Tìm

m

để hàm số

f u  x 

4. Cho đồ thị f  x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số



f u  x  . ……………………….32

n

điểm cực trị……………..… 35

f u  x  . …………………………

5. Cho bảng biến thiên của hàm f  x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số
6. Cho đồ thị f  x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số
7. Cho biểu thức f  x, m. Tìm

m

để hàm số

f u  x 

1

f u  x  . …

f u  x , m . ……………………….



24

n

38
44
46

điểm cực trị……………..…..48

Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị

f '  x .

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

f u  x  .

Câu 1. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình
bên. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Hàm số f  x  đồng biến trên 2;1.
B. Hàm số f  x  đồng biến trên 1;
C. Hàm số f  x  nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
D. Hàm số f  x  nghịch biến trên ;2.
Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số


f 'x   0

khi

2  x  1


 f x 
x  1


y  f ' x 

ta thấy:

đồng biến trên các khoảng 2;1 , 1; .

Suy ra A đúng, B đúng.
● f '  x   0 khi x 2 
 f  x  nghịch biến trên khoảng ;2 . Suy ra D đúng.
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C.
Câu 2. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình bên dưới

Hàm số g x   f 3  2 x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 0;2.
B. 1;3.
C. ;1.
D. 1; .
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có
Xét
Vậy

2  x  2
f x   0  
.
x  5


g   x   2 f  3  2 x .

1
5
2  3  2 x  2
 x
g   x   0  f  3  2 x   0  
 2
.
2
3  2 x  5


 x  1
1 5
g  x  nghịch biến trên các khoảng  ;  và ;1.
 2 2 

2

Chọn C.

Cách 2. Ta có


5
x 

2
3  2 x  2


1

theo do thi f ' x 
g   x   0  f  3  2 x   0  3  2 x  2   x  .


2
3  2 x  5


 x  1



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Chú ý: Dấu của
Ví dụ ta chọn

g x 

được xác định như sau:


1
x  0  1; ,

2

Khi đó g  0   f  3  0.
Nhận thấy các nghiệm của
Câu 3. Cho hàm số

suy ra
g x 

y  f  x .

3  2x  3

theo do thi f ' x 

 f  3  2 x   f  3  0.

là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình bên dưới

Hàm số g  x   f 1 2 x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 1;0.
B. ;0.
C. 0;1.
D. 1; .
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có
Xét
Vậy

 x  1
f x   0  
.
1  x  2


g   x   2 f  1 2 x .

x 1
1 2 x 1

g   x   0  f  1 2 x   0  
 1
.
1  1 2 x  2   x  0

 2
 1 
g  x  đồng biến trên các khoảng  ;0 và 1; .
 2 

Chọn D.

x  1

1  2 x  1
x  0



1 2 x  1

theo do thi f ' x 

g   x   0  2 f  1  2 x   0  
 x   1 .

Cách 2. Ta có
2
1  2 x  2

1  2 x  4 nghiem kep

3

 

x 

2

Bảng biến thiên
3

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau:
Ví dụ chọn x  2  1; ,
suy ra

1 2 x  3

theo do thi f ' x 

 f  1 2 x   f  3  0. Khi đó

Nhận thấy các nghiệm
nghiệm

x 

3
2

1
x  ;x  0
2



x  1 của g   x 

g  2  2 f  3  0.

là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu;

là nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu.

Câu 4. Cho hàm số
dưới.

y  f  x .



Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình bên



Hàm số g  x   f 2  e
nghịch biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau đây ?
A. ;0 .
B. 0; .
C. 1;3 .
D. 2;1 .
x

x  0


f
x

0

.


Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có
x  3

2  e x  0
theo do thi f ' x 
x
x
x





g
x

e
.
f
2

e
;
g
x

0

f
2

e

0


  


Xét  
2  e x  3  x  0.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số g  x  nghịch biến trên ;0. Chọn A.

4

Câu 5. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

   2 f 32 x 

Hàm số g x
khoảng sau ?
A.



; 1 .

2 

C. 1;2.

B.

y  f  x 

như hình bên

đồng biến trên khoảng nào trong các

 1 
 ;1.
 2 

D. ;1.

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra

 x  1
f x   0  
.
1  x  4


Ta có g   x   2 f  3  2 x .2 f 32 x .ln 2.
Xét
Vậy

x  2


3  2 x  1
g   x   0  f  3  2 x   0  

.
1
1  3  2 x  4 

  x 1



 2
 1 
g  x  đồng biến trên các khoảng  ;1, 2; . Chọn
 2 

B.

x  2
3  2 x  1 


theo do thi f ' x 
3  2 x  4   x   1 .
g   x   0  f  3  2 x   0 


Cách 2. Ta có
2
3  2 x  1


x  1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

5

Câu 6. Cho hàm số

Hàm số g  x  
A. ;1.

y  f  x .

Đồ thị hàm số

như hình bên dưới

y  f  x 

f  3  x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B. 1;2.

C. 2;3.

D. 4;7.

 x  1
f x   0  
.
1  x  4

1  x  3  1 2  x  4
 Với x  3 khi đó g  x   f  x  3 
 g   x   f   x  3  0  

x 3  4
x  7



 hàm số g  x  đồng biến trên các khoảng 3;4 , 7; .

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra

 Với

x 3

1  x  1
f x   0  
x  4




khi đó g x   f 3  x  
 g   x    f  3  x   0  f  3  x   0
 x  4 loaï i
3  x  1

 
1  3  x  4

1  x  2


 hàm

số g  x  đồng biến trên khoảng 1;2. Chọn B.

Câu 7. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình bên.

Hỏi hàm số g  x   f  x  đồng biến trên khoảng nào trong các
khoảng sau ?
A. ;1.
B. 1; .
C. 1;0.
D. 0;1.
Lời giải. Ta có g   x   2 xf  x 2 .

x 0

x 0






2
1  x 2  0  x 2  1
f x   0



theo do thi f ' x 


 g x   0  
 

Hàm số g  x  đồng biến

x  0

x  0

 2

2


x  1  0  x 2  1
f
x

0








2

x  1

.
1  x  0


Chọn C.

6

x  0

 x 2  1  x  0
x  0
theo do thi f ' x 

g x   0  
  2

.
2
 x  1

Cách 2. Ta có
f
x

0
x  0
  

 2
 x  1
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 1;
 x  1;  x  0.
1
theo do thi f ' x 
 x  1;  x 2  1 . Với x 2  1 
 f   x 2   0.
2 
Từ 1 và 2, suy ra g   x   2 xf x 2   0 trên khoảng 1; nên g   x  mang dấu
Nhận thấy các nghiệm của g   x  là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 8. Cho hàm số

y  f  x .

.

Đồ thị hàm số y  f   x 

như hình bên. Hỏi hàm số g  x   f  x  đồng biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ;2.
B. 2;1.
C. 1;0.
D. 1;2.
Lời giải. Ta có g   x   2 xf  x 2 .
2


x 0

x 0






 f  x 2  0


 

1  x 2  1  x 2  4

theo do thi f ' x 



 g x   0  
 


x

0
Hàm số g  x  đồng biến


x  0




2
2

f  x2  0

 x  1  1  x  4


  
0  x  1  x  2

.
2  x  1


Chọn B.

7

x  0

 x 2  1  x  0
x  0
theo
do
thi
f
'
x


g   x   0  
  2
  x  1.
2

Cách 2. Ta có

f
x

0
x

1




 x  2
 2

 x  4

Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;
 x  2;  x  0.
1
 
2
2
 x  2;  x 2  4 . Với x  4  f   x   0. 2
Từ 1 và 2, suy ra g   x   2 xf x 2   0 trên khoảng 2; nên g   x  mang dấu
Nhận thấy các nghiệm của g   x  là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
theo do thi f ' x

Câu 9. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình bên dưới

 3

Hàm số g  x   f x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ;1.
B. 1;1.
C. 1; .
D. 0;1.
Lời giải. Ta có

g   x   3 x 2 f   x 3 ;

x 2

x 3
x 2  0
theo do thi f ' x 


g x   0  

 3
3

f
x

0
x
  
 3
x


0
x  0

.
 1  x  1
1
0

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

8

.

Câu 10. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình

2
bên. Đặt g  x   f  x  2. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng 2; .
B. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng 0;2.
C. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng 1;0.
D. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng ;2.

Lời giải. Ta có

g   x   2 xf   x 2  2;

x  0
x  0

x  0

theo
do
thi
f
'
x


2



g x   0  
  x  2  1nghiem kep   x  1.
2

 2
 f   x  2  0
 x  2
 x  2  2


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Câu 11. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình bên dưới

Hỏi hàm số g  x   f  x 2  5 có bao nhiêu khoảng nghịch biến ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D.
2
Lời giải. Ta có g   x   2 xf   x  5;

5.

x  0
x  0


 x 2  5  4
x  0
 x  1
theo do thi f ' x 



g x   0  
  2
 
.
2

f
x

5

0
x

5


1




 x  2
 2

 x  5  2
 x   7

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

9

Câu 12. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x 
như hình bên. Hỏi hàm số g  x   f 1 x 2  nghịch biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 1;2 .
B. 0; .
C. 2;1 .
D. 1;1 .

Lời giải. Ta có

g   x   2 xf  1 x 2 . Hàm

số g  x  nghịch biến


2 x  0


f  1  x 2   0



 g x   0  
.


2 x  0

f  1 x 2   0


 

2 x  0


x  0


.


2
2

f  1  x   0 
1

1

x

2
:
vo
nghiem




2 x  0
x  0


 Trường hợp 2: 

 x  0. Chọn

2
2
2
 f  1  x   0 

1  x  1  1  x  2


x  0
x  0

theo
do
thi
f
'
x


Cách 2. Ta có g   x   0  
 1 x 2  1  x  0.
2
 f  1  x   0

2
1  x  2

 Trường hợp 1:

B.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau: Ví dụ chọn x  1  0; .
 x  1 
2x  0.
1
 f  1 x   f  0  f  0  2  0.
 x  1  1 x  0 
Từ 1 và 2, suy ra g  1  0 trên khoảng 0; .
Nhận thấy nghiệm của g   x   0 là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
2

Câu 13. Cho hàm số

theo do thi f ' x 

2

y  f  x .

Đồ thị hàm số

2 

y  f  x 

như hình bên. Hỏi hàm số g  x   f 3  x  đồng biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 2;3.
B. 2;1.
C. 0;1.
D. 1;0.
2

Lời giải. Ta có

g   x   2 xf  3  x 2 .

Hàm số g  x  đồng biến

10


x  0


f  3  x 2   0




 g x   0 


 x  0

f  3 x 2  0


 



x 0
x 0






3  x 2  6
 x 2  9
x  3









2
2




2  x  1


1  3  x  2
4  x  1
theo do thi f ' x 


  

 
. Chọn D.


x  0
x 0
3  x  2




1  x  0


6  3  x 2  1
 4  x 2  9










2
2




3  x  2
 x  1


x  0
x  0


3  x 2  6
x  0
 x  3
theo do thi f ' x 


Cách 2. Ta có g   x   0  
 
 
.
2
2
f  3 x   0
3  x  1
 x  2
 

 x  1
3  x 2  2


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Câu 14. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x 
như hình bên. Hỏi hàm số g  x   f  x  x 2  nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 1;2.
B. ;0.
C. ;2.
Lời giải. Ta có

D.

1

 ; .

 2

g '  x   1 2 x  f   x  x 2 .


1  2 x  0


f x  x 2   0




Hàm số g  x  nghịch biến  g   x   0  
.
1  2 x  0



f  x x2 0


 

1

1  2 x  0


x
1



x .
 Trường hợp 1:  
2
2

f
x

x

0
2

2
2


 


x  x  1  x  x  2

 Trường hợp 2:




x  1

1  2 x  0


.
2


f  x x2  0 
2


 
1

x

x

2
:
vo
nghiem




Kết hợp hai trường hợp ta được

1
x .
2

Chọn D.


1
x 

2
1  2 x  0

1
theo do thi f ' x 

g x   0  
   x  x 2  1: vo nghiem  x  .
2

Cách 2. Ta có
2
 f   x  x   0
 x  x 2  2 : vo nghiem



Bảng biến thiên
11

2

Cách 3. Vì


1
1 1 theo do thi f 'x 
x  x 2   x     
 f   x  x 2   0.

2
4 4

Suy ra dấu của

g 'x 

phụ thuộc vào dấu của

1  2 x.

Yêu cầu bài toán cần

1
g '  x   0 
1  2 x  0  x  .
2

Câu 15. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình vẽ bên dưới và f 2  f 2  0

2

Hàm số g  x    f  x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A.



1; 3 .

2 

B. 2;1.

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số

Từ bảng biến thiên suy ra
Ta có

g   x   2 f   x . f  x .

C. 1;1.
y  f   x ,

D. 1;2.

suy ra bảng biến thiên của hàm số

f x 

như sau

f  x   0, x  .

Xét

 f   x   0  x  2

g   x   0  f   x . f  x   0  

.



 f x   0
1  x  2


Suy ra hàm số g  x  nghịch biến trên các khoảng ;2, 1;2. Chọn D.
Câu 16. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới và f 2  f 2  0.

12

2

Hàm số g  x    f 3  x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 2;1.
B. 1;2.
C. 2;5.
D. 5; .
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số

y  f   x ,

suy ra bảng biến thiên của hàm số

f x 

Từ bảng biến thiên suy ra f  x   0, x  .
Ta có g  x   2 f  3  x . f 3  x .
Xét
Suy


 f  3  x   0 2  3  x  1 

2  x  5.
g   x   0  f  3  x . f 3  x   0  






x  1

3  x  2

 f 3  x   0
ra hàm số g  x  nghịch biến trên các khoảng ;1, 2;5. Chọn C.

Câu 17. Cho hàm số

Hàm số g  x   f 
A.

y  f  x .

x 2  2x  2

Đồ thị hàm số

;1 2 2 . B. ;1.

x 1

g x  

2

x  2x  2

f



như hình bên dưới

 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có

y  f  x 

C.

1;2



2 1 .

D.

2



2 1;  .

 x  1


f x   0   x  1 .

x  3




x 2  2x  2 ;

 x  1 nghiem boi ba
 x 1  0

 x 1  0



 2
theo do thi f ' x 
g x   0  

x

2
x

2

1

.
 x  1  2 2

2

 f  x  2x  2  0

2

 x  2 x  2  3  x  1  2 2







Lập bảng biến thiên và ta chọn A.

13

như sau

Chú ý: Cách xét dấu
g  0  

1
2

f

 2  0

phương trình

Câu 18. Cho hàm số





1
2

y  f  x .

x  2x  3

ta thấy tại

Đồ thị hàm số

x 2  2x  3  x 2  2x  2

B.



f x 

1;1  2 2 

x  2  1;3

thì

f

ta chọn

 2   0.

y  f  x 

như hình bên dưới

 đồng biến trên khoảng nào sau đây ?



; 1 .


2

C.

1

 ; .

 2

D. 1; .



1
1
 f 
g   x    x  1

 x 2  2 x  3
x 2  2 x  2 
1
2

x  2x  2

0

với mọi

0  u  x 2  2x  3  x 2  2x  2 

theo do thi f ' x 

 f  u  0, x  .

Từ 1 và 2, suy ra dấu của





x 2  2x  3  x 2  2x  2 .

1

x  .

1
2

2

 x 1  2   x  1  1



1
2 1

1

2 
g x 

phụ thuộc vào dấu của nhị thức
14

x 1

x  0.

Khi đó

Các nghiệm của

là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.

A. ;1.
Lời giải. Ta có

như sau: Ví dụ xét trên khoảng

vì dựa vào đồ thị

g x   0

Hàm số g  x   f 

g x 

(ngược dấu)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.

Câu 19. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số
g  x   f '  x  2  2 như hình vẽ bên. Hàm số
y  f  x  nghịch biến trên khoảng nào trong các
khoảng sau ?
A. 1;1.

B.

 3 5 
 ; .
 2 2 

y

2

-2

x

2

O

1

3

-1

C. ;2.
D. 2; .
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có f ' x  2  2  2 1  x  3.
Đặt t  x  2, ta được f ' t   2  2 1  t  2  3 hay f ' t   0 1  t  1. Chọn A.
Cách khác. Từ đồ thị hàm số f '  x  2  2 tịnh tiến xuống dưới
f '  x  2 (tham khảo hình vẽ bên dưới).

15

2

đơn vị, ta được đồ thị hàm số

y

-2

x

2

O

1

3

-3

Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số
khảo hình vẽ bên dưới).

f '  x  2

sang trái

2

đơn vị, ta được đồ thị hàm số

f 'x 

(tham

y
x

1

-1

3

O

-3

Từ đồ thị hàm số

f 'x  ,

ta thấy

Vấn đề 2. Cho đồ thị
Câu 20. Cho hàm số
dưới

y  f x 

f 'x   0

f '  x .

khi

x  1;1.

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

có đạo hàm liên tục trên

.

Đồ thị hàm số

Đặt g  x   f  x  x , khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. g 2  g 1  g 1.
B. g 1  g 1  g 2.
C. g 1  g 1  g 2.
D. g 1  g 1  g 2.
16

f u  x   g  x .

y  f  x 

như hình bên

Lời giải. Ta có g  x   f  x 1 
 g  x   0  f  x   1.
Số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
thẳng d : y  1 (như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra

y  f  x 

và đường

 x  1

g x   0   x  1 .

x  2


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên 
 g 2  g 1  g 1. Chọn C.
Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2; , ta thấy đồ thị hàm số
nằm phía trên đường thẳng y  1 nên g  x   f  x 1 mang dấu .

Câu 21. Cho hàm số
dưới

y  f x 

có đạo hàm liên tục trên

.

Đồ thị hàm số

y  f  x 

2
Hàm số g  x   2 f  x  x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
A. ;2.
B. 2;2.
C. 2;4.
D. 2; .
 g  x   0  f  x   x.
Lời giải. Ta có g  x   2 f  x  2x 

17

như hình bên

Số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
thẳng d : y  x (như hình vẽ bên dưới).

y  f  x 

và đường

 x  2

Dựa vào đồ thị, suy ra g   x   0   x  2 .
x  4

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x  2;2

yx

nên


g   x   0 ) 

thì đồ thị hàm số f   x  nằm phía trên đường thẳng
hàm số g  x  đồng biến trên 2;2. Chọn B.

Câu 22. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên
tục trên . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình
bên. Hỏi hàm số g  x   2 f  x    x 12 đồng biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 3;1.
B. 1;3.
C. ;3.
D. 3; .
 g   x   0  f  x   x 1.
Lời giải. Ta có g  x   2 f  x   2 x 1 
Số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
thẳng d : y  x 1 (như hình vẽ bên dưới).
18

y  f  x 

và đường

 x  3


Dựa vào đồ thị, suy ra g  x   0   x  1 .
x  3

 x  3
Yêu cầu bài toán  g   x   0  
(vì phần đồ
1  x  3
y  x 1 ). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa

Câu 23. Cho hàm số
dưới

y  f x 

thị của

nằm phía trên đường thẳng

mãn. Chọn B.

có đạo hàm liên tục trên

19

f 'x 

.

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình bên

Hỏi hàm số g  x   f 1 x  
A. 3;1.

x2
 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
2

B. 2;0.

C.



1; 3 .

2 

D. 1;3.

Lời giải. Ta có g  x    f  1 x   x 1.
Để g  x   0  f  1 x   x 1. Đặt t  1 x , bất phương trình trở thành f  t   t.
Kẻ đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số f '  x  lần lượt tại ba điểm x  3; x  1; x  3.

Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình

t  3
1 x  3
x  4
f  t   t  


.
1  t  3 1  1  x  3 2  x  0




Đối chiếu đáp án ta chọn B.

Vấn đề 3. Cho bảng biến thiên
Câu 24. Cho hàm số

Hàm số g  x  

y  f x 


5
3
f 2 x 2  x  

2
2

f '  x .

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

có bảng biên thiên như hình vẽ

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
20

f u  x  .

A.



1; 1 .


4

B.

 1 
 ;1.
 4 

C.

 5 
1; .
 4 

D.

9

 ; .

 4

 x  2
và f  x   0  2  x  3.
f x   0  
x  3


5
4 x   0

2

  2 5
3
 f  2 x  x    0
 
2
2 

Xét g   x   0  
.

4 x  5  0

2

 
 f  2 x 2  5 x  3   0
 
2
2 


Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

Ta có


5
g   x   4 x   f

2


5
3
 2 x 2  x  .

2
2 




5


5



4x   0
x



9
2

8


 1 x  .
 




5
3
5
3
4

f  2 x 2  x    0 
2  2 x 2  x   3





2
2
2
2



 




x  5



8


 x  1

5
3
2



2x  x   3
5





4x   0
2
2






2



.






5
3


f  2 x 2  x    0


5



1  x  5

2
2
x

 
4


8
8




5
3
2

2 x  x   2
2
2




Đối chiếu các đáp án, ta chọn C.

Câu 25. Cho hàm số
vẽ

f x 

có đạo hàm liên tục trên

.

Bảng biến thiên của hàm số

 x
Hàm số g  x   f 1   x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
2

A. 4;2.

B. 2;0.

C. 0;2.
21

D. 2;4.

f   x  như

hình

 x
1  x 
f  1   1. Xét g   x   0  f  1    2

 2 
2  2
 x
x
f  1   2  2  1  3  4  x  2. Do đó hàm số nghịch biến trên 4;2 .
 2 
2
 x 
x
f  1   2  1  1  a  0  2  2  2a  x  4 nên hàm số chỉ nghịch biến trên
 2 
2

Lời giải. Ta có
 TH1:
 TH2:

g x   

khoảng

2  2a;4 chứ không nghịch biến trên toàn khoảng 2;4.

Vậy hàm số g  x  

 x
f 1   x
 2 

nghịch biến trên 4;2. Chọn A.

Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án A nhưng cứ xét tiếp trường hợp 2 xem thử.

Vấn đề 4. Cho biểu thức
Câu 26. Cho hàm số

f x 

f '  x .

có đạo hàm

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

f  x   x 2  2x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ;6.
B. 6;6.
C. 6
Lời giải. Ta có
Xét

g x   

1
2

với mọi



2;6 2 .

x  .

D.

6

2
 x
 x 
1  x 
9 x2
f 1   4   1   2 1   4   .
 2 
 2 
2  2 
2 8


9 x2
  0  x 2  36 
6  x  6.
2 8

Chọn B.

22

f u  x  .

Hàm số g  x  



2;  .

 x
f 1    4 x
 2 

Câu 27. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x 2  x  9 x  42 với mọi
g  x   f  x 2  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 2;2.
B. ;3.
C. ;3  0;3. D. 3; .
Lời giải. Ta có
g x   0  2x

5

x

x  .

Hàm số

2

g   x   2 xf  x 2   2 x 5  x 2  9 x 2  4 ;
2

2

 9 x  4 
2

x  0

 0   x  3.

 x  2


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Câu 28. Cho hàm số

f x 

2
có đạo hàm f   x    x 1  x  2 x  với mọi
2

x  .

Hỏi số thực nào

2
dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số g  x   f  x  2 x  2 ?

A.

2.

B.

1.

C.

3
.
2

D.

3.

2
Lời giải. Ta có g   x   2  x 1 f   x  2 x  2



Xét



2
2


 2  x 1  x 2  2 x  2 1  x 2  2 x  2  2  x 2  2 x  2 


5 
4

 2  x 1  x 1 1 .



0

x

1
5 
4
2  x 1  x 1 1  0  
.
x  2



ra hàm số đồng biến trên các khoảng 0;1, 2; .

Suy
Vậy số

3

thuộc khoảng đồng biến của hàm số g  x . Chọn B.

Câu 30. Cho hàm số

y  f x 

có đạo hàm f   x   x 2  x 1 x  4.t  x  với mọi

x 

và t  x   0

2
với mọi x  . Hàm số g  x   f  x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ;2.
B. 2;1.
C. 1;1.
D. 1;2.
Lời giải. Ta có g   x   2 xf  x 2 .
 f  x 2   x 4 x 2 1x 2  4.t x 2 .
Theo giả thiết f  x   x 2 x 1x  4.t x  
Từ đó suy ra g   x   2 x 5 x 2 1x 2  4.t x 2 .
 t  x 2   0, x   nên dấu của g '  x  cùng dấu 2 x 5  x 2 1 x 2  4.
Mà t x   0, x   
Bảng biến thiên

23

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Câu 31. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   1 x  x  2.t  x   2018 với mọi x   và
t  x   0 với mọi x  . Hàm số g  x   f 1 x   2018 x  2019 nghịch biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau ?
A. ;3.
B. 0;3.
C. 1; .
D. 3; .
Lời giải. Ta có g '  x    f ' 1 x   2018.
Theo giả thiết f ' x   1 x x  2.t x   2018 
 f ' 1 x   x 3  x .t 1 x   2018.
Từ đó suy ra g '  x   x 3  x .t 1 x .
Mà t x   0, x   
t 1 x   0, x   nên dấu của g '  x  cùng dấu với x 3  x .
Lập bảng xét dấu cho biểu thức x 3  x  , ta kết luận được hàm số g  x  nghịch biến trên các
khoảng ;0 , 3; . Chọn D.
Vấn đề 5. Cho biểu thức

f '  x , m.

Tìm

m

để hàm số

f u  x 

đồng biến, nghịch biến.

Câu 32. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x 12 x 2  2 x  với mọi x  . Có bao nhiêu số
nguyên m  100 để hàm số g  x   f x 2  8x  m đồng biến trên khoảng 4; ?
A. 18.
B. 82.
C. 83.
D. 84.
x  0
2
f   x    x 1  x 2  2 x   0  
.
x  2

g   x   2 x  8. f   x 2  8x  m. Để hàm số g  x 

Lời giải. Ta có
Xét

đồng biến trên khoảng 4; khi và chỉ khi

g   x   0, x  4
 2 x  8. f   x 2  8 x  m   0, x  4
 f   x 2  8 x  m   0, x  4

Vậy 18  m  100. Chọn B.

 x  8 x  m  0, x  4; 
  2
 m  18.
 x  8 x  m  2, x  4; 
2

Phần 2. Cực trị của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị

f '  x .

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số
y  f  x  là

24

y  f   x .

f u  x  .

Số điểm cực trị của hàm số

A. 2.
B. 3.
Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số
thực sự tại hai điểm là 0 và x 3 .
Bảng biến thiên

C. 4.
D. 5.
f   x  có 4 điểm chung với trục hoành x1 ;

0; x 2 ; x3

nhưng chỉ cắt

Vậy hàm số y  f  x  có 2 điểm cực trị. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f '  x  có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt và băng
qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.
 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 2. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình bên.

2
Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  3.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.

Lời giải. Ta có

g   x   2 xf   x 2  3;

x  0
x  0


x  0
theo
do
thi
f
'
x


 x 2  3  2
 x  1
g   x   0  


.
2



f
x

3

0


 2


 x  3  1 nghiem kep  x  2 nghiem kep

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;
 x  2;  x  0.
1
theo do thi f ' x 
2
2
2
 x  3  1  f   x  3  0.
 x  2;  x  4 
2 
Từ 1 và 2, suy ra g   x   2 xf   x 2  3  0 trên khoảng 2; nên g   x  mang dấu
25

.

Nhận thấy các nghiệm x  1 và x  0 là các nghiệm bội lẻ nên g   x  qua nghiệm đổi dấu; các
nghiệm x  2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f   x  tiếp xúc với trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng 1 ) nên qua nghiệm không đổi dấu.
Câu 3. Cho hàm số

y  f x 

có đạo hàm trên



và có bảng xét dấu của

Hỏi hàm số g  x   f  x 2  2 x  có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải. Ta có g   x   2 x  2 f   x 2  2 x ;

D.

y  f  x 

như sau

4.

x  1
x  1


2

 x  1  2 nghiem kep
2 x  2  0
x  2 x  2
theo BBT f ' x 


g x   0  
   2
 
.
2
 x  2 x  1nghiem kep  x  1
 f   x  2 x   0
 2

 x  2 x  3
 x  3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.
Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau:
Ví dụ xét trên khoảng 3;
 x  3;  2x  2  0.
1
theo BBT f ' x 
2
2
 x  3;   x  2 x  3  f  x  2 x   0.
2 
Từ 1 và 2, suy ra g   x   2 x  2 f   x 2  2 x   0 trên khoảng 3; nên g   x  mang dấu  .
Nhận thấy các nghiệm x  1 và x  3 là các nghiệm bội lẻ nên g   x  qua nghiệm đổi dấu.

Câu 5. Cho hàm số

y  f x 

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số

26

y  f ' x 

như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g  x   f x  2017 2018x  2019 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Ta có g  x   f ' x  2017 2018; g  x   0  f ' x  2017  2018.
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x 
suy ra phương trình f '  x  2017  2018 có 1 nghiệm đơn duy nhất.
Suy ra hàm số g  x  có 1 điểm cực trị. Chọn A.
Câu 6. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số
Hỏi hàm số g x   f x   x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

y  f  x 

như hình vẽ bên dưới.

A. x  0.
B. x  1.
C. x  2.
D. Không có điểm cực tiểu.
Lời giải. Ta có g  x   f  x  1; g  x   0  f  x   1.
Suy ra số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
và đường thẳng y  1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

x  0


g x   0   x  1 .

x  2

hàm g  x  ta thấy g  x 

Lập bảng biến thiên cho
đạt cực tiểu tại x  1. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;0 ta thấy đồ thị hàm
nằm phía dưới đường y  1 nên g   x  mang dấu .

Câu 7. Cho hàm số

f x 

y  f x 

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số
27

y  f  x 

f x 

như hình vẽ bên dưới.

Hàm số g  x   f  x  x

3

3

 x2 x 2

đạt cực đại tại

A. x  1 .
B. x  0 .
C. x  1 .
D. x  2 .
2
2
Lời giải. Ta có g  x   f  x  x  2 x 1; g  x   0  f  x   x 1 .
Suy ra số nghiệm của phương trình g   x   0
chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f   x  và parapol P  : y   x 12 .

Dựa vào đồ thị ta suy ra

x  0

g x   0   x  1 .

x  2


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g  x  đạt cực đại tại x  1. Chọn C.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;0 ta thấy đồ thị hàm
nằm phía trên đường y   x 12 nên g   x  mang dấu .
Nhận thấy các nghiệm x  0; x  1; x  2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm g   x  đổi dấu.

28

f x 

Câu 8. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên
Hàm số g  x   2 f x   x 2 đạt cực tiểu tại điểm

.

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình vẽ bên dưới.

A. x  1.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  2.
Lời giải. Ta có g  x   2 f  x   2x ; g  x   0  f  x   x.
Suy ra số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
và đường thẳng y  x.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

f x 

 x  1

x  0
g   x   0  
.
x  1
x  2


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g  x  đạt cực tiểu tại x  0. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;1 ta thấy đồ thị hàm
nằm phía trên đường y  x nên g   x  mang dấu .

29

f x 

Câu 9. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số
Hỏi đồ thị hàm số g x   f x   3x có bao nhiểu điểm cực trị ?

y  f  x 

như hình vẽ bên dưới.

A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.
Lời giải. Ta có g  x   f  x   3; g  x   0  f  x   3.
Suy ra số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
và đường thẳng y  3.

Dựa vào đồ thị ta suy ra
là nghiệm kép nên đồ thị

Câu 10. Cho hàm số

 x  1

x  0

g  x   0  
. Ta thấy x  1, x  0, x  1 là các
x  1
x  2

hàm số g x   f x   3x có 3 điểm cực trị. Chọn B.

y  f  x .

Đồ thị của hàm số

y  f  x 

nghiệm đơn và

f x 

x 2

như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số g  x   f  x   2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số f   x  ta thấy f   x  cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1
điểm có hoành độ âm)

 f  x  có 2 điểm cực trị dương

 f  x  có 5 điểm cực trị

 f  x   2018 có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không ảnh
hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn C.
30

Câu 11. Cho hàm số bậc bốn y  f  x . Đồ thị hàm số
y  f   x  như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm
số g  x   f 
A.
C.

x 2  2x  2

 là

1.

B.
D.

3.

Lời giải. Ta có

x 1

g x  

2

x  2x  2

f



2.
4.



x 2  2x  2 .

 x 1  0

 x  1
 2
 x 1  0
 x  2 x  2  1 

theo do thi f ' x 

Suy ra g  x   0  f  x 2  2 x  2  0   x 2  2 x  2  1   x  1  2 .


 x  1  2
 2
 x  2 x  2  3





Bảng xét dấu
x



1 2


g'

Từ đó suy ra hàm số g  x   f 

0

x 2  2x  2

1  2

1



0

0






 có 1 điểm cực đại. Chọn A.

Chú ý: Cách xét dấu  hay  của g '  x  để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x 0 thuộc khoảng
đang xét rồi thay vào g   x . Chẳng hạn với khoảng 1;1  2  ta chọn
x 0  0 
 g  0  

1
2

f

Câu 12. Cho hàm số

 2  0

vì dựa vào đồ thị ta thấy

y  f x  .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

f

 2   0.

như hình vẽ dưới đây

 
 5   là
Số điểm cực trị của hàm số g  x   e
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Ta thấy đồ thị của hàm số f   x  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, suy ra hàm số
có 3 điểm cực trị.
2 f  x 1
f x
2 f x 1
f x
 f   x .5  .ln 5  f  x .2e    5  .ln 5.
Ta có g   x   2 f   x .e
2 f x 1

f x

Vì 2e 2 f x 1  5 f x .ln 5  0 với mọi x nên g  x   0  f  x   0.
Suy ra số điểm cực trị của hàm số g  x  bằng số điểm cực trị của hàm số

31

f  x .

Chọn C.

f x 

Câu 13. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình vẽ bên dưới và

f x   0

với mọi

Đặt g  x   f  x  mx  5. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số
hàm số g  x  có đúng hai điểm cực trị ?
x  ;3,4  9; .

A. 4.
B. 7.
C. 8.
D.
Lời giải. Ta có g  x   f  x  m; g  x   0  f  x  m  0  f  x   m.
Để hàm số g  x  có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi
phương trình

g x   0

để

9.

m  5

có hai nghiệm bội lẻ phân biệt  

m

10  m  13



m

 m  1;2;3;4;5;10;11;12.

Chọn C.
Câu 14. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g  x   f  x  m  có 5 điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. Vô số.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số f   x  ta thấy f   x  cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1
điểm có hoành độ âm)

 f  x  có 2 điểm cực trị dương

 f  x  có 5 điểm cực trị

 f  x  m  có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng
đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn D.
Chú ý: Đồ thị hàm số f  x  m  có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.
Đồ thị hàm số f  x  m có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

32

Câu 15. Cho hàm số

y  f  x .

Đồ thị hàm số

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
A. 2.
B. 3.
Lời giải. Từ đồ thị

f x 

ta có

m

y  f  x 

như hình vẽ bên dưới.

để hàm số g  x   f  x  m có
C. 4.
D. Vô số.

 x  2

f x   0   x  1 .

x  2


5

điểm cực trị ?

Suy ra bảng biến thiên của f  x 

Yêu cầu bài toán  hàm số f  x  m có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta
được đồ thị hàm số f  x  m có đúng 5 điểm cực trị).
Từ bảng biến thiên của f  x , suy ra f  x  m luôn có 2 điểm cực trị dương  tịnh tiến f  x 
(sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn
 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị 
 m  1.
 Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị 
 m 2.
m
 m  2;1;0. Chọn B.
Suy ra 2  m  1 
Vấn đề 2. Cho biểu thức

f '  x .

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

f u  x  .

Câu 16. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  x   x 13  x  với mọi x  . Hàm số
cực đại tại
A. x  0.
B. x  1.
C. x  2.
D. x  3.
Lời giải. Ta có

x  1
f   x   0   x 13  x   0  
.
x  3


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

y  f x 

đạt cực đại tại

33

x  3. Chọn

D.

y  f x 

đạt

Câu 17. Cho hàm số

y  f x 

có đạo hàm

2

f   x    x 1 x 1  x  2 1

với mọi

Hàm số

x  .

g  x   f  x  x có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1.
Lời giải. Ta có

B.

2.

C.

3.

D.

4.

2

g   x   f   x 1   x 1 x 1  x  2;

 x  1

g   x   0   x  1 x 1  x  2  0   x  1 . Ta thấy x  1 và x  2

x  2

nghiệm kép 
 hàm số g  x  có 2 điểm cực trị. Chọn B.
2

Câu 18. Cho hàm số

có đạo hàm

y  f x 

là các nghiệm đơn còn

f   x    x 2 1 x  4

với mọi

x 1



x  .

Hàm số

x  .

Hàm số

g  x   f 3  x  có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 0.
Lời giải. Ta có

B.

1.

C.

2.

D.

3.

g   x    f  3  x   3  x  1  4 3  x   2  x 4  x  x  1;


 x  1

g   x   0  2  x 4  x  x  1  0   x  2 .

x  4

2

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g  x  đạt cực đại tại
Câu 19. Cho hàm số

có đạo hàm

y  f x 

x  2.

Chọn B.
2

f   x   x 2  x 1 x  4

với mọi

g  x   f  x 2  có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
Lời giải. Ta có

B.

3.

g   x   2 xf   x

C.
2

  2x x
5

2

4.

D.

5.

2

1 x  4 ;
2

x  0

2

g   x   0  2 x 5  x 2 1 x 2  4   0   x  1
.

2
2
 x  2  x  2  0

 hàm
Ta thấy x  1 và x  0 là các nghiệm bội lẻ 

số g  x  có

3

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 20. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x 2  2 x với mọi x  . Hàm số g  x   f  x 2  8x 
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
2

2
2
2
Lời giải. Ta có g   x   2  x  4 f   x  8x   2  x  4 x  2 x   2 x  2 x  ;


x  4

x  4  0
x  0

2


2
2
2
g   x   0  2  x  4   x  2 x   2  x  2 x   0   x  2 x  0  
.


x  2
 2

 x  2 x  2
 x  1  3

Ta thấy x  1  3, x  0, x  2 và x  4 đều là các nghiệm đơn 

Chọn C.

34



hàm số g  x  có

5

điểm cực trị.

Câu 21. Cho hàm số
2

y  f x 

với mọi

3

f  x . f   x   x  x 1  x  4

có đạo hàm cấp

3

liên tục trên



và thỏa mãn

x  .

2

Hàm số g  x    f   x   2 f  x . f   x  có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 6.
Lời giải. Ta có g  x   2 f  x  f  x  2 f  x . f  x  2 f x . f  x   2 f x . f  x ;
x  0
x  0


2

g   x   0  f  x . f   x   0  x  x 1  x  4   0   x 1  0   x  1 .


 x  4
 x  4

Ta thấy x  0 và x  4 là các nghiệm đơn 
 hàm số g  x  có 2
2

Câu 22. Cho hàm số

y  f x 

3

có đạo hàm cấp

2

điểm cực trị. Chọn B.

liên tục trên



và thỏa mãn

2

 f   x   f  x . f   x   15x 4 12 x với mọi x  .



Hàm số g  x   f  x . f   x  có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải. Ta có
Nhận thấy

x 0

x3

Chọn B.
Câu 23. Cho hàm số

4
5

f x 

là các nghiệm bội lẻ
có đạo hàm

của hàm số g  x   f  x  là
A. 1.
B. 3.
Lời
Do




hàm số g  x  có

4

5

3

f   x    x 1  x  2  x  3

C.

4.

x  0

4

g  x   0  15x  12 x  0  
.
x  3  4

5


2

g   x    f   x   f  x . f   x   15x 4 12 x.



D.

5.

D.

2

điểm cực trị.

với mọi

x  .

Số điểm cực trị

7.

 x  1

giải. Ta có f   x   0   x  1  x  2  x  3  0   x  2 .
 x  3

f   x  chỉ đổi dấu khi x đi qua x  3 và x  2
4

5

3

hàm số f  x  có 2 điểm cực trị x  3 và x  2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

 hàm số f  x  có 3 điểm cực trị (cụ thể là x  2; x  0; x  2 do tính đối xứng của hàm số
chẵn f  x  ). Chọn B.



Câu 24. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x 1 x  24  x 2  4 với mọi
trị của hàm số g  x   f  x  là
A. 1.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
x  1
4
f   x   0   x 1 x  2  x 2  4  0  
.
 x  2

dấu khi x đi qua các điểm điểm x  1; x  2

x  .

Số điểm cực

Lời giải. Ta có

đổi

 hàm số f  x  có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x  1 và x  2

 hàm số f  x  có 5 điểm cực trị (cụ thể là x  2; x  1; x  0 do tính đối xứng của hàm số
chẵn f  x  ). Chọn C.
Do

f x 

35

Câu 25. Cho hàm số

y  f x 

có đạo hàm

của hàm số g  x   f  x  là
A. 0.
B. 1.
Lời
Do

f   x   x  x  2  x 2  4 
4

3.
x  0
giải. Ta có f   x   0  x  x  24  x 2  4  0  
.
 x  2
f   x  chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x  0  Oy

C.

hàm số f  x  có 1 điểm cực trị x  0  Oy

 hàm số f  x  có 1 điểm cực trị (cụ thể là
Chọn B.

D.

với mọi

x  .

Số điểm cực trị

5.




Vấn đề 3. Cho biểu thức

f '  x , m.

Tìm

x 0

m

do tính đối xứng của hàm số chẵn

để hàm số

f u  x 



n

f  x  ).

điểm cực trị

Câu 26. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x 2 x 1x 2  2mx  5 với mọi x  . Có bao nhiêu
số nguyên m  10 để hàm số g  x   f  x  có 5 điểm cực trị ?
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
Lời giải. Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f  x  nên yêu cầu bài toán
 f  x  có 2 điểm cực trị dương.
* 
x  0
x 2  0


  x  1
.
Xét f   x   0   x  1  0
 2
 2
 x  2mx  5  0 1
 x  2mx  5  0
  m 2  5  0



Do đó *  1 có hai nghiệm dương phân biệt  S  2m  0  m   5




P  5  0
m10

 m  9;8;7;6;5;4;3. Chọn B.
m
3

Câu 27. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x 12  x 2  m2  3m  4 x  35 với mọi
bao nhiêu số nguyên m để hàm số g  x   f  x  có 3 điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
 x  1
 x 1  0


2
2
.
Lời giải. Xét f   x   0   x  m  3m  4  0   x  3
 2
x  3  0
2
 x  m  3m  4  0 1

Yêu cầu bài toán  1 có hai nghiệm trái dấu  m2 3m  4  0  1  m  4
m

 m  0;1;2;3.

Chọn B.

36

x  .



Câu 28. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x 14  x  m5 x  33 với mọi
nguyên m thuộc đoạn 5;5 để hàm số g  x   f  x  có 3 điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
 x  1 nghiem boi 4 
 x 1  0


Lời giải. Xét f   x   0   x  m  0   x  m nghiem boi 5 .

x  3  0
 x  3 nghiem boi 3

 Nếu m  1 thì hàm số f  x  có hai điểm cực trị âm ( x  3; x  1 ).

x  .

Khi đó, hàm số f  x  chỉ có

1 cực trị là x  0. Do đó, m  1 không thỏa yêu cầu đề bài.
 Nếu m  3 thì hàm số f  x  không có cực trị. Khi đó, hàm số f  x  chỉ có
đó, m  3 không thỏa yêu cầu đề bài.

 Khi


m  1





m  3

Để hàm số

thì hàm số

f x



3

có hai điểm cực trị là

x m

điểm cực trị thì hàm số

f x 

f x 



Có bao nhiêu số

1

cực trị là

x  0.

Do

x  3  0.

phải có hai điểm cực trị trái dấu

m
 m  0 
 m  1; 2; 3; 4; 5. Chọn C.
m5;5

Câu 29. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x 2 x 1x 2  2mx  5 với mọi
số nguyên âm m để hàm số g  x   f  x  có đúng 1 điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Xét

x  .

Có bao nhiêu

x  0
x 2  0


f   x   0   x  1  0
  x  1
.
 2
 2
 x  2mx  5  0 1
 x  2mx  5  0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra
Trường hợp 1. Phương trình 1 có hai nghiệm âm phân biệt

  m 2  5  0




S  2m  0  m  5.




P  5  0

Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2. Phương trình 1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
m
  5  m  5 
 m  2;1. Chọn A.


37

   m2  5  0

Câu 30. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x 12 x 2  2 x  với mọi x  . Có bao nhiêu giá
trị nguyên dương của tham số m để hàm số g  x   f x 2  8x  m có 5 điểm cực trị ?
A. 15.
B. 16.
C. 17.
D. 18.
 x  1 nghiem boi 2

Lời giải. Xét f   x   0   x 1  x 2  2 x   0   x  0
.
x  2

2
Ta có g   x   2 x  4 f  x  8x  m;
2

x  4

 x 2  8 x  m  1 nghiem boi 2

g  x   0  2 x  4 f  x 2  8x  m  0   2
. Yêu cầu bài toán  g   x   0
 x  8 x  m  0 1

 x 2  8 x  m  2 2 

nghiệm bội lẻ  mỗi phương trình 1, 2 đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. *



Xét đồ thị C  của hàm số y  x 2  8x và hai đường thẳng d1 : y  m, d2 : y  m  2 (như hình vẽ).
Khi đó *  d1, d2 cắt C  tại bốn điểm phân biệt  m 16  m  16.
Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa. Chọn A.

38

5

Vấn đề 4. Cho đồ thị
Câu 31. Cho hàm số

f x 

f  x .

xác định trên

Hỏi số điểm cực trị của hàm số


và có đồ thị

f x 

f u  x  .

như hình vẽ bên dưới. Hàm số

g  x   f  x  x đạt cực đại tại

A. x  1.
B. x  0.
C. x  1.
D. x  2.
Lời giải. Ta có g  x   f  x 1; g  x   0  f  x   1.
Suy ra số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
và đường thẳng y  1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

f x 

 x  1

g x   0   x  1 .

x  2


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g  x  đạt cực đại tại x  1. Chọn A.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;1 ta thấy đồ thị hàm
nằm phía trên đường y  1 nên g   x  mang dấu .

39

f x 

Câu 33. Cho hàm số

y  f x 

có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm

2

số g  x    f  x  có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có
x  0

f  x   0   x  1nghiem kep
x  3


Ta có

f
g   x   2 f   x . f  x ; g   x   0  
 f



 x  a 0  a  1

f   x   0   x  1
.

 x  b 1  b  3

 x  a 0  a  1

x  1


x   0
 x  b 1  b  3

.
x  0
x   0

 x  1 nghiem boi 2 

x  3


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g  x  có

2

điểm cực đại,

40

3

điểm cực tiểu. Chọn C.

Câu 34. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số g  x   f  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy f  x  đạt cực trị tại
Suy ra

x  0, x  2.

 x  0 nghiem don 
f   x   0  
.
 x  2 nghiem don 

 f x   0
g   x   f   x . f   f  x  ; g   x   0  
.
 f   f  x   0
 x  0 nghiem don 
 f  x   0 1
 f   f  x   0  
f   x   0  
.
.
 x  2 nghiem don 
 f  x   2 2

Ta có


Dựa vào đồ thị suy ra:
 Phương trình 1 có hai nghiệm x  0 (nghiệm kép) và x  a a  2.
 Phương trình 2 có một nghiệm x  b b  a.
Vậy phương trình g   x   0 có 4 nghiệm bội lẻ là x  0, x  2, x  a và
g  x   f  f  x  có 4 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 35. Cho hàm số

y  f x 

cực trị của hàm số g  x   2

A.

2.

B.

3.

có đạo hàm trên
f x 

3



x  b.

và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm

f x 

.

C.

4.

D.

5.

f x 
 f x 

Lời giải. Ta có g   x   f   x  2 .ln 2  3 .ln 3 ;

 f x   0
 f x   0
1

 f x   0



f
x



g   x   0   f x 
  3 
ln 2   f  x   log ln 2  1 2.
f x 
3
  

2 .ln 2  3 .ln 3  0
 2 

ln 3
2 ln 3

Dựa vào đồ thị ta thấy:
 1 có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y  f  x  có
 phương trình 2  vô nghiệm.
 f x  1, x   
f x 
Vậy hàm số g  x   2  3 f x  có 3 điểm cực trị. Chọn B.

41

Suy ra hàm số

3

điểm cực trị).

Câu 36. Cho hàm số

y  f x 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Đồ thị hàm số g  x   f  x   4 có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng

A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Đồ thị hàm số g  x   f  x   4 có được bằng cách
 Tịnh tiến đề thị hàm số f  x  lên trên 4 đơn vị ta được f  x   4.
 Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f  x   4 qua Ox , ta được

f x   4 .

Dựa vào đồ thị hàm số g  x   f  x   4 , suy ra tọa độ các điểm cực trị là 1;0, 0;4, 2;0

 tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0  4  0  4. Chọn C.

42

Câu 37. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số như
hình bên. Đồ thị hàm số h  x   2 f  x  3 có bao nhiêu
điểm cực trị ?
A. 4.
B. 5.
C. 7.
D. 9.
Lời giải. Xét g x   2 f x  3 
 g  x   2 f  x ;
 x  1

x  0
theo do thi f  x 
g   x   0  f   x   0  
.
 x  a 1  a  2

 x  2

Ta tính được

 g 1  1

 g 0  7

.

 g a   1

 g 2  1


Bảng biến thiên của hàm số g  x 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra
 Đồ thị hàm số g  x  có 4 điểm cực trị.
 Đồ thị hàm số g  x  cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Suy ra đồ thị hàm số h  x   2 f  x  3 có 7 điểm cực trị. Chọn C.
Câu 38. Cho hàm số
g  x   f  x   2018 là

f x 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số

A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Lời giải. Từ đồ thị ta thấy hàm số f  x  có 2 điểm cực trị dương

 hàm số f  x  có 5 điểm cực trị

 hàm số f  x   2018 có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm thay đổi cực trị).
43

Chọn C.
Câu 39. Cho hàm số
g  x   f  x  2 là

f x 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số

A. 1.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Lời giải. Trước tiên ta phải biết rằng, đồ thị hàm số f  x  2 được suy ra từ đồ thị hàm số
bằng cách tịnh tiến sang phải 2 đơn vị rồi mới lấy đối xứng.

Dựa vào đồ thị hàm số

f  x  2,

suy ra hàm số g  x  có

5

f x 

điểm cực trị. Chọn C.

Câu 40. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình
vẽ bên. Đồ thị hàm số g  x   f  x  2  1 có bao
nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Lời giải. Đồ thị hàm số g  x   f  x  2  1 được suy ra từ đồ thị hàm số f  x  như sau:
Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.
Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 1 sang phải 2 đơn vị.
Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 2 lên trên 1 đơn vị.
Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến Bước 2 và Bước
3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g  x  bằng số điểm cực trị của đồ
thị hàm số f  x  là 3 điểm cực trị. Chọn B.

44

Vấn đề 5. Cho bảng biến thiên của hàm
Câu 41. Cho hàm số

y  f x 

f  x .

xác định, liên tục trên



Hỏi số điểm cực trị của hàm
và có bảng biến thiên như sau

Hàm số g x   3 f x  1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
A. x  1 .
B. x  1 .
C. x  1 .
D. x  0 .
Lời giải. Ta có g   x   3 f ' x .
Do đó điểm cực tiểu của hàm số g  x  trùng với điểm cực tiểu của hàm số
Vậy điểm cực tiểu của hàm số g  x  là x  1. Chọn C.
Câu 42. Cho hàm số

y  f x 

f u  x  .

f  x .

có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số g  x   f  x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải. Ta có g   x   2 x. f x 2 1;

D.

3.

x  0
x  0

 x  0 nghiem don 
theo BBT

g x   0  

  x 2  1  2 
 x  0 nghiem boi 3 .
2
f  x  1
 2
 x  0 nghiem kep
 
 x  1  1
Vậy g   x   0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x  0 nên hàm số g  x  có 1 điểm cực

45

trị. Chọn B.

Câu 43. Cho hàm số

y  f x 

có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số g x   f 3  x .
A. 2.
B. 3.
C. 5.
Lời giải. Ta có g  x    f  3  x .


D.

3  x  0
x  3
theo BBT
g   x   0  f  3  x   0 


.
3  x  2
x  1





g x 

6.

không xác định

 3  x  1  x  2.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số g  x   f 3  x  có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 44. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau
x 
f 'x 

1





3



0



0



2018

f x 

2018



Hỏi đồ thị hàm số g  x   f x  2017  2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Đồ thị hàm số u x   f x  2017  2018 có được từ đồ thị f  x  bằng cách tịnh tiến đồ thị
f  x  sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.
Suy ra bảng biến thiên của u  x 
x 
u 'x 

2016



0

2020


0






4036

u x 

0



Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g  x   u  x  có
46

3

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 45. Cho hàm số

y  f x 

liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hỏi số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  nhiều nhất là bao nhiêu ?
A. 5.
B. 7.
C. 11.
D. 13.
Lời giải. Ta có đồ thị hàm số y  f  x  có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương. Khi đó
 Đồ thị hàm số f  x  cắt trục hoành tối đa 4 điểm.
 Hàm số f  x  có 3 điểm cực trị.
Suy ra hàm số g  x   f  x  sẽ có tối đa

Vấn đề 6. Cho đồ thị

7

f  x .

điểm cực trị. Chọn B.

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

f u  x , m .

Câu 46. Cho hàm bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham
số m để hàm số g  x   f  x   m có 3 điểm cực trị là

A. m 1 hoặc m  3.
B. m 3 hoặc m  1.
C. m  1 hoặc m  3.
D. 1  m  3.
Lời giải. Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số f  x  bằng A  B với
 A là số điểm cực trị của hàm f  x 
 B là số giao điểm của f  x  với trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên)
Áp dụng: Vì hàm f  x  đã cho có 2 điểm cực trị nên f  x   m cũng luôn có 2 điểm cực trị.
Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị f  x   m với trục hoành là 1 .
Để số giao điểm của đồ thị f  x   m với trục hoành là 1 , ta cần
 m 1.
 Tịnh tiến đồ thị f  x  xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị 
 m  3.
 Hoặc tịnh tiến đồ thị f  x  lên trên tối thiểu 3 đơn vị 
Vậy m 1 hoặc m  3. Chọn A.

47

Câu 47. Cho hàm số

y  f x 

có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số g  x   f x  2m có
A.

m  4;11.

B.

5

điểm cực trị khi

 11
m  2;  .
 2 

C.

 11
m  2; .
 2 

D.

m  3.

Lời giải. Vì hàm f  x  đã cho có 2 điểm cực trị nên f  x  2m cũng luôn có 2 điểm cực trị.
Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị f  x  2m với trục hoành là 3 .
Để số giao điểm của đồ thị f  x  2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f  x  xuống dưới
lớn hơn

4

đơn vị nhưng phải nhỏ hơn

11


m2



2m  4






11 .

m

2m  11 


2


đơn vị

Câu 48. Tổng các giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

Chọn C.

y  x 3  3x 2  9 x  5 

m
2



5

điểm cực

trị bằng
A. 2016.
B. 496.
C. 1952.
D. 2016.
Lời giải. Vẽ đồ thị hàm số f x   x 3  3x 2  9 x  5 như hình bên dưới

Ta thấy hàm số

f x 



Do đó yêu cầu bài toán

2



điểm cực trị nên


  m  2016.

32

m
2

số giao điểm của đồ thị

Để số giao điểm của đồ thị
nhưng phải nhỏ hơn

f x 

f x 

đơn vị

m
2


0 

cũng luôn có

f x 

với trục hoành là

m
2
3,

2

điểm cực trị.

với trục hoành là 3 .
ta cần tịnh tiến đồ thị

m
m
 32  0  m  64 
 m  1; 2; 3; ...; 63
2

Chọn D.

48

f x 

lên trên