Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Chuyên đề về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Gửi bởi: Tester vào ngày 2019-11-30 23:00:12 || Kiểu file: PDF

Nội dung tài liệu Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Loading...

Thông tin tài liệu

MỤC LỤC
CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1

NGUYÊN HÀM

1

A

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1

1

Nguyên hàm và tính chất

1

2

1.1
Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Phương pháp tính nguyên hàm
1

3

2.1
Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số
2.2
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần .
2.3
Bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . .
2.4
Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . .
Các dạng toán và bài tập
3.1

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

1
1
2
2
3

4

Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . .
3.1.1
Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
3.2.1
Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1
Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp đổi biến số

B

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

39

1

Nhận biết

39

2

1.1
Thông hiểu

3

2.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Vận dụng thấp
69

4

3.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Vận dụng cao
81
4.1

2

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

3
3
22
23
35
35
39

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
54

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TÍCH PHÂN

86
87

A

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

87

1

Khái niệm tích phân

87

2

1.1
Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2
Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
87
2.1

Phương Pháp Đổi Biến Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
3

Chương 3 - Giải tích 12

2.2
Phương Pháp Tích Phân Từng Phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Các dạng toán và bài tập
88
3.1
3.1.1
3.2
3.2.1
3.3
3.3.1

Tích phân cơ bản và tính chất tính phân
Ví dụ và bài tập . . . . . . . . .
Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ . . .
Ví dụ và bài tập . . . . . . . . .
Tính chất của tích phân . . . . . . . . .
Ví dụ và bài tập . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

88
88
93
93
95
96

Zb

3.4

Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

| f (x) | dx . . . . . . . . . . 107
a

3.4.1
3.5
3.5.1
3.6
3.6.1

3

Ví dụ và bài tập .
Phương pháp đổi biến số
Ví dụ và bài tập .
Tích phân từng phần . . .
Ví dụ và bài tập .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

107
109
109
140
140

B

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

150

1

Nhận biết

150

2

1.1
Thông hiểu

3

2.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Vận dụng thấp
192

4

3.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Vận dụng cao
228

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
161

4.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
247
A

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

247

1

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

247

2

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

247

B

TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

247

C

Dạng toán và bài tập

248

1

Diện tích hình phẳng và bài toán liên quan

248

2

1.1
1.2
Thể tích
2.1
2.2

Th.s Nguyễn Chín Em

Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . 251
254
Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
2

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

D

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

259

1

Nhận biết

259

2

1.1
Thông hiểu

3

2.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Vận dụng thấp
287

4

3.1
ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Vận dụng cao
297
4.1

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
277

ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

CHƯƠNG

3

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
BÀI

1.

A

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1

NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1.1

NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm

Định nghĩa 1. Cho hàm số f ( x) xác định trên K . Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x)
trên K nếu F 0 ( x) = f ( x) với mọi x ∈ K .
Định lí 1. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G ( x) =
F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K .

Định lí 2. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f ( x) trên
K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số.
Định lí 3. Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
1.2

Tính chất

Tính chất 1.
Z

f 0 ( x) d x = f ( x) + C

Tính chất 2.
Z

Z

k f ( x) d x = k

f ( x) d x

( k là một hằng số khác 0).

Tính chất 3.
Z

2

£

¤
f ( x) ± g ( x) d x =

Z

Z

f ( x) d x ±

g ( x) d x

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

2.1

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số
Z
Định lí 4. Nếu f (u) d u = F (u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

Z

2.2

f ( u( x)) u0 ( x) d x = F ( u( x)) + C.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 5. Nếu hai hàm số u = u( x) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì
Z

Z

0

u ( x) · v ( x) d x = u ( x) v( x) −
0

u0 ( x)v( x) d x.
Z

0

Nhận xét. Vì v ( x) d x = dv, u ( x) d x = du nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng

Z

u dv = uv −

v d u.

Z
Để tính nguyên hàm

f ( x) d x bằng từng phần ta làm như sau:
0

Bước 1: Chọn u, v sao cho f ( x) d x = u dv (chú ý dv = v ( x) d x). Sau đó tính v =
1

Z

dv và d u = u0 · d x.

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Chương 3 - Giải tích 12

Z
Bước 2: Thay vào công thức (∗) và tính v d u. Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm
Z
Z
được v và tích phân v d u dễ tính hơn u dv. Ta thường gặp các dạng sau

Z
1

Dạng 1: I =

Z
2

Dạng 2: I =



 u = P ( x)
sin x
¸
·
d x. Với dạng này, ta đặt
P ( x)
sin x
cos x

 dv = cos x d x
·

¸

(

P ( x) eax+b d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt

u = P ( x)

dv = eax+b d x.
½
Z
u = ln ( mx + n)
3 Dạng 3: I = P ( x) ln ( mx + n) d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt
dv = P ( x) d x.

¸
·

¸
Z ·
 u = sin x
sin x x
cos x
e d x. Với dạng này ta đặt
4 Dạng 4: I =
cos x

d x = e x d x
2.3

Bảng nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm sơ cấp

Nguyên hàm của hàm hợp u = u( x)

Z

1

Z

0 dx = C

1

Z

2

Z

1 dx = x + C

xα+1
3
x dx =
+C
α+1
Z
1
d x = ln | x| + C
4
x
Z
5 ex d x = e e x + C
Z

Z

6

α

ax
a dx =
+C
ln a
x

2

Z

1
d u = ln | u| + C
u

Z

eu d u = eu + C

Z

au du =

5
6

au
+C
ln a

7

cos u d u = sin u + C
Z

sin x d x = − cos x + C

1
9
d x = tan x + C
cos2 x
Z
1
10
d x = − cot x + C
sin2 x
Z
p
1
11
p dx = x+C
2 x
Z

8

sin u d u = − cos u + C

1
d u = tan u + C
cos2 u
Z
1
10
d u = − cot u + C
sin2 u
Z
p
1
11
p du = u+C
2 u
Z

9

Bảng nguyên hàm mở rộng
Z
1 (ax + b)α+1
1 (ax + b)α d x =
+ C (α 6= −1)
a
α+1
Z
1
2 eax+b d x = eax+b + C
a
Z
1
3 sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C
a

Th.s Nguyễn Chín Em

uα d u =

4

Z

2.4

uα+1
+C
α+1

Z

Z

cos x d x = sin x + C

8

1 du = u + C

3

Z

7

0 du = C

1
1
d x = ln |ax + b| + C
ax + b
a
Z
1
11 cos(ax + b)d x = sin(ax + b) + C
a
Z
1
1
12
d x = tan(ax + b) + C
2
a
cos (ax + b)
Z

10

2

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Z

4
Z

5
Z

6
Z

7
Z

8
Z

9

3

Chương 3 - Giải tích 12

1
d x = − cot(ax + b) + C
2
a
sin (ax + b)
1
cot(ax + b)d x = ln |sin(ax + b)| + C
a
¯
¯
dx
1
¯a+ x¯
=
ln
¯
¯+C
a−x
a2 − x2 2 a
x
dx
= arcsin
=C
p
| a|
a2 − x2
µ

b
ln(ax + b)d x = x +
ln(ax + b) − x + C
a
eax (a cos bx) + b sin bx
+C
eax cos bxd x =
a2 + b 2

1
tan(ax + b)d x = − ln |cos(ax + b)| + C
a
Z
1
x
dx
14
=
arctan
+C
a
a2 + x2 a
Z
´
³
p
dx
15 p
= ln x + x2 + a2 + C
x2 + a2
Z
¯x¯
1
dx
¯ ¯
= arccos ¯ ¯ + C
16
p
2
2
a
a
x. x − a
p
Z p
2
x
x a − x2 a2
+
arcsin + C
a2 − x2 d x =
17
2
2
a
Z
ax
e (a sin bx) − b cos bx
18 eax sin bxd x =
+C
a2 + b 2

1

Z

13

CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

3.1

Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm

Phương pháp giải
PP

1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa −−−−−−−−−→ khai triển.
PP

2 Tích các hàm mũ −−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ.
PP

3 Chứa căn −−−−−−−−−→ chuyển về lũy thừa.
PP

4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin −−−−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng.

1
2
1
• sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
• cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2

• sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]

5 Bậc chẵn của sin và cosin ⇒ Hạ bậc: sin2 x =

Z
6 Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ I =

1 1
1 1
− cos 2a, cos2 x = + cos 2a.
2 2
2 2

P ( x)
d x, với P ( x), Q ( x) là các đa thức.
Q ( x)
PP

• Nếu bậc của tử số P ( x) ≥ bậc của mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Chia đa thức.
PP

• Nếu bậc của tử số P ( x) < bậc của mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q ( x) thành tích số,
rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che).
†
†

1
A
Bx + C
=
+ 2
, với ∆ = b2 − 4ac.
2
( x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c
1
B
D
A
C
=
+
+
+
.
( x − a)2 ( x − b)2 x − a ( x − a)2 x − b ( x − b)2

Nhận xét. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến.
3.1.1

Bài tập vận dụng

Ví dụ 1. Tính nguyên hàm của hàm số
1
f ( x) = 3 x2 + x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Th.s Nguyễn Chín Em

3

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

Chương 3 - Giải tích 12

ĐS: x3 +
Z µ

Lời giải: Ta có F ( x) =

x2
+C
6


1
x2
3 x + x d x = x3 + + C .
3
6
2

Bài 1. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định), biết
1 f ( x) = 2 x3 − 5 x2 − 4 x + 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ĐS:

1 4 5 3
x − x − 2 x2 + 7 x + C
2
3

- Lời giải.
¡ 3
¢
1
5
2 x − 5 x2 − 4 x + 7 d x = x4 − x3 − 2 x2 + 7 x + C .
2
3

Z

Ta có F ( x) =

ä

2 f ( x) = 6 x5 − 12 x3 + x2 − 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3

ĐS: x6 − 3 x4 + x3 − 8 x + C
- Lời giải.
¡ 5
¢
1
6 x − 12 x3 + x2 − 8 d x = x6 − 3 x4 + x3 − 8 x + C .
3

Z

Ta có F ( x) =

3 f ( x) = ( x2 − 3 x)( x + 1)

ä

.......................................................................
1
4

2
3

3
2

ĐS: F ( x) = x4 − x3 − x2 + C
- Lời giải.
Z

Ta có F ( x) =

Z

2

( x − 3 x)( x + 1)d x =

4 f ( x) = ( x − 1)( x2 + 2)

2
3
1
( x3 − 2 x2 − 3 x)d x = x4 − x3 − x2 + C .
4
3
2

ä

........................................................................
1
4

1
3

ĐS: F ( x) = x4 − x3 + x2 − 2 x + C
- Lời giải.
Z

Ta có F ( x) =

Z

2

( x − 1)( x + 2)d x =

5 f ( x) = x( x2 + 1)2

1
1
( x3 − x2 + 2 x − 2)d x = x4 − x3 + x2 − 2 x + C .
4
3

ä

............................................................................
1
6

ĐS: F ( x) = ( x2 + 1)3 + C
- Lời giải.
Z

2

Ta có F ( x) =

Z

2

x( x + 1) d x =

6 f ( x) = (3 − x)3

( x2 + 1)2

d( x2 + 1) 1 2
= ( x + 1)3 + C .
2
6

ä

..............................................................................
1
4

ĐS: F ( x) = − (3 − x)4 + C
- Lời giải.
Z

Ta có F ( x) =

Z

3

(3 − x) d x = −

7 f ( x) = (2 x + 1)5

1
(3 − x)3 d(3 − x) = − (3 − x)4 + C .
4

ä

.............................................................................
ĐS: F ( x) =

1
(2 x + 1)6 + C
12

- Lời giải.
Z

Ta có F ( x) =
Th.s Nguyễn Chín Em

5

(2 x + 1) d x =

Z

(2 x + 1)5

d(2 x + 1)
1
=
(2 x + 1)6 + C .
2
12
4

ä

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
8 f ( x) = (2 x − 10)2018

Chương 3 - Giải tích 12

.........................................................................
ĐS: F ( x) =

1
(2 x − 10)2019 + C
4038

- Lời giải.
Z

Ta có F ( x) =

(2 x − 10)

9 f ( x) = (3 − 4 x)2019

2018

1
dx =
2

Z

(2 x − 10)2018 d(2 x − 10) =

1
(2 x − 10)2019 + C .
4038

ä

..........................................................................
ĐS: F ( x) = −

1
(3 − 4 x)2020 + C
8080

- Lời giải.
Z

Ta có F ( x) =

2019

(3 − 4 x)

10 f ( x) = (2 x2 − 1)2

1
dx = −
4

Z

(3 − 4 x)2019 d(3 − 4 x) = −

1
(3 − 4 x)2020 + C .
8080

ä

............................................................................
4
5

4
3

ĐS: F ( x) = x5 − x3 + x + C
- Lời giải.
Z

Ta có F ( x) =

2

Z

2

(2 x − 1) d x =

11 f ( x) = ( x2 + 1)3

¡

¢
4
4
4 x4 − 4 x2 + 1 d x = x5 − x3 + x + C .
5
3

ä

.............................................................................
3
5

1
7

ĐS: F ( x) = x7 + x5 + x3 + x + C
- Lời giải.
Z

Ta có F ( x) =

( x2 + 1)3 d x =

Z

¡

¢
1
3
x6 + 3 x4 + 3 x2 + 1 d x = x7 + x5 + x3 + x + C .
7
5

ä

Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x3 − 4 x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 . . . . . . . . . . .
ĐS: F ( x) = x4 − 2 x2 + 5 x − 1
Z
Z
Lời giải: Ta có F ( x) =

f ( x)d x =

¡

¢
4 x3 − 4 x + 5 d x = x4 − 2 x2 + 5 x + C .

Vì F (1) = 3 ⇔ 1 − 2 + 5 + C = 3 ⇔ C = −1.
Suy ra F ( x) = x4 − 2 x2 + 5 x − 1.
Bài 2. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k.
1

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = − x3 + 3 x2 − 2 x thỏa mãn F (1) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F ( x) = −

1
x4
+ x3 − x2 +
4
4

- Lời giải.
¡ 3
¢
x4
− x + 3 x2 − 2 x d x = − + x3 − x2 + C .
4
1
x4
1
Vì F (1) = 0 nên C = . Suy ra F ( x) = − + x3 − x2 + .
4
4
4
Z

Ta có F ( x) =

2

Z

f ( x) d x =

ä

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 x3 − 2 x2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F ( x) =

3 x4 2 x3
37

+x−
4
3
3

- Lời giải.
¡ 3
¢
3 x4 2 x3
3 x − 2 x2 + 1 d x =

+ x + C.
4
3
37
3 x4 2 x3
37
Vì F (−2) = 3 nên C = − . Suy ra F ( x) =

+x− .
3
4
3
3
Z

Ta có F ( x) =

Th.s Nguyễn Chín Em

Z

f ( x) d x =

5

ä

https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
3

Chương 3 - Giải tích 12

Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = −5 x4 + 4 x2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) . . . . .
ĐS: F (−3) = 451
- Lời giải.
¡
¢
4 x3
−5 x4 + 4 x2 − 6 d x = − x5 +
− 6x + C.
3
4 x3
Vì F (3) = 1 nên C = 226. Suy ra F ( x) = − x5 +
− 6 x + 226.
3
Do đó F (−3) = 451.
Z

Ta có F ( x) =

4

Z

f ( x) d x =

ä

Hàm số f ( x) = x3 + 3 x2 + 2 có một nguyên hàm F ( x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F (−2) = −10
- Lời giải.
¢
x4
x3 + 3 x2 + 2 d x =
+ x3 + 2 x + C .
4
x4
Vì F (2) = 14 nên C = −2. Suy ra F ( x) = + x3 + 2 x − 2.
4
Do đó F (−2) = −10.
Z

Ta có F ( x) =

5

Z

f ( x) d x =

¡

ä

Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F ( x) = −

(1 − x)10
+1
10

- Lời giải.
¡
¢
(1 − x)10
9
Ta có F ( x) = f ( x) d x = (1 − x) d x = −
+ C.
10
(1 − x)10
Vì 10F (2) = 9 nên C = 1. Suy ra F ( x) = −
+ 1.
10
Z

Z

ä

µ ¶
µ ¶
1
3
6 Hàm số f ( x) = (2 x + 1) có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F
= 4. Tính F
...................
2
2
µ ¶
3
ĐS: F
= 34
2
3

- Lời giải.
¡
¢
(2 x + 1)4
+ C.
(2 x + 1)3 d x =
8
µ ¶
1
(2 x + 1)4
Vì F
= 4 nên C = 2. Suy ra F ( x) =
+ 2.
2 µ ¶
8
3
Do đó F
= 34.
2
Z

Ta có F ( x) =

Z

f ( x) d x =

ä


1
2
= . Tính F (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Hàm số f ( x) = (1 − 2 x) có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F −
2
3
µ ¶
3
71
ĐS: F
=
2
12
µ

5

- Lời giải.
¡
¢
(1 − 2 x)6
(1 − 2 x)5 d x = −
+ C.
12
µ ¶
1
2
(1 − 2 x)6
Vì F − = nên C = 6. Suy ra F ( x) = −
+ 6.
2µ ¶ 3
12
3
71
Do đó F
=
.
2
12
Z

Ta có F ( x) =

Th.s Nguyễn Chín Em

Z

f ( x) d x =

6

ä
https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/

8

Chương 3 - Giải tích 12

1
3

Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = (2 x − 3)2 thỏa F (0) = . Tính giá trị của biểu thức
P = log2 [3F (1) − 2F (2)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ĐS: P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = 2
- Lời giải.
¡
¢
(2 x − 3)3
+ C.
(2 x − 3)2 d x =
6
1
29
(2 x − 3)3 29
13
Vì F (0) = nên C = . Suy ra F ( x) =
+
⇒ F (1) =
; F (2) = 5.
3
6
6
6
3
Do đó P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = 2.
Z

Ta có F ( x) =

9

Z

f ( x) d x =

ä

Gọi F1 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 ( x) = x( x + 2)2 thỏa F1 (0) = 1 và F2 ( x) là một nguyên hàm
của hàm số f 2 ( x) = x3 + 4 x2 + 5 thỏa F2 (0) = −2. Tìm nghiệm của phương trình F1 ( x) = F2 ( x) . . . . . . .
¾
½
3
ĐS: 1;
2

- Lời giải.
¢
x4 4 x3
x3 + 4 x2 + 4 x d x =
+
+ 2 x2 + C .
4
3
x4 4 x3
+ 2 x2 + 1
(1).
Vì F1 (0) = 1 nên C = 1. Suy ra F1 ( x) = +
4
3
Z
Z
¡ 3
¢
x4 4 x3
+
+ 5x + C.
Tương tự F2 ( x) = f 2 ( x) d x =
x + 4 x2 + 5 d x =
4
3
x4 4 x3
Vì F2 (0) = −2 nên C = −2. Suy ra F2 ( x) = +
+ 5x − 2
(2).
4
3

x=1

Từ (1) và (2), ta có F1 ( x) = F2 ( x) ⇔ 2 x2 + 1 = 5 x − 2 ⇔ 2 x2 − 5 x + 3 = 0 ⇔ 
3
x= .
2
Z

Ta có F1 ( x) =

10

Z

f 1 ( x) d x =

x( x + 2)2 d x =

Z

¡

ä

Gọi F1 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 ( x) = ( x + 1)( x + 2) thỏa F1 (0) = 0 và F2 ( x) là một nguyên
hàm của hàm số f 2 ( x) = x2 + x − 2 thỏa F2 (0) = 0. Biết phương trình F1 ( x) = F2 ( x) có hai nghiệm là
x1 , x2 . Tính 2 x1 + 2 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
ĐS:
16

- Lời giải.
Z

Ta có F1 ( x) =

Z

f 1 ( x) d x =

Z

( x + 1)( x + 2) d x =

¡

¢
x3 3 x3
x2 + 3 x + 2 d x =
+
− 2x + C.
3
2

x3 3 x3
+
− 2x
(1).
3
2
Z
Z
¡ 2
¢
x3 x2
Tương tự F2 ( x) = f 2 ( x) d x =
x + x2 − 2 d x =
+
− 2x + C.
3
2
x3 x2
Vì F2 (0) = 0 nên C = 0. Suy ra F2 ( x) = + − 2 x
(2).
3
2

x=0
3 x2
x2
+ 2x =
− 2 x ⇔ x2 + 4 x = 0 ⇔ 
Từ (1) và (2), ta có F1 ( x) = F2 ( x) ⇔
2
2
x = −4.

Vì F1 (0) = 0 nên C = 0. Suy ra F1 ( x) =

Khi đó 20 + 2−4 =

17
.
16

ä

1
x

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định). f ( x) = x2 −3 x+ ⇒
Z

F ( x) =

f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th.s Nguyễn Chín Em

7

https://emncischool.wixsite.com/geogebra