Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Chuyên đề phương trình mũ và logarit - Lưu Huy Thưởng

3578929539f72b95a841cfc09c3ecda1
Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương vào ngày 2021-01-14 08:08:25 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 90 | Lượt Download: 0 | File size: 1.615302 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP

:………………………………………………………………….

TRƯỜNG

:…………………………………………………………………

HÀ NỘI, 8/2013

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ α

Cơ số a

Luỹ thừa a α

α = n ∈ N*

a∈R

a α = a n = a.a......a (n thừa số a)

α=0

a≠0

aα = a0 = 1

α = −n ( n ∈ N * )

a≠0

a α = a −n =
m
an

m
(m ∈ Z , n ∈ N * )
n

a>0

a =

α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * )

a>0

a α = lim a n

α=

α

1
an
n

= a m (n a = b ⇔ b n = a )
r

2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
α

β

a .a = a

α +β



;



=a

α −β

;

α β

(a ) = a

α. β

;

α

α

(ab) = a .b

α

;

a α a α
  = α
 b 
b

• a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ; 0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có:
a m < bm ⇔ m > 0 ;

Chú ý:

a m > bm ⇔ m < 0

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho bn = a .

• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có:
n

n

n

ab = a . b ;

Neáu

p
q
=
thì
n
m

n

n

n
a
a
=
(b > 0) ;
n
b
b

ap =

m

n

p

a p = (n a ) (a > 0) ;

a q (a > 0) ; Đặc biệt n a =

mn

m n

a = mn a

am

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 1

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a < n b .

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a < n b .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:

C = A(1 + r )N

VẤN ĐỀ II: LOGARIT
1. Định nghĩa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b = α ⇔ a α = b
a > 0, a ≠ 1
Chú ý: loga b có nghĩa khi 
b > 0

• Logarit thập phân:

lg b = log b = log10 b

n

1 

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b (với e = lim 1 +  ≈ 2,718281 )

n

2. Tính chất
• loga 1 = 0 ;

loga a = 1 ;

loga a b = b ;

a

loga b

= b (b > 0)

• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:
• loga (bc) = loga b + loga c

b 
• loga   = loga b − loga c
c 

• loga b α = α loga b

4. Đổi cơ số
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 2

Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:
• logb c =

loga c

• loga b =

1
logb a

loga b

hay loga b.logb c = loga c
1
log c (α ≠ 0)
α a

• log α c =
a

Bài tập cơ bản
HT 1: Thực hiện các phép tính sau:
1) log2 4.log 1 2

1
.log27 9
25

2) log5

4

4) 4

7)

log2 3

+9

log

3

2

5) log

log 3 a.log 4 a 1/3
a

a
7

2 2

3) loga

6) 27

8

log 9 2

a

+4

log 8 27

2 log3 2 + 4 log81 5

8) log3 6.log8 9.log6 2

log 1 a

3

9) 9

a
log3 5

10) 81

13) 9

1
log6 3

+ 27

+4

log9 36

+3

4 log9 7

1
log8 2

11) 25

log5 6

+ 49

1+ log9 4

14) 3

HT 2: So sánh các cặp số sau:
1
1) log 3 4 vaø log 4
3

+4

log7 8

2−log2 3

12) 5

+5

log125 27

2) log0,1 3 2 vaø log0,2 0, 34

3−2 log5 4

15) log

3) log 3
4

1
1
4) log 1
vaø log 1
80
3
2 15 + 2

6) 2

5) log13 150 vaø log17 290

6

3.log 3 36

2
3
vaø log 5
5
4

log6 3

2

vaø 3

log6

1
2

HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho log2 14 = a . Tính log49 32 theo a.
2)Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a.
3)Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ;

1
log81 100

.

4)Cho log7 2 = a . Tính log 1 28 theo a.
2

HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
49
theo a, b.
1)Cho log25 7 = a ; log2 5 = b . Tính log 3
5 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 3

2)Cho log30 3 = a ; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b.

3)Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b.
4)Cho log2 3 = a ; log3 5 = b ; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c.

VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1. Khái niệm
1)Hàm số luỹ thừa y = x α (α là hằng số)

Số mũ α

Hàm số y = x α

Tập xác định D

α = n (n nguyên dương)

y = xn

D=R

α = n (n nguyên âm hoặc n = 0)

y = xn

D = R \ {0}

α là số thực không nguyên

y = xα

D = (0; +∞)

Chú ý: Hàm số y =

1
n
x

không đồng nhất với hàm số y = n x (n ∈ N *) .

2)Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác định:

D = R.

• Tập giá trị:

T = (0; +∞).

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:
y

1

a>1

y=ax

y

y=ax
1
x

x

0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 4

3)Hàm số logarit y = loga x (a > 0, a ≠ 1)

• Tập xác định:

D = (0; +∞).

• Tập giá trị:

T = R.

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thị:

y
y

x

1

x

1

O

y=logax

y=logax

O

0
a>1
2. Giới hạn đặc biệt


1
x
lim(1 + x )
x →0

x

1 

= lim 1 +  = e
x →±∞ 
x

ex − 1
=1
x →0
x

ln(1 + x )
• lim
=1
x →0
x

• lim

3. Đạo hàm


(x α )′ = αx α−1 (x > 0) ;

(u α )′ = αu α−1.u ′

( n x )′ =

vôùi x > 0 neáu n chaün

 .


vôùi x ≠ 0 neáu n leû 

Chú ý:





1
n

n x n−1

(a x )′ = a x ln a ;

(a u )′ = a u ln a.u ′

(e x )′ = e x ;

(e u )′ = e u .u ′

(loga x )′ = x ln1 a ;

(loga u )′ = u uln′ a

(ln x )′ = 1 (x > 0);

(ln u )′ = u ′

x

(n u )′ =

u′
n

n u n −1

u

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 5

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 6

Bài tập cơ bản
HT 5: Tính các giới hạn sau:
 x x

1) lim 
x →+∞  1 + x 
 3x − 4 

4) lim 
x →+∞  3x + 2 


1
2) lim 1 + 
x →+∞ 
x
x +1
3

x +1
x

 x + 1 x

5) lim 
x →+∞  2x − 1 

e 2x − 1
x →0
3x

ln x − 1
x →e x − e

 x + 12x −1

3) lim 
x →+∞  x − 2 
 2x + 1x

6) lim 
x →+∞  x − 1 

ex − e
x →1 x − 1

7) lim

8) lim

i) lim

e x − e −x
k) lim
x → 0 sin x

e sin 2x − e sin x
l) lim
x →0
x

m)

lim x (e

)

1
x

−1

x →+∞

HT 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3

x +1
x −1

1) y = x 2 + x + 1

2) y =

4) y = 3 sin(2x + 1)

5) y = cot 1 + x 2

7) y = 3 sin

4

3) y =

3

x +3
4

8) y =

11

5

9 + 6 x9

6) y =

9) y =

5

x2 + x − 2
x2 + 1

1 − 3 2x
1 + 3 2x
4

x2 + x + 1
x2 − x + 1

HT 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2) y = (x 2 + 2x )e −x

1) y = (x 2 − 2x + 2)e x

4) y = e

2x +x 2

x

7) y = 2 .e

5) y = x .e

cos x

8) y =

1
x− x
3

3x
2

x −x +1

3) y = e −2x .sin x

6) y =

e 2x + e x

e 2x − e x

i) y = cos x .e cot x

HT 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = ln(2x 2 + x + 3)

2) y = log2 (cos x )

3) y = e x .ln(cos x )

4) y = (2x − 1)ln(3x 2 + x )

5) y = log 1 (x 3 − cos x )

6) y = log3 (cos x )

2

7) y =

ln(2x + 1)

8) y =

2x + 1

ln(2x + 1)
x +1

9) y = ln (x + 1 + x 2 )

HT 9: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
1) y = x .e



x2
2 ;

xy ′ = (1 − x 2 )y

2) y = (x + 1)e x ; y ′ − y = e x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 7

3) y = e 4x + 2e −x ;

y ′′′ − 13y ′ − 12y = 0

5) y = e−x .sin x ;

y ′′ + 2y ′ + 2y = 0

4) y = a.e −x + b.e −2x ; y ′′ + 3y ′ + 2y = 0
6) y = e −x .cos x ; y

( 4)

+ 4y = 0

HT 10: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
 1 
1
;
; xy′ = y  y ln x − 1
xy ′ + 1 = ey
1) y = ln 
2) y =

1 + x + ln x
1 + x 
3) y = sin(ln x ) + cos(ln x ); y + xy ′ + x 2y ′′ = 0

4) y =

1 + ln x
; 2x 2y ′ = (x 2y 2 + 1)
x (1 − ln x )

HT 11: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:
1) f '(x ) = 2 f (x ); f (x ) = e x (x 2 + 3x + 1)

2) f '(x ) +

1
f (x ) = 0;
x

f (x ) = x 3 ln x

3) f '(x ) = 0; f (x ) = e 2x −1 + 2.e1−2x + 7x − 5

VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Với a > 0, a ≠ 1 :

1. Phương trình mũ cơ bản:

b > 0
a x = b ⇔ 
x = loga b

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
1) Đưa về cùng cơ số:

Với a > 0, a ≠ 1 :

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:

a f (x ) = a g (x ) ⇔ f (x ) = g(x )
a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N ) = 0

a f (x ) = b g (x ) ⇔ f (x ) = (loga b ).g (x )

2) Logarit hoá:
3) Đặt ẩn phụ:
• Dạng 1:

t = a f (x ), t > 0
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
P (a f (x )) = 0 ⇔ 
P (t ) = 0

• Dạng 2:

αa 2 f (x ) + β(ab)f (x ) + γb 2 f (x ) = 0

Chia 2 vế cho b

2 f (x )

a f (x )
, rồi đặt ẩn phụ t =  
b 

• Dạng 3: a f (x ) + b f (x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a f (x ) ⇒ b f (x ) =
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

1
t
Page 8

4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:

f(x) = g(x)

(1)

• Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:
 f (x ) ñoàng bieán vaø g(x ) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët).


 f (x ) ñôn ñieäu vaø g(x ) = c haèng soá

• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) ⇔ u = v

5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A = 0
• Phương trình tích A.B = 0 ⇔ 
B = 0

A = 0
• Phương trình A2 + B 2 = 0 ⇔ 
B = 0

6) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:

f(x) = g(x)

(1)

 f (x ) ≥ M
Nếu ta chứng minh được: 
g(x ) ≤ M

thì

 f (x ) = M
(1) ⇔ 
g(x ) = M

Bài tập cơ bản
HT 12: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
2x

2) (3 − 2 2 )

1) 9 3x −1 = 38x −2

3) 4x

2

−3x +2

5) 2x

2

−1

 1 x
7)  
 2 

2

+ 4x

+ 2x

2

+2

2

+ 6x + 5

= 42x

2

= 3x + 3x

2

2

+ 3x +7

+1

−1

11)

=

x 2 +4

= 25

 1 x +7  1 1−2x


=2
8)   . 
2 
2 

4− 3x

9) 3x .2x +1 = 72
x +10
16 x −10

4) 52x − 7x − 52x .35 + 7x .35 = 0
x−
6) 5

−2

=2

= 3+2 2

10) 5x +1 + 6. 5x – 3. 5x −1 = 52

x +5
x
0,125.8 −15

12) (

x −1

5 + 2)

=(

x −1

5 − 2)x +1

HT 13: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
 2 4x +1  1 3x +2
1)  
=  
 5 
 7 
x

4) 3

x
x
+
.8 2

=6

x

2) 5

2x −1
.2 x +1

= 50

5) 4.9x −1 = 3 22x +1

x

3) 3

6) 2x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

3x
x
.2 +2

2

−2x

=6

.3x = 1, 5
Page 9

2

x

2

x

8) 23 = 32

7) 5x .3x = 1

9) 3x .2x = 1

HT 14: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
1) 4x + 2x +1 − 8 = 0
2) 4x +1 − 6.2x +1 + 8 = 0
5) 49x + 7x +1 − 8 = 0

4) 16x − 17.4x + 16 = 0
x

x

7) (7 + 4 3 ) + (2 + 3 ) = 6
10) 32x

2

+2x +1

2

− 28.3x

+x

2

8) 4cos 2x + 4cos
11) 4x

+9 = 0

2

+2

+ 31+

x

6) 2x

+2

−x

2

− 22+x −x = 3.

9) 32x +5 − 36.3x +1 + 9 = 0

=3

2

2

+ 8 = 0 12) 3.52x −1 − 2.5x −1 = 0,2

2) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0

3) 3.4x + (3x − 10).2x + 3 − x = 0
x

x

− 9.2x

HT 15: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
1) 25x − 2(3 − x ).5x + 2x − 7 = 0

5) 4x 2 + x .3

3) 34x +8 − 4.32x +5 + 27 = 0

4) 9x + 2(x − 2).3x + 2x − 5 = 0
6) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0

= 2.3 x .x 2 + 2x + 6

7) 4x +(x – 8)2x +12 – 2x = 0

8) (x + 4).9x − (x + 5).3x + 1 = 0

2
2
9) 4x + (x 2 − 7).2x + 12 − 4x 2 = 0

10) 9−x − (x + 2).3−x − 2(x + 4) = 0

HT 16: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):
1) 64.9x − 84.12x + 27.16x = 0 2) 3.16x + 2.81x = 5.36x

3) 6.32x − 13.6x + 6.22x = 0

4) 25x + 10x = 22x +1

6) 3.16x + 2.81x = 5.36x

7)

1
x
6.9

1
x
− 13.6

1
x
+ 6.4

5) 27x + 12x = 2.8x


=0

8) 4

x

1
x



+6

1
x



=9

x

1
x

9)

1
x
2.4

1
x
+6

=

1
x
9

x

10) (7 + 5 2 ) + ( 2 − 5)(3 + 2 2 ) + 3 (1 + 2 ) + 1 − 2 = 0.

HT 17: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
x

x

x

(

) +(

x

)

1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 14

2)

3) (2 + 3)x + (7 + 4 3)(2 − 3)x = 4(2 + 3)

4) (5 − 21 ) + 7 (5 + 21 ) = 2x + 3

x

5) (5 + 24 ) + (5 − 24 ) = 10

7)

(

6 − 35

) +(

x

6 + 35

)

= 12

2− 3

x

=4

x

 7 + 3 5 x
 7 − 3 5 x


6) 
 + 7 
 = 8


2
2



x

x

2+ 3

8) (2 +

(x −1)2

3)

+ (2 −

x 2 −2x −1

3)

=

4

2− 3

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 10

x

x

x

9) (3 + 5 ) + 16 (3 − 5 ) = 2x +3
x

x

10) (3 + 5 ) + (3 − 5 ) − 7.2x = 0

x

11) (7 + 4 3 ) − 3 (2 − 3 ) + 2 = 0

12)

(

x

3

3+ 8

) +(

x

3

3− 8

)

= 6.

HT 18: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
x

x

1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 4x
x

2)

x

(

x

x

3 − 2) + ( 3 + 2) =
x

(

x

3) (3 + 2 2 ) + (3 − 2 2 ) = 6x

4) (3 + 5 ) + 16. (3 − 5 ) = 2x +3

 3 x 7
5)   + = 2x
5
 5 

6)

(

x

2+ 3

x

10 )

) +(

x

2− 3

)

2

= 2x

7) 2x + 3x + 5x = 10x

8) 2x + 3x = 5x

9) 2x −1 − 2x

10) 3x = 5 − 2x

11) 2x = 3 − x

12) 2x +1 − 4x = x − 1

−x

= (x − 1)2

HT 19: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x

2) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20

3) 8 − x .2x + 23−x − x = 0

4) 2x + 3x = 1 + 6x

5) 4x

2

−3x +2

+ 4x

2

+6x + 5

= 42.x

2

+ 3x +7

6) 4x

+1

2

2

+x

2
(x +1)
+ 21−x = 2
+1

7) x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = −x 3 + 8x 2 − 19x + 12

8) x 2 .3x −1 + x (3x − 2x ) = 2(2x − 3x −1 )

9) 4sin x − 21+sin x cos(xy ) + 2 y = 0

10) 22(x

2

+x )

2

+ 21−x − 22(x

2

2

+x )

.21−x − 1 = 0

HT 20: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
1) 2x = cos x 4, với x ≥ 0

2) 3x

 x 3 − x 
 = 3x + 3−x
4) 2.cos2 
 2 

5) π

2

2

−6x +10

sin x

= − x 2 + 6x − 6

3) 3 sin

x

2

= cos x

6) 22x −x =

= cos x

x2 +1
x

2

7) 3x = cos 2x

8) 5x = cos 3x

HT 21: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) 9x + 3x + m = 0

3) 4x − 2x + 1 = m

2) 9x + m 3x − 1 = 0

4) 32x + 2.3x − (m + 3).2x = 0 5) 2x + (m + 1).2−x + m = 0
7) 16x − (m − 1).22x + m − 1 = 0
9) 81sin

2

x

2

+ 81cos

x

=m

6) 25x − 2.5x − m − 2 = 0

8) 25x + m.5x + 1 − 2m = 0
2

2

10) 34−2x − 2.32−x + 2m − 3 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 11

11) 4 x + 1 + 3 − x − 14.2 x + 1 + 3 − x + 8 = m
2
12) 9x + 1−x − 8.3x +

1−x 2

+4 =m

HT 22: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1) m.2x + 2−x − 5 = 0
2) m.16x + 2.81x = 5.36x

3)

(

x

x

5 + 1) + m ( 5 − 1) = 2x

5) 4x − 2x + 3 + 3 = m

 7 + 3 5 x
 7 − 3 5 x

 + m 
 = 8
4) 




2
2

6) 9x + m 3x + 1 = 0

HT 23: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:
1) (m + 1).4x + (3m − 2).2x +1 − 3m + 1 = 0

2) 49x + (m − 1).7x + m − 2m 2 = 0

3) 9x + 3(m − 1).3x − 5m + 2 = 0

4) (m + 3).16x + (2m − 1).4x + m + 1 = 0

5) 4x − 2 (m + 1).2x +3m − 8 = 0

6) 4x − 2x + 6 = m

HT 24: Tìm m để các phương trình sau:
1) m.16x + 2.81x = 5.36x có 2 nghiệm dương phân biệt.
2) 16x − m.8x + (2m − 1).4x = m.2x có 3 nghiệm phân biệt.
2
2
3) 4x − 2x +2 + 6 = m có 3 nghiệm phân biệt.
2
2
4) 9x − 4.3x + 8 = m có 3 nghiệm phân biệt.

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 12

VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản
Với a > 0, a ≠ 1:

loga x = b ⇔ x = a b

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
1) Đưa về cùng cơ số
 f (x ) = g(x )
loga f (x ) = loga g (x ) ⇔ 
 f (x ) > 0 (hoaëc g(x ) > 0)

Với a > 0, a ≠ 1:

2) Mũ hoá
Với a > 0, a ≠ 1:

loga f (x ) = b ⇔ a

loga f (x )

= ab

3) Đặt ẩn phụ
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập
Chú ý:

• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1:

a

logb c

=c

logb a

Bài tập cơ bản
HT 25: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
2) log2 x + log2 (x − 1) = 1
1) log2 x (x − 1) = 1


3) log2 (x − 2) − 6.log1/8 3x − 5 = 2

4) log2 (x − 3) + log2 (x − 1) = 3

5) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8

6) lg(x − 2) + lg(x − 3) = 1 − lg 5

7) 2 log8 (x − 2) − log8 (x − 3) =

2
3

8) lg 5x − 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18

9) log3 (x 2 − 6) = log 3 (x − 2) + 1

10) log2 (x + 3) + log2(x − 1) = 1 / log5 2

11) log4 x + log4 (10 − x ) = 2

12) log5 (x − 1) − log1/5 (x + 2) = 0

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 13

13) log2 (x − 1) + log2 (x + 3) = log2 10 − 1

14) log9 (x + 8) − log3 (x + 26) + 2 = 0

HT 26: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log3 x + log

3

x + log1/3 x = 6

2) 1 + lg(x 2 − 2x + 1) − lg(x 2 + 1) = 2 lg(1 − x )

3) log 4 x + log1/16 x + log 8 x = 5

4) 2 + lg(4x 2 − 4x + 1) − lg(x 2 + 19) = 2 lg(1 − 2x )

5) log2 x + log4 x + log8 x = 11

6) log1/2 (x − 1) + log1/2 (x + 1) = 1 + log

7) log2 log2 x = log3 log3 x

8) log2 log3 x = log3 log2 x

9) log2 log3 x + log3 log2 x = log3 log3 x

10) log2 log3 log4 x = log4 log3 log2 x

1/ 2

(7 − x )

HT 27: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log2 (9 − 2x ) = 3 − x
2) log3 (3x − 8) = 2 − x
3) log7 (6 + 7−x ) = 1 + x
5) log2 (9 − 2x ) = 5

log5 (3−x )

4) log 3 (4.3x −1 − 1) = 2x − 1
6) log2 (3.2x − 1) − 2x − 1 = 0

7) log2 (12 − 2x ) = 5 − x

8) log5 (26 − 3x ) = 2

9) log2 (5x + 1 − 25x ) = 2

10) log4 (3.2x + 1 − 5) = x

11) log 1 (5x + 1 − 25x ) = −2

12) log 1 (6x + 1 − 36x ) = −2

6

5

HT 28: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log5 −x (x 2 − 2x + 65) = 2
2) logx − 1(x 2 − 4x + 5) = 1
3) logx (5x 2 − 8x + 3) = 2
5) logx

−3

(x − 1) = 2

4) logx +1(2x 3 + 2x 2 − 3x + 1) = 3
6) logx (x + 2) = 2

7) log2x (x 2 − 5x + 6) = 2

8) logx + 3 (x 2 − x ) = 1

9) logx (2x 2 − 7x + 12) = 2

10) logx (2x 2 − 3x − 4) = 2

11) log2x (x 2 − 5x + 6) = 2

12) logx (x 2 − 2) = 1

13) log 3x
15) logx

+5

(9x 2 + 8x + 2) = 2

15
= −2
1 − 2x

14) log2x

+ 4

(x 2 + 1) = 1

16) log 2 (3 − 2x ) = 1
x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 14

17) log

x 2 + 3x

18) logx (2x 2 − 5x + 4) = 2

(x + 3) = 1

HT 29: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log23 x + log23 x + 1 − 5 = 0
3) logx 2 − log 4 x +

7
=0
6

5) log2 x + 3 log2 x + log1/2 x = 0
2

7) log5 x − logx

1
=2
5

9) 2 log5 x − 2 = logx

2) log2 x + 3 log2 x + log1/2 x = 2
2

4) log21 4x + log2
2

6) log 2 16 + log2x 64 = 3
x

8) log7 x − logx
1
5

x2
=8
8

1
=2
7

log2 x − log2 4x = 0

10) 3

11) 3 log3 x − log 3 3x − 1 = 0

12) log2 3 x + 3 log2 x = 4 / 3

13) log2 3 x − 3 log2 x = −2 / 3

14) log22 x + 2 log4

15) log22 (2 − x ) − 8 log1/4 (2 − x ) = 5

16) log25 x + 4 log25 5x − 5 = 0

17) logx 5 + logx 5x =

19)

9
+ logx2 5
4

1
2
+
=1
4 − lg x 2 + lg x

1
=0
x

18) log 2 3 + log9 x = 1
x

20)

1
3
+
=1
5 − lg x 3 + lg x

21) log2x x 2 − 14 log16x x 3 + 40 log4x x = 0

HT 30: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
log2 x

log2 6

1) log23 x + (x − 12)log3 x + 11 − x = 0

2) 6.9

3) x .log22 x − 2(x + 1).log2 x + 4 = 0

4) log22 x + (x − 1)log2 x = 6 − 2x

+ 6.x 2 = 13.x

5) (x + 2)log2 3 (x + 1) + 4(x + 1)log3 (x + 1) − 16 = 0 6) log 2 (2 + x ) + log
x

7) log23 (x + 1) + (x − 5)log3 (x + 1) − 2x + 6 = 0

2−x

x =2

8) 4 log3 x − 1 − log3 x = 4

9) log2 (x 2 + 3x + 2) + log2 (x 2 + 7x + 12) = 3 + log2 3

HT 31: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log7 x = log3( x + 2)

2) log2 (x − 3) + log3 (x − 2) = 2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 15

3) log3 (x + 1) + log5 (2x + 1) = 2

5) 4
7) x

log7 (x +3)

log2 9

log6 x

) = log6 x

6) log2 (1 + x ) = log3 x

=x

= x 2 .3

4) log2 (x + 3

log2 x

−x

log2 3

8) log 3x +7 (9 + 12x + 4x 2 ) + log2x +3 (6x 2 + 23x + 21) = 4
9) log2 (x − x 2 − 1).log3 (x + x 2 − 1) = log6 (x − x 2 − 1)

HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
1) x + x

log2 3

=x

log2 5

(x > 0)

2) x 2 + 3

log2 x

=5

log2 x

3) log5 (x + 3) = 3 − x

4) log2 (3 − x ) = x

5) log2 (x 2 − x − 6) + x = log2 (x + 2) + 4

6) x + 2.3

log2 x

=3

7) 4(x − 2)  log2 (x − 3) + log 3 (x − 2) = 15(x + 1)

HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
1) log2 x + 2.log7 x = 2 + log2 x .log7 x
2) log2 x .log3 x + 3 = 3.log3 x + log2 x
2

3) 2 (log9 x ) = log 3 x .log 3 ( 2x + 1 − 1)

HT 34: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
1) ln(sin2 x ) − 1 + sin3 x = 0
3) 22x +1 + 23−2x =

2) log2 (x 2 + x − 1) = 1 − x 2

8

log3 (4x 2 − 4x + 4)

HT 35: Tìm m để các phương trình sau:
1) log2 (4x − m ) = x + 1 có 2 nghiệm phân biệt.
2) log23 x − (m + 2).log 3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27.
3) 2 log4 (2x 2 − x + 2m − 4m 2 ) = log2 (x 2 + mx − 2m 2 ) có 2 nghiệm x1, x2 thoả x 12 + x 22 > 1 .


4) log23 x + log23 x + 1 − 2m − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3  .

(

5) 4 log2 x

2

)

+ log2 x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 16

VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:
• Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ.
• …….

HT 36: Giải các hệ phương trình sau:
x + 2y = 5

1) 
x − 2y = 1

y

x − 3 = 1
3)  2
x + 3y = 19


2x = 4y

2)  x
4 = 32y

x y −1 = 8

4)  2y −6
x
=4


HT 37: Giải các hệ phương trình sau:
4x − 3y = 7

1)  x y
4 .3 = 144


y
 x
2 + 3 = 17
2)  x
3.2 − 2.3y = 6


x +y

= 56
2x + 2.3
3) 
x
+
y
+
1
3.2x + 3
= 87


 2x +2 + 22y +2 = 17
3
4)  x +1
2.3
+ 3.2y = 8



3
5) 
3


2
 2(x 2 −1)
− 4.4x −1.2y + 22y = 1
4
6) 
22y − 3.4x 2 −1..2y = 4


x +1

− 2y = −4

x +1

− 2y +1 = −1

 2
y −x 2
=1
(x + y )2
8) 
9(x 2 + y ) = 6x 2 −y


y
 2
cot x = 3
7) 
cos x = 2y


32x − 2y = 77

9)  x
3 − 2y = 7


2x − 2y = (y − x )(xy + 2)

10)  2
x + y 2 = 2


HT 38: Giải các hệ phương trình sau:
3x = 2y + 1

1)  y
3 = 2x + 1

2x − 2y = y − x

3)  2
x + xy + y 2 = 3


3x + 2x = y + 11

2)  y
3 + 2y = x + 11

7 x −1 = 6y − 5

4)  y −1
7
= 6x − 5


HT 39: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 17

x + y = 6
1) 
log2 x + log2 y = 3

log y + log x = 2
y
2)  x
x + y = 6


x + log y = 4
2
3) 
2x − log2 y = 2

x 2 − y 2 = 3

4) 
log 3 (x + y ) − log5 (x − y ) = 1

xy = 32
5) 
logy x = 4

log x + 2log2 y = 3

6)  y 3
x = 9


2(log x + log y ) = 5
y
x
7) 
xy = 8


 x − 1 + 2 − y = 1

8) 
3 log (9x 2 ) − log y 3 = 3
9
3


 1
 log x 2 − log y = 0
3
3
9) 
2
3

x + y 2 − 2y = 0

HT 40: Giải các hệ phương trình sau:
log (3x + 2y ) = 2

1)  x
logy (2x + 3y ) = 2

y − log x = 1
3
10)  y
12
x = 3

log (6x + 4y ) = 2
2)  x
logy (6y + 4x ) = 2




log 1 − x  = 2 − log y

2
2


y 
3) 
log x + log y = 4
3
3

2
2


log x − log y 2 = 1
2
4)  y
log 4 x − log 4 y = 1


log x 2 + y 2 + 6 = 4

5)  2
log x + log y = 1
3
 3

x log2 y + y log2 x = 16
6) 
log2 x − log2 y = 2


x log 3 y + 2.y log3 x = 27

7) 
log3 y − log 3 x = 1

log x
 log y
3.x 2 + 2.y 2 = 10
8) 
log x 2 + log y = 2
2
 4

log (2x + y − 2) = 2

9)  x
logy (2y + x − 2) = 2

log (xy ) = 4
 2
x 
10) 
log2   = 2
 y 


(

)

HT 41: Giải các hệ phương trình sau:
lg x + lg y = 4
1)  lg y
= 1000
x

x x −2y = 36
2) 
4 (x − 2y ) + log6 x = 9


BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 18


(x + y )3y −x = 5
3) 
27

+
=
3
log
(
)
x
y
x −y

5

3lg x = 4lg y

4) 
(4x )lg 4 = (3y )lg 3


2 log x − 2 log y  + 5 = 0
  1
x2 


5)   y
 2
xy = 32


HT 42: Giải các hệ phương trình sau:
 log 2 x
2
= y4
1) 
log x − log y = 1
2
 2


x −y
 1 x − 2y

(
)
=  
2)  3
3

(
)
log x + y + log2 (x − y ) = 4
 2

x log8 y + y log8 x = 4

3) 
log 4 x − log 4 y = 1

 x y
3 .2 = 18
4) log (x + y ) = −1
 1
 3


x −y
 1 x −2y

=  
3
5) 
 3 


log2 (x + y ) + log2 (x − y ) = 4

 x + y
 y x
= 32
6) 4

log x − y ) = 1 − log 3 (x + y )
 3 (

3x.2y = 972

7) 
log (x − y ) = 2
3


3−x.2y = 1152

8) 
log (x + y ) = 2
5


x
y

(x + y ) = (x − y )
9) 
log x − log y = 1
2
 2

4 log3 xy = 2 + (xy )log3 2

10)  2
x + y 2 − 3x − 3y = 12


x log3 y + 2y log3 x = 27
11) 
 log3 y − log3 x = 1


log xy = log x 2
 x
y
12)  2 log x
y y = 4y + 3


( )

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 19

VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.

a f (x ) > a g (x )


a > 1
 f (x ) > g (x )

⇔ 
0 < a < 1

 f (x ) < g (x )


• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….

Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

a M > a N ⇔ (a − 1)(M − N ) > 0
HT 43: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
x 2 − 2x

1) 3

x +2

3) 2

5) 9x

2

 1 x
≥  
3
x +3

x +4

−2

−3x +2

− 6x

2

− x −1

−2

−3x +2

x2 + 1

7) 4x 2 + x .2

1
2)  
2
x +1

>5

x +2

−5

4) 3

x

x 6 −2x 3 +1

+3

 1 1 − x

<  
2

x −1

x −2

−3

< 11

6) 62x +3 < 2x +7.33x −1

<0
2

2

+ 3.2x > x 2 .2x + 8x + 12

8) 6.x 2 + 3 x .x + 31+

x

< 2.3 x .x 2 + 3x + 9

9) 9x + 9x +1 + 9x +2 < 4x + 4x +1 + 4x +2

10) 7.3x +1 + 5x +3 ≤ 3x +4 + 5x +2

11) 2x +2 + 5x +1 < 2x + 5x +2

12) 2x −1.3x + 2 > 36

13)

(

x −3
x −1

10 + 3)

2

< ( 10 − 3)

14)

x +1

(

2 + 1)
1

1

15)

x +1
x +3

x −1

x 2 −2x

≤2

16) 2

2x −1

≥2

x
x −1

≥ ( 2 − 1)

1
3x +1

HT 44: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
x

x

x

1) 2.14 + 3.49 − 4 ≥ 0
x

2(x − 1)

3) 4 − 2

2
(x − 2)
+ 83

2)

> 52

1
−1
x
4

4) 8.3

1
−2
x
−2

x +4 x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

−3 ≤ 0

+ 91+

4

x

>9

x

Page 20

2x + 1

x +1

> 30 + 5x.30x

5) 25.2x − 10x + 5x > 25

6) 5

7) 6x − 2.3x − 3.2x + 6 ≥ 0

8) 27x + 12x > 2.8x

1

1

x

1

10) 3x +1 − 22x +1 − 12 2 < 0

9) 49 x − 35 x ≤ 25 x
11) 252x −x

2

+1

+6

+ 92x −x

2

+1

≥ 34.252x −x

2

12) 32x − 8.3x +

13) 4x + x − 1 − 5.2x + x − 1 + 1 + 16 ≥ 0
2

1

14)

> 12

1
1
+1
2−
x
x
17) 2
+2
<9

− 9.9

x +4

>0

x

x

3 + 2) + ( 3 − 2) ≤ 2

(

 1 3x  1 x
16)   −  
4
8

+1

 1 x
 1 x
15)   + 3  
 3
3

x +4

−1

− 128 ≥ 0

18) (22x + 1 − 9.2x + 4). x 2 + 2x − 3 ≥ 0

HT 45: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
x

1) 2 <

3)

5)

x
32

+1

2.3x − 2x +2
x

x

3 −2

2)

7)

4x − 2

2x − 1

4) 3

≤1

32−x + 3 − 2x

21−x − 2x + 1

≥0

6)

+2

2x + 4

3x + x − 4
x2 − x − 6

> 13

>0

2

−3x 2 − 5x + 2 + 2x > 3x .2x −3x 2 − 5x + 2 + (2x ) 3x

HT 46: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
1) 4x − m.2x + m + 3 ≤ 0
3)

x +4

≤0

x

2) 9x − m.3x + m + 3 ≤ 0
4) (

x

2 +7 + 2 −2 ≤ m

x2

2 + 1)

+(

x 2 −1

2 − 1)

+m = 0

HT 47: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
1) (3m + 1).12x + (2 − m ).6x + 3x < 0 , ∀x > 0.

2) (m − 1)4x + 2x +1 + m + 1 > 0 , ∀x.

3) m.9x − (2m + 1) 6x + m.4x ≤ 0 , ∀x ∈ [0; 1].

4) m.9x + (m − 1).3x +2 + m − 1 > 0 , ∀x.

5) 4

cos x

+ 2 (2m + 1) 2

cos x

+ 4m 2 − 3 < 0 , ∀x.

6) 4x − 3.2x +1 − m ≥ 0 , ∀x.
3x + 3 + 5 − 3x ≤ m , ∀x.

7) 4x − 2x − m ≥ 0 , ∀x ∈ (0; 1)

8)

9) 2.25x − (2m + 1).10x + (m + 2).4x ≥ 0 , ∀x ≥ 0.

10) 4x −1 − m.(2x + 1) > 0 , ∀x.

HT 48: Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 21

1
 2
+1
 1 x


x
1
  + 3  
> 12
 3 
1)  3 


(m − 2)2 x 2 − 3 (m − 6) x − m − 1 < 0


(1)

(2)

1
 2
+1
 x
x

>8
2
2

2) 
 2
4x − 2mx − (m − 1)2 < 0


(1)
(2)

VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.


a > 1
 f (x ) > g (x ) > 0

loga f (x ) > loga g (x ) ⇔ 
0 < a < 1

0 < f (x ) < g(x )

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:

– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….

Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

loga B > 0 ⇔ (a − 1)(B − 1) > 0 ;

loga A
loga B

> 0 ⇔ (A − 1)(B − 1) > 0

HT 49: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
2) log2 (1 − 2 log9 x ) < 1
1) log5 (1 − 2x ) < 1 + log (x + 1)
5
3) log 1 5 − x < log 1 (3 − x )
3

5) log 1 (log2
3

4) log2 log 1 log5 x > 0
3

3

1 + 2x
)> 0
1+x

7) log 1 log 4 (x 2 − 5) > 0

6) (x 2 − 4 ) log 1 x > 0
2

8) 6

log26 x

+x

log 6 x

≤ 12

3

9) log2 (x + 3) ≥ 1 + log2 (x − 1)
11) log 3 log 1 x  ≥ 0

 2 

2

(log x )
log x
10) 2 2 + x 2

12) 2 log8 (x − 2) + log 1 (x − 3) >
8

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

2
3

Page 22





13) log 1  log5 ( x 2 + 1 + x ) > log 3  log 1 ( x 2 + 1 − x )


3
 5

HT 50: Giải các bất phương trình sau:

1)

2

lg (x 2 − 1)

<1

lg (1 − x )

2)

lg (x 2 − 3x + 2)
3)
>2
lg x + lg 2
3x − 1
5) logx 2
>0
x +1

3

log2 (x + 1) − log3 (x + 1)

x 2 − 3x − 4

4) x

log2 x

+x

5 logx 2−log2 x

>0

− 18 < 0

6) log3 x .log2 x < log 3 x 2 + log2

7) logx (log 4 (2x − 4)) ≤ 1

8) log

9) log x (x 2 − 8x + 16) ≥ 0

10) log2x (x 2 − 5x + 6) < 1

3x −x 2

x
4

(3 − x ) > 1

5


x − 1 
> 0
11) log x +6 log2

x + 2 
3

12) logx −1 (x + 1) > log

x 2 −1

13) (4x 2 − 16x + 7).log3 (x − 3) > 0
HT 51: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log2 x + 2 logx 4 − 3 ≤ 0
3) 2 log5 x − logx 125 < 1

14) (4x − 12.2x + 32).log2 (2x − 1) ≤ 0
2) log5 (1 − 2x ) < 1 + log

5

(x + 1)

4) log2x 64 + log 2 16 ≥ 3
x

5) logx 2.log2x 2.log2 4x > 1
7)

(x + 1)

6)

log4 x
log2 x
2
+
>
1 − log2 x 1 + log2 x
1 − log22 x

9) log21 x − 6 log2 x + 8 ≤ 0

8)

log21
2

x + log 1 x 2 < 0
4

1
2
+
≤1
4 + log2 x 2 − log2 x

10)

log23 x − 4 log3 x + 9 ≥ 2 log3 x − 3

2

11) log9 (3x 2 + 4x + 2) + 1 > log3 (3x 2 + 4x + 2)
13)

1 − 9 log21 x > 1 − 4 log 1 x
8

15)

1+

log23

x

1 + log 3 x

8

12)

1
2
+
<1
5 − log5 x 1 + log5 x

1
14) logx 100 − log100 x > 0
2

16) logx 2.log x 2 >

>1

16

1
log2 x − 6

HT 52: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
1) (x + 1)log20,5x + (2x + 5)log 0,5 x + 6 ≥ 0
2) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) ≤ 2

3)

3

(

)

log2 x + 1

>

(

5+x
4) x 5 − x < 0
2 − 3x + 1
lg

2

)

log 3 x + 1

HT 53: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
1) log1/2 (x 2 − 2x + m ) > −3

1
2) logx 100 − logm 100 > 0
2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 23

3)

1
2
+
<1
5 − logm x 1 + logm x

4)

1 + logm x

>1

6) logx −m (x 2 − 1) > logx −m (x 2 + x − 2)

log2 x + m > log2 x

5)

2
x
1 + logm

HT 54: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
a) log2 (7x 2 + 7 ) ≥ log2 (mx 2 + 4x + m ) , ∀x



b) log2  x 2 − 2x + m  + 4 log2 x 2 − 2x + m ≤ 5 , ∀x ∈[0; 2]



(

)

c) 1 + log5 (x 2 + 1) ≥ log5 (mx 2 + 4x + m ) , ∀x.
d)




m  2
m 
m 
2 − log
1 + log
1 + log


 > 0 , ∀x
x
x


2
2


1
1
1






1
+
m
1
+
m
1
+
m







2
2
2

ÔN TẬP
HT 55: Giải các phương trình sau:
1)

3)

22x −1.4x +1
8

= 64

2) 9 3x −1 = 38x −2

(0, 04)x
=
25

 5 x +1  9 x
4)   . 
 3
 25 

x −1

0,2x +0,5
5

1
5) 7x +2 − .7x +1 − 14.7x −1 + 2.7x = 48
7



7) 2(2

9)

11)

lg x +5
x 3

=

−7,2x +3,9

 5 9
=  
3

− 9 3 ) lg(7 − x ) = 0

x −1
x

8) 5x . 8x −1 = 500

=4
1

3

2

+2x −11

2


x +3 2 x 
) 
1

1
1− lg x 2
x 3

6) (3x

2

10) x lg x = 1000x 2

100

= 105+lg x

12)

log 3 x −1

( x)

=3

HT 56: Giải các phương trình sau:
1) 4x

2

+2

x

− 9.2x

2

+2

x

+8 = 0

2) 4x −

x

1
x
64

3) 64.9 − 84.12 + 27.16 = 0

4)

x 2 −5

−2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

− 12.2x −1−

3+

3
x

x 2 −5

+8 = 0

+ 12 = 0

Page 24

5) 9x

2

−1

− 36.3x

2

−3

6) 34x +8 − 4.32x +5 + 28 = 2 log2 2

+3= 0

7) 32x +1 = 3x +2 + 1 − 6.3x + 32(x +1)
1+ log3 x

9) 9

11) 2sin

2

x

1+ log3 x

−3

2

+ 4.2cos

x

8)

x

(

5 + 24

) +(

x

5 − 24
2

+2

)

− 210 = 0

10) 4lg x +1 − 6lg x − 2.3lg x

=6

12) 3lg(tan x ) − 2.3lg(cot x )+1 = 1

= 10

=0

HT 57: Giải các bất phương trình sau:
6−5x

2x −1 − 1

 2 2 + 5 x
25
1)  
<
5
4

2)

3) x 2 .5x − 52+x < 0

4) x lg

2

4x + 2x − 4
≤2
5)
x −1
x +2

7) 2

x +3

6) 8.

x +4

−2

−2

x +1

>5

x +2

−5

2x +1

5) 4

x +1

3x −2

3x − 2x

 1 log2 (x
8)  
2



+ 5.6

1
x



< 4.9

1
x

x

9)

−1)

>1

2(x −1)

+8

x

3

> 52

9x − 3x +2 > 3x − 9

HT 59: Giải các phương trình sau:
1) log3 (3x − 8) = 2 − x

>1

2) 25−x − 5−x +1 ≥ 50
4) 3lg x +2 < 3lg x

+5

−2

 1 2x + 3
− 21.  
+2 ≥ 0
2 

4 −3 x

 1 2−3x
− 35. 
+6 ≥ 0
3

8) 3

10)

2

2x +1

6) 2

− 16 < 2 log4 8

7) 4 − 2

 2 x
> 1 +  
3

 1 x  1 
12) 3 .  . 
 3  3

2(x −2)

x

2

> 1000

72

HT 58: Giải các bất phương trình sau:
1) 4x − 2.52x − 10x > 0
3) 9.4

x −3 lg x +1

 1 x + 2 −x
1
>
10)  
 3
27

 1  1−x
 1 −3


11)  
>  
5
5

1
x

<2

1 2

x +2

 1  2− x
9)  
>9
3



2x +1 + 1

9x + 3x − 2 ≥ 9 − 3x

2) log5−x (x 2 − 2x + 65) = 2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 25

3) log7 (2x − 1) + log7 (2x − 7) = 1
log3 lg x

5) 3

− lg x + lg2 x − 3 = 0

7) x 1+lg x = 10x
 lg x lg

9) 
 2 

2

4) log3 (1 + log3 (2x − 7)) = 1
6) 9
8)



1
11) log3 log9 x + + 9x  = 2x


2

= 5x 2 − 5

log 5 x −1

( x)

x + lg x 2 −2

= lg x

log3 (1−2x )

10)

lg x +7
x 4

12) 2 log 3

=5

= 10lg x +1

x −3
x −3
+ 1 = log3
x −7
x −1

HT 60: Giải các phương trình sau:

(

2

1) 2 logx 5

)

− 3 logx 5 + 1 = 0

2) log1/3 x − 3 log1/3 x + 2 = 0

3) log22 x + 2 log2 x − 2 = 0

4) 3 + 2 logx +1 3 = 2 log3 (x + 1)

5) logx (9x 2 ).log23 x = 4

2
x − 3 log1/2 x + 5 = 2
6) log3 log1/2

7) lg2 (100x ) − lg2 (10x ) + lg2 x = 6

8) log2 (2x 2 ).log2 (16x ) =

9) log3 (9x + 9) = x + log 3 (28 − 2.3x )

10) log2 (4x + 4) = log2 2x + log2 (2x +1 − 3)

(

)

9
log22 x
2

HT 61: Giải các bất phương trình sau:
2x − 6
>0
2x − 1

1) log0,5 (x 2 − 5x + 6) > −1

2) log7

3c) log 3 x − log 3 x − 3 < 0

4) log1/3

5) log1/4 (2 − x ) > log1/4

7)

x2 − 4
log1/2 (x 2 − 1)

9) 2

2
x +1

<0

log2 −x (x 2 + 8x +15)

2 − 3x
≥ −1
x

6) log1/3  log 4 (x 2 − 5) > 0

8h)

log2 (x + 1)
x −1
log1/3

10) (0,5)

<1

HT 62: Giải các hệ phương trình sau:
 (x −y )2 −1
=1
4
1) 

5x +y = 125


x +y

= 128
 4
2)  3x −2y −3
5
=1


BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

>0

x +5
x 2 +3

>1

2x + 2y = 12
3) 
 x + y = 5


Page 26

3.2x + 2.3x = 2, 75

4) 

2x − 3y = −0, 75


7 x − 16y = 0

5)  x
4 − 49y = 0



3x .2y = 972

6) 
log (x − y ) = 2
3


5y −x
 x
 y
y
= 16
7) 
4 − 3.4

x − 2y = 12 − 8


32x − 2y = 77

8)  x
3 − 2y /2 = 7


( 2
y −x 2
=1
 x + y ) 2
9) 
2

9 (x 2 + y ) = 6x −y


HT 63: Giải các hệ phương trình sau:
log x − log y = 0
1)  2 4 2 2
x − 5y + 4 = 0


log 3 (x − y ) = 2
2) 
log x − log y = 7
x
6
 4

x lg y = 2
3) 
 xy = 20


log x + 2 log y = 3
2
4)  2 2 4
x + y = 16

 1 1
 − = 2
5)  x y
15

log x + log 3 y = 1 + log 3 5
 3

3logx 2 = y log5 y

6)  log 3
2 y = x log7 x


lg(x 2 + y 2 ) − 1 = lg13
7) 
lg(x + y ) − lg(x − y ) = 3 lg 2


 x
 + y = 9
8
8) y 2 x 2

y =3
log x + log
2
 2

2 log x − 3y = 15

10)  y 2
3 .log x = 2 log x + 3y +1
2
2


x y

+
 x y

y x
3 .2 = 576
=
4
32
11) 
12) 

log (y − x ) = 4

=

+
x
y
x
y
log
(
)
1
log
(
)
2

 3
3

xy = 8
9) 
2(logy x + logx y ) = 5

HT 64: Giải các phương trình sau:
1) 4 x −

3)

x2 −5 −12.2 x −1−

x 2 −5

+ 8=0

2) ( x + 1)log23 x − 4 x log3 x − 16 = 0

1
log2 ( x − 1)2 + log 1 ( x + 4) = log2 (3 − x)
2

4) log3 ( x 2 + 2 x + 1) = log2 ( x 2 + 2 x)

2

5) 3 x 2 − 2 x 3 = log2 ( x 2 + 1) − log2 x

6) log5 x.log3 x = log5 x + log3 x

7) log2 (2 x + 1).log2 (2 x +1 + 2) = 6

8) log3

9) 3 +
11)

 89 x 25 
1
= log x 
− 
log32 x
2 x 
 2

x3
3
1
= + log2 x
.log2 x − log 3
x
2
3

10) log20,5 x + log2 x 2 = log x 4 x

3
log 1 ( x + 2)2 − 3 = log 1 (4 − x)3 + log 1 ( x + 6)3
2
4

4

12) log4 ( x + 1)2 + 2 = log

2

4

4 − x + log 8 (4 + x)3

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 27

Đ/s: 1) x =

9
;x = 3
4

2) x =

1
;x = 3
81

4) x = −1 ± 3

5) Đánh giá x = 1

7) log2 3

8) x = 1; x =

3) x = − 11; x = −1 + 14
6) x = 1; x = 15

3
8

9) x =

1
1
; x = ; x = 2 11) x = 2; x = 1 − 33
4
2
HT 65: Giải các bất phương trình sau:

10) x =

5
8

12) x = 2 − 24; x = 2

2

(log x )
log x
2) 2 2 + x 2 ≤ 4

1) 2 log5 x − log x 125 < 1

log 1 ( x + 3)2 − log 1 ( x + 3)2

3) 4 x 2 + x.2 x

2

+1

2

8 + 21+ x − 4 x + 21+ x > 5

5)

7) log4 (3 x − 1)log 1
4

9)

2

+ 3.2 x > x 2 .2 x + 8 x + 12

2

Đ/s:

6)

3x − 1 3

16
4

1
+
log 1 (2 x − 1) log

1
2

x2 − 3 x + 2

 1
1) x ∈ 0;  ∪ 1;5 5
 5 

(

)

4) (−2; −1)

7) (0;1) ∪ (3; +∞)

2

3

>0

x +1
log22 x + 3
log2 x + 3

>2

8) ( x + 1)log 1 x + (2 x + 5).log 1 x + 6 ≥ 0
2

2

>0

(

) (

)

2) x ∈ (0; +∞)

3) x ∈ − 2; −1 ∪

5) (0;2]

 1 1
6)  ; 
 8 2 

8) (0;2] ∪ [4; +∞)


 

1 + 13   3 + 5

;1 ∪ 
; +∞
9) 
  2

 6

HT 66: Giải các hệ phương trình sau:
9log2 ( xy ) = 3 + 2.( xy)log2 3
1)  2
 x + y2 = 3 x + 3y + 6


2 x + log y + 2 x log y = 5

2
2
3)  x
4 + log2 y = 5
2


4)

2; 3

log ( x 2 + y2 ) = 5
2) 
 2
2 log4 x + log2 y = 4
2 x−y

  2 2 x −y


 2  2 − 6 = 0
3. 
+
7.
4)   3 
 3 
  
lg(3 x − y) + lg(y + x) − 4 lg 2 = 0


BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 28


log2 x + 3 3 − log3 y = 5
5) 
3 log x − 1 − log y = −1
2
3


 5 ∓ 17 5 ± 17 


;
Đ/s: 1) 


2
2

4) (2;2)

 x + y
 y x
= 32
6) 4

log 3 ( x − y) = 1 − log3 ( x + y)

2) (4; 4)

3) (2; 4);(4;2)

5) (4; 81)

6) (2;1)

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 29

TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM
HT 67: (D – 2011) log2 (8 − x 2 ) + log 1

(

)

1 + x + 1 − x − 2 = 0 (x ∈ ℝ) Đ/s: x = 0

2

log (3y − 1) = x


−1; 1 
HT 68: (B – 2010)  x 2 x
Đ
/s:
x
y

(
,

)

2
2 

4 + 2 = 3y
 2
x − 4x + y + 2 = 0
HT 69: (D – 2010) 
(x , y ∈ ℝ) Đ/s: (3;1)
2 log2 (x − 2) − log y = 0
2

log (x 2 + y 2 ) = 1 + log (xy )
2
2
HT 70: (A – 2009)  x 2 −xy +y 2
(x , y ∈ ℝ) Đ/s: (2;2),(−2; −2)
3
= 81

x = 2

2
2
HT 71: (A – 2008) log2x −1(2x + x − 1) + logx +1(2x − 1) = 4 Đ/s: 
x = 5
4



x 2 + x 
HT 72: (B – 2008) log 0,7 log6
 < 0 Đ/s: (−4; −3) ∪ (8; +∞)

x + 4 

HT 73: (D – 2008) log 1
2

x 2 − 3x + 2
≥ 0 Đ/s:
x



2 − 2;1 ∪ (2;2 + 2)
3
4

HT 74: (A – 2007) 2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2 Đ/s:
3

HT 75: (B – 2007)

(

x

) (

2 −1 +

x

)

2 + 1 − 2 2 = 0 Đ/s: x = ±1

HT 76: (D – 2007) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2

1
4.2x − 3

= 0 Đ/s: x = log2 3

HT 77: (A – 2006) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0 Đ/s: x = 1
HT 78: (B – 2006) log5 (4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5 (2x −2 + 1) Đ/s: 2 < x < 4
HT 79: (D – 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ có nghiệm duy nhất:
e x − e y = ln(1 + x ) − ln(1 + y )


y − x = a


log (y − x ) − log 1 = 1
1
4
y
HT 80: (A – 2004) 
Đ/s: (3;4)
 4
 2
2
x + y = 25
x = − 1
x 2 −x
2 +x −x 2
HT 81: (D – 2003) 2
−2
= 3 Đ/s: 
x = 2
HT 82: (A – 2002) Cho phương trình log23 x + log23 x + 1 − 2m − 1 = 0 (Với m là tham số)
a. Giải phương trình với m = 2 Đ/s: x = 3±

3

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 30



b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3  Đ/s: 0 ≤ m ≤ 2



(

)

HT 83: (B – 2002) logx log3 (9x − 72) ≤ 1 Đ/s: log9 73 < x ≤ 2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 31