Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Chuyên đề Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân toán 11

91584cf97d13a3cfe3f088ee68994d0e
Gửi bởi: hoangkyanh0109 vào 08:41 AM ngày 29-06-2017 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 3665 | Lượt Download: 113 | File size: 0 Mb

Nội dung tài liệu Tải xuống


Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LH: 0946798489 TOÁN 11NGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƢƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Chuong 3. DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho là một số nguyên dương và là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên Nếu (1) là đúng và (2) Nếu đúng, thì cũng đúng với mọi số tự nhiên thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên Khi ta bắt gặp bài toán: Chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau Bước 1: Kiểm tra có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai Bước 2: Với giả sử đúng ta cần chứng minh cũng đúng. Kết luận: đúng với Lƣu ý: Bước gọi là bước quy nạp, mệnh đề đúng gọi là giả thiết quy nạp. Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức Phƣơng pháp Phƣơng pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức (hoặc đúng với ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính rồi chứng minh Bước 2: Giả sử ta cần chứng minh Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên ta luôn có: Lời giải: Đặt tổng số tự nhiên đầu tiên Ta cần chứng minh 0n ()Pn 0nn 0()Pn ()Pk 1)Pk 0kn 0nn ()Pn 0,nn 0n 0()Pn 0kn ()Pk 1)Pk ()Pn 0nn ()Pk )P n )P n 00, n 00( ), )P 00( )P n 0( ); ,P n 1) 1)P k 1n 1)1 ...2nnn ...P n 1)()2nnQn 1P n NGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƢƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Bước 1: Với ta có đúng với Bước 2: Giả sử với tức là: (1) Ta cần chứng minh tức là: (2) Thật vậy: (Do đẳng thức (1)) Vậy đẳng thức cho đúng với mọi Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên ta luôn có: Lời giải: Với ta có Suy ra đẳng thức cho đúng với Giả sử đẳng thức cho đúng với với tức là: (1) Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với tức là: (2) Thật vậy: (Do đẳng thức (1)) Vậy đẳng thức cho đúng với mọi Ví dụ 3. Chứng minh rằng với ta có bất đẳng thức: Lời giải: 1n 1(1 1)(1) 1, (1) 12PQ (1) (1) (1)PQ 1n )P k ,1kk 1)1 ...2kkk 1) 1)P k 1)( 2)1 ... 1)2kkkk (2) (1 ... 1)VT k 1)( 1)2kkk 1)( 2)( 1)( 1) (2)22k kk VP 1n 1n 21 ... 1nn 1n 2VT 1, VP 1 VT VP 1n nk ,1kk 21 ... 1kk 1nk 21 ... (2 1) (2 1) 1k k (2) (1 ... 1) (2 1)VT k 2(2 1)kk 2( 1) (1.2)k VP 1n 1n 1.3.5... 112.4.6.221nnnNGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƢƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Với ta có đẳng thức cho trở thành đúng. đẳng thức cho đúng với Giả sử đẳng thức cho đúng với tức là (1) Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với tức là (2) Thật vậy, ta có Ta chứng minh: (luôn đúng) Vậy đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên Ví dụ 4. Chứng minh rằng với ta có bất đẳng thức: Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải: Với ta cần chứng minh: Tức là: (đúng) Đẳng thức xảy ra khi Giả sử ta chứng minh (*) Thật vậy, ta có: Nên để chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh Hay (**) 1n 112323 1n 1nk 1.3.5... 112.4.6...221kkk 1nk 1.3.5... 112.4.6....2 223kkkkk 1.3.5...(2 1) 1(2) .2.4.6...2 221k kVTk kk    22 1(2 1)(2 3) (2 2)2223kk kkk  31 1n 1, 0nx 211( 1) 121nnnnx xx  1n 3224( 1) 18 1) 1)12x xx xx   44 1) 0x x 1x 211( 1) 121kkkkx xx  23121( 1) 121kkkkx xx  211 1)2 21kkkkkx xx   21 211 1) 1)211k kkkx xxx   21 21( 1) 1)( 1)2k kxx x  NGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƢƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Khai triển (**) biến đổi và rút gọn ta thu được BĐT này hiển nhiên đúng. Đẳng thức có Vậy bài toán được chứng minh. Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên ta có thể chứng minh theo cách sau Bƣớc 1: Ta chứng minh đúng với và Bƣớc 2: Giả sử đúng với ta chứng minh đúng với Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si). CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta luôn có 1. 2. Lời giải: 1. Bước 1: Với ta có: đẳng thức cho đúng với Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với tức là: (1) Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với tức là cần chứng minh: (2). Thật vây: đúng đẳng thức cho đúng với mọi 2. Với ta có đẳng thức cho đúng với 2( 1) 1) 1) 0kkx x 2( 1) 1) 0kxx 1x ()Pn ()Pn 1n 2kn ()Pn 1nk ()Pn nk 1n 2( 1)(2 1)1 ... 1)6n nnn 21 3...343 4.3nnnn 1n 21(1 1)(2.1 1)1 1, 16VT VP VT VP 1n 1nk 2( 1)(2 1)1 ... 1)6k kkk 1nk 2( 1)( 1)(2 3)1 ... 1) 1)6k kk k  2(2) ... 1)VT k  do (1)2( 1)(2 1)( 1)6k kk 222 1)(2 6)( 1) 166k kkk   1)( 2)(2 3)(2)6k kVP  (2) 1n 1n 1VT VP 1nNGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƢƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Giả sử đẳng thức cho đúng với tức là: (1) Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với tức là cần chứng minh (2). Thật vậy: đúng đẳng thức cho đúng. Bài Chứng minh các đẳng thức sau 1. với 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Với mọi 9. với 10. Với mọi 1nk 21 3...343 4.3kkkk 1nk 11 5...343 4.3k kk k 113 5(2) (2)444.3 4.3k kk kVT VP  (2) 121.2 2.3 ... 1)3n nnn 1n 1 1...1.5 5.9 9.13 14 1nnnn  3 3211 ...2nnn  24 21 ... 11 25 221nnn     1...1.2 2.3 1) 1nn n  22 2( 1)(3 2)1.2 2.3 3.4 ... 1). 212n nn n 22 1)(2 1)2 ... (2 )3n nn 1)( 2)( 3)1.2.3 2.3.4 ... 1)( 2)4n nn n  *n 22 2( 1)(3 2)1.2 2.3 3.4 ... 1).12n nnn 2n 3)...1.2.3 2.3.4 1)( 2) 4( 1)( 2)nnn n  *nNGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƢƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM Lời giải: 1. 2. 3. 4. 5,6,7. Bạn đọc tự làm 8. 9. 10. Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có: (n dấu căn) 1.2 2.3 ... 1) 1)( 2)k k 1)( 2)( 1)( 2)3k kkk 1)( 2)( 3)3k k  1 1...1.5 5.9 9.13 (4 1)(4 5)4 1kkkk  114 (4 1)(4 5) 5kkk k  223( 1) 1)( 2)( 1)33k kk    224 (2 3)(2 1)(1 311 (2 1)(2 1) (2 1) (1 )k kkkk k     1)( 2)( 3)( 1)( 2)( 3)4k kk k  1)( 2)( 3)( 4)4k k  22( 1)(3 2) 1)(3 2)( 1) 1) 112 12k kk k   2( 1)(3 10) 1) 2)(3 5)12 12k k  3) 14( 1)( 2) 1)( 2)( 3)kkk k 22( 3) 1) 4)4( 1)( 2)( 3) 4( 1)( 2)( 3)k kk k  1)( 4)4( 2)( 3)kkkk 1n 12 ... cos2n NGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƢƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 2. Chứng minh các đẳng thức với với Lời giải: 1. Với đẳng thức cho đúng với Giả sử đẳng thức cho đúng với tức là: (k dấu căn) (1) Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với tức là: dấu căn) (2). Thật vậy: (Ở trên ta đã sử đụng công thức ). đúng đẳng thức cho đúng. 2. Với ta có nên đẳng thức cho đúng với Giả sử đẳng thức cho đúng với tức là: (1) Ta chứng minh (4) đúng với tức là 1)sin sin22sin sin ... sinsin2nx xx nxx 2xk 1n cos 24n VT VP VT VP 1n nk 12 ... cos2k 1nk 22 ... cos2k 1k dau can(2) ... cos2kkVT 21 22(1 cos cos cos (2)2 2k kVP   21 cos cos2aa (2) 1n sin sin2sin sinsin2xxVT VP xx 1n 1nk 1)sin sin22sin sin ... sinsin2kx xx kxx 1nkNGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƢƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM (2) Thật vậy: Nên (2) đúng. Suy ra đẳng thức cho đúng với mọi Bài Chứng minh rằng với mọi ta có bất đẳng thức: Lời giải: Với ta có: nên đẳng thức cho đúng. Giả sử đẳng thức cho đúng với tức là (1) Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với ,tức là (2) Thật vậy: Vậy đẳng thức cho đúng với nên đẳng thức cho cũng đúng với mọi số nguyên dương Bài 1) 2)sin sin22sin sin ... sin( 1)sin2k xx xx 1)sin sin22(2) sin( 1)sin2kx xVT xx 1)sin cos sin( 1)2 2sin2sin2kx xkxx  1) 2)sin sin22(2)sin2k xVPx 1n 1n sin sinnx x x 1n sin 1. 1. sinVT VP 1nk sin sinkx x 1nk sin( 1) sinkk sin sin cos cos sink k sin cos cos sin sin sink k sin sin sinkk 1nk nNGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƢƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có 2. với mọi số tự nhiên 3. với mọi số tự nhiên Lời giải: 1. Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp theo Sau đó cho ta có (7). Với đúng với Giải sử (1) đúng với tức là: (2). Ta chứng minh (1) đúng với tức là (3). Thật vậy: đúng đpcm. Cách khác: Khi (đúng) dễ thấy khi tiến dần về tiến gần về .Vậy ta luôn có 2. Với ta có: nên đẳng thức cho đúng với Giả sử đẳng thức cho đúng với tức là: (1) Ta chứng minh đẳng thức cho đúng với tức là (2) 1n 113nn 1nn 2n 2.4.6.2211.3.5... 1nnn 1n 2211 1knnknnkk  kn 21 11 (1) (1)k VT VPnnn (1) 1k 1k n 22111pppnnn  1kp 122( 1) 1111pppnnn  1221 11 1ppppn nn     23 21111p pnnn n  22222 1) 111p pnnnn  (3) 3n 11nn 101nn 1n 113nn 2n 23 3.2 7VT VP 1n 2nk 1kk 1nk 13 3( 1) 4kkk
66653231376366376664393435393963666464353433376133306237323834633936616131326330356661343232306362666636616561343036666164653961