Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Chủ đề: Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương vào ngày 2020-03-13 04:09:02

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a và vuông góc với (ABCD). Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn:

Gọi O là trung điểm của SC

Xét các vuông tại A ∆SAC; ∆SAD; ∆SAB có:

Ta có:

⇒ ∆SBC; ∆SCD vuông tại C

Hình chóp S.ABCD có:

Thể tích khối cầu là:

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với (ABC), ∆ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Hướng dẫn:

Xét các vuông tại A ∆BAC; ∆DAB; ∆DAC có:

AC2 = BC2 + AB2 = 16a2 + 9a2 = 25a2

DB2 = DA2 + AB2 = 25a2 + 9a2 = 34a2

DC2 = DA2 + AC2 = 25a2 + 25a2 = 50a2

Xét ∆DBC có:

DB2 + BC2 = 34a2 + 16a2 = 50a2 = DC2

⇒ ∆DBC vuông tại B

Gọi O là trung điểm của CD

∆DAC vuông tại A có AO là trung tuyến

⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1)

∆DBC vuông tại B có BO là trung tuyến

⇒ OB = OC = OD = CD/2 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30º. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hướng dẫn:

Gọi O là tâm đáy ABCD

Hình chóp S.ABCD đều nên SO ⊥ (ABCD)

OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD)

⇒ Góc giữa cạnh bên SA và đáy là góc ∠(SAO)=30º

Gọi M là trung điểm của SA. Trung trực của SA cắt SO tại I

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

ABCD là hình vuông cạnh a, O là tâm

Ta có: ∆SMI ~ ∆SOA (g.g)

Xét ∆SOA vuông tại O, ∠(SAO) = 30º có:

Thể tích mặt cầu là:

Bài 4: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều có cạnh đáy bằng 2√3, cạnh bên bằng √5. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức giải nhanh:

Công thức tính nhanh: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Thể tích khối cầu ngoại tiếp:

Chứng minh:

Gọi O, O’ là tâm của ∆ABC và ∆A' B' C' là OO’ là trục của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và ∆A' B' C'.

Gọi I là trung điểm của OO’ thì IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ. Bán kính mặt cầu là R = IA.

∆AOI vuông có:

Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ:

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 2√3. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức giải nhanh:

Trong đó, a = 2; b=2√3 ta được:

Công thức tính nhanh: Cho hính chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Thể tích khối cầu ngoại tiếp:

Chứng minh:

Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC đều cạnh a.

Mặt phẳng trung trực của SA cắt SA tại I và cắt SO tại K

Khi đó SK = KB = KC hay K là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Tam giác SOA vuông tại O

Lượt xem: 196

Các bài học liên quan