Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Chủ đề 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương vào ngày 2020-03-18 09:20:18

Mục lục
* * * * *

1. Phương pháp giải.

Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [α; β] tại điểm x = α hoặc x = β hoặc x = -b/(2a). Cụ thể:

TH 1: a > 0

TH 2: a < 0:

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 + 2(m + 3)x + m2 - 3 = 0, m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 và P = 5(x1 + x2 ) - 2x1x2 đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn:

Ta có Δ' = (m + 3)2 - (m2 - 3) = 6m + 12

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ 6m + 12 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2

Theo định lý Viét ta có:

P = 5(x1 + x2) - 2x1x2 = -10(m + 3) - 2(m2 - 3) = -2m2 - 10m - 24.

Xét hàm số f(m) = -2m2 - 10m - 24 với m ∈ [-2; +∞)

Bảng biến thiên

Suy ra

khi và chỉ khi m = -2

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Hướng dẫn:

Khi đó hàm số trở thành y = t2 - 3t + 1 với t ≥ 1

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = t2 - 3t + 1 là (-5)/4 khi và chỉ khi t = 3/2 hay

Ví dụ 3: Cho các số thực a, b thoả mãn ab ≠ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn:

Ta có P = t2 - 2 - t + 1 = t2 - t - 1

Xét hàm số f(t) = t2 - t - 1 với t ∈ (-∞;-2] ∪ [2; +∞)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Lượt xem: 361