Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Câu 1 - Bài tập (SGK trang 145)

Lý thuyết

Câu hỏi

Cho hàm số :

                          \(f\left(x\right)=ax^2-2\left(a+1\right)x+a+2\)             \(\left(a\ne0\right)\)

a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó ?

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

f(x) = ax2 – 2(a + 1)x + a + 2 = (x – 1)(ax – a- 2) nên phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm thực là:

x = 1, x=a+2ax=a+2a

Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:

S=2a+2a,P=a+2aS=2a+2a,P=a+2a

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số S=2a+2a=2+2aS=2a+2a=2+2a

- Tập xác định : (-∞, 0)∪ (0, +∞)

- Sự biến thiên: S′=−2a2<0,∀a∈(−∞,0)∪(0,+∞)S′=−2a2<0,∀a∈(−∞,0)∪(0,+∞) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng (-∞, 0) và (0, +∞)

- Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

lima→+∞S=lima→+∞(2+2a)=2lima→−∞S=lima→−∞(2+2a)=2lima→+∞⁡S=lima→+∞⁡(2+2a)=2lima→−∞⁡S=lima→−∞⁡(2+2a)=2

Vậy S = 2 là tiệm cận ngang

- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

lima→0+S=lima→0+(2+2a)=+∞lima→0−S=lima→0−(2+2a)=−∞lima→0+⁡S=lima→0+⁡(2+2a)=+∞lima→0−⁡S=lima→0−⁡(2+2a)=−∞

Vậy a = 0 là tiệm cận đứng.

- Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại a = -1

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số P=a+2a=1+2aP=a+2a=1+2a

Tập xác định: D = R\{0}

S′=−2a2<0,∀a∈DS′=−2a2<0,∀a∈D

lima→0−S=−∞lima→0−⁡S=−∞⇒ Tiệm cận đứng: a = 0

lima→±∞S=1lima→±∞⁡S=1⇒ Tiệm cận ngang: S = 1

Đồ thị hàm số:

Ngoài ra: đồ thị hàm số P=a+2a=1+2aP=a+2a=1+2a có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị S=2a+2a=2+2aS=2a+2a=2+2a dọc theo trục tung xuống phía dưới 1 đơn vị.



Các câu hỏi cùng bài học