Các dạng toán giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục - Nguyễn Bảo Vương

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

TOÁN 11
GIỚI HẠN DÃY SỐ

1D4-1

PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC ...................................................................................................................... 2
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ................................................................................................................. 2
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................... 4
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu ................................................................................................................ 8
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ....................................................................................................................................... 9
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC......................................................................................................................... 9
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 11
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 13
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 13
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 16
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 16
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC .................................................................................................................... 17
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ............................................................................................................... 17
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................. 20
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu .............................................................................................................. 25
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ..................................................................................................................................... 26
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC....................................................................................................................... 26
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 31
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 33
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 34

PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1.

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.
A. Nếu lim un   và limv n  a  0 thì lim  un vn    .
u 
B. Nếu lim un  a  0 và limv n   thì lim  n   0 .
 vn 

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

1

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

u
C. Nếu lim un  a  0 và limv n  0 thì lim  n
 vn


   .


u
D. Nếu lim un  a  0 và limv n  0 và vn  0 với mọi n thì lim  n
 vn

Câu 2.

Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn P  2,13131313... ,
A. P 

Câu 3.


   .


212
99

B. P 

213
.
100

C. P 

211
.
100

D. P 

211
.
99

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Ta nói dãy số  un  có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n   , nếu lim  un  a   0 .
n 

B. Ta nói dãy số  un  có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương
tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
C. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể
từ một số hạng nào đó trở đi.
D. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể
từ một số hạng nào đó trở đi.
Câu 4.

Cho các dãy số  un  ,  vn  và lim un  a, lim vn   thì lim
A. 1.

Câu 5.

B. 0 .

un
bằng
vn

C.  .

D.  .

Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?
(I) lim n k   với k nguyên dương.
(II) lim q n   nếu q  1 .
(III) lim q n   nếu q  1
B. 1 .

A. 0 .
Câu 6.

Câu 7.

C. 3 .

1
với mọi n   * . Khi đó
n3
A. lim un không tồn tại. B. lim un  1 .
C. lim un  0 .

D. 2 .

Cho dãy số  un  thỏa un  2 

D. lim un  2 .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai?
A. lim un  c ( un  c là hằng số ).
C. lim

1
 0.
n

D. lim

B. lim q n  0  q  1 .

1
 0  k  1 .
nk

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

2

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 8.

1
.
7

1
.
2

1
.
5

1
bằng
2n  7
1
C. .
2

1
.
5

D. 0 .

1
bằng
2n  5

B. 0 .

B. 0 .

D.

C.  .

D.

1
bằng
5n  2
1
C. .
2

1
.
5

D.  .

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I  lim
A.

Câu 14.

 .

C.  .

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) lim
A.

Câu 13.

B.

D. L  2.

1
bằng
5n  3

1
.
3

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) lim
A.

Câu 12.

B.

(Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) lim
A.

Câu 11.

B. L  0.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) lim
A. 0 .

Câu 10.

n 1
.
n3  3
C. L  3.

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính L  lim
A. L  1.

Câu 9.

ĐT:0946798489

7
.
3

2
B.  .
3

7 n 2  2n 3  1
.
3n3  2n 2  1

D. 1 .

C. 0 .
2n 2  3
bằng:
n 6  5n 5
3
C.
.
5

(HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim
A. 2 .

B. 0 .

2018
n bằng
Câu 15.
A.  .

B. 0 .

D. 3 .

lim

Câu 16.

D.  .

C. 1 .

2n  1
?
2  n  n2
D. L  0 .

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L  lim
A. L   .

B. L  2 .

C. L  1 .

Câu 17.

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
1  2n
n2  2
n 2  2n
1  2n 2
u

A. un 
.
B.
u

.
C.
.
D.
u

.
n
n
n
5n  3n2
5n  3n 2
5n  3n 2
5n  3n 2

Câu 18.

(THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I  lim
A. I   .

B. I  0 .

C. I   .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

2n  3
2n  3n  1
D. I  1 .
2

3

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 19. Tìm lim un biết un 
A.

Câu 20.

Câu 21.

3
.
4

ĐT:0946798489

1
1
1
 2
 ...  2
.
2 1 3 1
n 1
3
2
B. .
C.
5
3
2

D.

4
.
3

 1
1
1
1 

 ... 
(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim  
.
1.2
2.3
3.4
n
n

1




3
A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. .
2
(THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN
1
1
1

L  lim  
 ... 

1  2  ...  n 
1 1 2
5
A. L  .
B. L   .
2

Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt Sn 

CHÁNH

-

PHÚ

YÊN

-

2018)

Tìm

3
D. L  .
2

C. L  2 .

1
1
1

 ... 
. Khi đó
1 2 2 1 2 3 3 2
n n  1   n  1 n

lim Sn bằng
1
2 1

A.

Câu 23.

B.

1
.
2 1

1
.
3

C. .

B. 2 .

C. 1 .

1
B.  .
3

B. I  1 .

2n
bằng
n 1

D. 0 .

C. 2 .

(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I  lim

2
A. I   .
3
Câu 27.

cos n  sin n
.
n2  1
D. .

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của lim
A.

Câu 26.

1
.
22

(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của lim
A. 1 .

Câu 25.

D.

(THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của lim
A. 1.
B. 0.
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu

Câu 24.

C. 1 .

n2
bằng:
3n  1
D. 1 .

3n  2
.
n3

C. I  3 .

D. k   .

(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn lim
A.

2
.
3

B.

1
.
3

C. 1 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

1  2n
bằng?
3n  1

2
D.  .
3

4

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 28.

ĐT:0946798489

2n  2017
.
3n  2018
2017
C. I 
.
2018

(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn I  lim
A. I 

2
.
3

B. I 

3
.
2
lim

Câu 29.

Câu 30.

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019)
19
1
A.
.
B.
.
18
18

1  19n
18n  19 bằng

C.  .

D.

1
.
19

(THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
1
n 1
1
sin n
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
n
n
n
n

1  n2
Câu 31. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim 2
bằng
2n  1
1
1
B. .
C. .
A. 0 .
2
3
Câu 32.

D. I  1 .

(SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim
A.

1
.
2

B. 4 .

D. 

1
.
2

4n  2018
.
2n  1

C. 2 .

D. 2018 .

8n5  2n3  1
Câu 33. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm lim 5
.
4n  2 n 2  1
B. 8 .
C. 1 .
D. 4 .
A. 2 .
Câu 34.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính lim
B. 0 .

A. 2 .

Câu 35.

(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) lim
A.

2
.
11

B.

1
.
2

C.

2n  1
được kết quả là
1 n

1
.
2

D. 1.

2n 4  2 n  2
bằng
4n 4  2n  5
C.  .

D. 0 .

2n 2  3
Câu 36. (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của lim
bằng
1  2n 2
A.  3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .

n2  n
A  lim
12n 2  1 bằng
Câu 37. Giá trị
1
A.
.
B. 0 .
12
lim

Câu 38. Tính

C.

1
.
6

D.

1
.
24

5n  3
2n  1 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

5

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. 1.

ĐT:0946798489

B.  .

C. 2 .

D.

5
.
2

1
.
4

D.

1
.
2

D.

1
.
2

n 3  4n  5
lim 3
3n  n2  7 bằng
Câu 39.
A. 1 .

B.

1
.
3

C.

n 2  3n3
Câu 40. Tính giới hạn lim 3
.
2n  5n  2
1
A. .
B. 0 .
5

3
C.  .
2

Câu 41. Giới hạn của dãy số  un  với un 
A. 2 .

B.

Câu 42. Tính giới hạn I  lim
A. I  

10
.
3

2n  1
, n  * là:
3 n

2
.
3

C. 1 .

10n  3
ta được kết quả:
3n  15
10
3
B. I  .
C. I  .
3
10

2n  1
n  1 bằng
Câu 43.
A. 1 .

1
D.  .
3

2
D. I   .
5

lim

lim
Câu 44.

B. 2 .

C. 2 .

B. 0 .

C.

1
.
2

1
D.  .
2

1
B.  .
2

C. 4 .

1
D.  .
4

D.  .

3n2  1
n 2  2 bằng:

A. 3 .
lim
Câu 45. Tính

8n 2  3n  1
4  5n  2 n 2 .

A. 2 .

Câu 46. Cho hai dãy số  un  và  vn  có un 
A. 0 .

B. 3 .

C.

8n5  2n3  1
lim 2
2n  4n5  2019 bằng
Câu 47. Giới hạn
A. 2 .
B. 4 .
Câu 48. Giá trị của B  lim

4n 2  3n  1

 3n  1

2

u
1
3
; vn 
. Tính lim n .
vn
n 1
n3

1
.
3

C.  .

D.  .

D. 0 .

bằng:

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

6

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A.

Câu 49.

4
.
9

ĐT:0946798489

B.

4
.
3

D. 4

C. 0 .

(THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L  lim
A.

1
.
2018

C.  .

B. 3 .

n3  n 2  1

2018  3n3
1
D.  .
3

Câu 50.

(Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa
 3n  2

 a 2  4a   0 . Tổng các phần tử của S bằng
mãn lim 
 n2

A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 2 .

Câu 51.

(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a   sao cho giới hạn lim
.Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
1
A. 0  a  2 .
B. 0  a  .
2

Câu 52.

 3n  1 3  n 
Dãy số  un  với un 
3
 4n  5 
A. 192

an 2  a 2 n  1

 n  1

2

C. 1  a  0 .

D. 1  a  3 .

có giới hạn bằng phân số tối giản

a
. Tính a.b
b

2

B. 68

C. 32

 a2  a  1

D. 128

2n3  n 2  4 1
 với a là tham số. Khi đó a  a 2 bằng
3
an  2
2
A. 12 .
B. 2 .
C. 0 .

Câu 53. Biết lim

Câu 54. Cho dãy số  un  với un 

D. 6 .

1  2  3  ...  n
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
n2  1

A. lim un  0 .

1
.
2
C. Dãy số  un  không có giới hạn khi n   .
B. lim un 

D. lim un  1 .
Câu 55.

(THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim
trị bằng?
2
A. .
3

B.

1
.
6

1  3  5  ...  2n  1
3n 2  4
Câu 56.
bằng
2
A. .
B. 0 .
3

C. 0 .

12  22  32  42  ...  n 2
có giá
n3  2n  7
D.

1
.
3

lim

C.

1
.
3

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

D.  .

7

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 57.

ĐT:0946798489

n
1 2 3
Lim  2  2  2  ...  2 
n  bằng
n n n
B. 0 .

A. 1.

C.

Câu 58. Cho dãy số  un  xác định bởi: un 
B.  .

A. 0`.
Câu 59.

Câu 60.

Câu 61.

D.

1
.
2

1
3
2n  1
 2  2 với n   * Giá trị của lim un bằng:
2
n
n
n
C.  .
D. 1

n 
 1 2
(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim  2  2  ...  2  .
n 
n n
1
1
B. .
C. .
D. 0 .
A.  .
n
2
(THPT
Yên
Lạc-Vĩnh
Phúc-lần
1 
1 

1 
lim 1  2 1  2  ... 1  2   .
 2  3   n  
1
A. 1 .
B. .
2

1-năm

C.

2017-2018)

1
.
4

D.

Tính

giới

A.

u 
n

với

1
1
1

 ... 
. Tính lim un .
1.3 3.5
2n 1.2n 1

1
.
2

B. 0.

2019
2018
Câu 62. Tính lim(2n  3n  4) ?
B.  .
A.  .
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu

4

lim  2  3n   n  1

L  lim
A. L   .

B. L  0 .

Câu 66. Giới hạn

D. 2019 .

C. 81

D. 2

1
C. L  .
3

D. L   .

C. 1 .

D.  .

2  3n  2n3
3n  2

B.  .

lim

C. 2 .

n3  2n
3n2  n  2

Câu 65. Tính giới hạn của dãy số un 

2
.
3

D.

là:
B. 

Câu 64. Tính giới hạn

1
.
4

C. 1.

3

A. 

A.

hạn:

3
.
2

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số

un 

Câu 63.

1
.
3

1  5  ...   4n  3
2n  1

bằng

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

8

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. 1.

ĐT:0946798489

B.  .

C.

2
.
2

D. 0 .

Dạng 1.4 Phân thức chứa căn

Câu 67.

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim

3
.
2

A.

Câu 68.

B. 2.

C. 1.

D.  .

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho I  lim

5
B. I  .
3

A. I  1 .
Câu 69.

4n 2  1  n  2
bằng
2n  3

(CỤM

5

TRƯỜNG

2

CHUYÊN

4n 2  5  n
4n  n 2  1

3
D. I  .
4

C. I  1 .
-

ĐBSH

-

C.

1
.
3

LẦN

. Khi đó giá trị của I là:

1

-

2018)

Tính

giới

hạn

2

4x  x 1  x  x  3
3x  2
1
2
A.  .
B. .
3
3
lim

x 

Câu 70. Tìm lim un biết un 
A.

Câu 71.

1
.
2

n 1  3  5  ...   2n  1
2n 2  1

B.  .

C. 1.

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính lim
A.

1
.
6

2
D.  .
3

B.

1
2 6

.

C.

1
.
2

D.  .

12  22  33  ...  n 2
2n  n  7  6n  5 
D.  .

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC

lim

Câu 72.



n 2  3n  1  n

A. 3 .

 bằng
C. 0 .

B.  .

D. 

3
.
2

Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1?
3n 1  2n
3n 2  n
A. lim
.
B.
.
lim
5  3n
4n 2  5
2n 3  3
C. lim n 2  2n  n 2  1 .
D. lim
.
1  2n 2



Câu 74. Giới hạn



lim n



n4  n3

 bằng

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

9

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. 0 .

ĐT:0946798489

B.  .

C.

7
.
2

D.

1
.
2





Câu 75. Tính giới hạn lim n  n 2  4n .
B. 1 .

A. 3 .

C. 2 .

Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để lim

Câu 78.



n 2  4n  7  a  n  0 ?

B. 1.

A. 3 .
Câu 77.



D. 4 .

C. 2.

D. 0 .

(LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính I  lim  n

3
A. I   .
B. I  .
C. I  1, 499 .
2
(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính lim n

L  lim
Câu 79. Tính giới hạn



L  lim
Câu 80. Tính giới hạn



Câu 81. Tính giới hạn L  lim



L  lim
Câu 82. Tính giới hạn

L  lim

D.

9
.
4

C.  .

D.

9
.
4

C.  .

D.

1
.
4

C.

53
.
2

D.

9
.
4

C.

53
.
2

D.



n 2  3n  5  n  25
B. 7 .

A.  .

A.  .



C.  .

.

4 n 2  n  4 n 2  2 . ĐS:
B. 7 .

A.  .

2n  1  n  3
4n  5



3

1
.
4

.

.

B. 7 .

Câu 84. Tính giới hạn sau L  lim



4n 2  3  3 8n3  n .

.

B. 7 .

A.  .

Câu 83. Tính giới hạn

4n2  n  1  9n

D. I  0 .

2
.
3

9n 2  2n  1  4n 2  1
B. 1 .

A.  .



n2  2  n2  1  .


D.

C.  .

B. 1 .

A.  .





2 1
.
2



n  4  3 n 1 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong

10