Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Các bài toán Bất đẳng thức - Cực trị trong đề chuyên Toán năm 2020 - 2021

70cb5a7a27890fda0df0f15298a78416
Gửi bởi: Khoa CNTT - HCEM vào ngày 2021-01-11 04:42:46 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 49 | Lượt Download: 0 | File size: 1.665248 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

t
e
n
.
n
a
o
t
ht uvien
CÁC BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ
TRONG ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN

NĂM 2020 -2021

PHẦN 1. ĐỀ BÀI
Bài 1.
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P  3xy  yz 2  zx 2  x 2 y.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quãng Nam năm 2020 – 2021
Bài 2.
Cho ba số thực x, y, z dương thỏa mãn xy  yz  zx  2 xyz  1. Chứng minh rằng:

x2 y
y2 z
z2 x


 2 xyz.
x 1 y 1 z  1
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Dương năm 2020 – 2021
Bài 3.
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  1. Chứng minh rằng:
1
a 3  b3  c 3   a 4  b 4  c 4 .
8
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021
Bài 4.
Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:

a 2  b2  b 2  c 2  c 2  a 2  2021.

a2
b2
c2
1 2012



.
b c c  a a b 2
2
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Ninh Bình năm 2020 – 2021

Bài 5.

 x  y

2

Cho x, y là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 

x2  y2

 x  y

2



xy

.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Định năm 2020 – 2021
Bài 6.
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện (a  b)3  4ab  12 . Chứng minh rằng:
1
1

 2020ab  2021.
1 a 1 b
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hưng Yên năm 2020 – 2021

https://thuvientoan.net/

Bài 7.
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x 2 z 2  y 2 z 2 1  3z.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

1

 x 1

2



8

 y  3

2



4z2

1  2 z 

2

.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 – 2021
Bài 8.
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3. Chứng minh rằng:
 x y
x2  y 2
y2  z2
z 2  x2


 3  2 

 xy
xy  x  y 
yz  y  z 
zx  z  x 

yz
z  x 
.

yz
zx 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Đà Nẵng năm 2020 – 2021
Bài 9.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

a b
bc
ca


.
c  ab
a  bc
b  ca

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021
Bài 10.
a) Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn 11 

m
m 3
 0. Chứng minh rằng: 11  
n
n



11  3
mn

.

b) Với a , b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  abc  4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P  ab  bc  ca.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2020 – 2021
Bài 11.
a) Tìm tất cả các số thực a, b c thỏa mãn đồng thời các điều kiện a 2  b2  c 2  38, a  b  8 và b  c  7.
b) Cho ba số thực không âm điều kiện a , b, c thỏa mãn a 2  b2  c 2  2  a  bc  ca  .
Chứng minh rằng: a  b  c  3 3 2abc .
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin TP Hà Nội năm 2020 – 2021

https://thuvientoan.net/

Bài 12.
a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  3. Chứng minh rằng:

8
3 4a  3b  2c  2b  2bc  5b
2

2

2

2

2



1

1
 .
a  2bc  6 3
2

b) Xét các số thực x, y, z thay đổi thỏa mãn x 2  xy  y 2  5 và y 2  yz  z 2  21.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  xy  yz  zx.
Trích đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 – 2021
Bài 13.
Với các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 1  x  y  5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  2  x 2  y 2   4  x  y  xy   7.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Dương năm 2020 – 2021
Bài 14.
Với a, b, c  0 và không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
3

a
b
c
3
3
 2.
bc
ca
a b

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021
Bài 15.
Xét a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
thức:

a  1  b  1  c  1  6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

P  a 2  ab  b2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2 .
Trích đề thi vào lớp 10 môn Toán chung tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021
Bài 16.
Tìm tất cả các số thực x, y, z với 0  x, y , z  1 thỏa mãn:
x
y
z
3



.
1  y  zx 1  z  xy 1  x  yz x  y  z
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2020 – 2021

https://thuvientoan.net/

Bài 17.
Với a, b, c  0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a 1

2

P

bc

b 1

2



ca

c 1

2



a b

.

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021
Bài 18.
Cho các số thực x, y, z  1 thỏa mãn

1 1 1
   2. Chứng minh rằng:
x y z

x  y  z  x 1  y 1  z 1.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Thuận năm 2020 – 2021
Bài 19.
a) Với a, b là những số thực dương thỏa mãn: 2  2a  3b  5 và 8a 12b  2a 2  3b 2  5ab 10.
Chứng minh rằng: 3a 2  8b 2 10ab  21.
b) Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng:
a a  bc

2

b ab  2c 2 

b b  ca

2



c bc  2a 2 

c c  ab

2



a ca  2b 2 

 4.

Trích đề thi vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021
Bài 20.
Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng:
1 1 1 
a
4
b
c
3   1  1 
 3   .
 a b c 
 bc ca ab 
abc
2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021
Bài 21.

a  b
a2  b2
a) Cho hai số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
 ab  2
.
2
a  b2  2
2

b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn a  b  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q  b  a 

20 7
 .
a b

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP HCM năm 2020 – 2021

https://thuvientoan.net/

Bài 22.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a2
5a 2  b  c

2



b2
5b 2  c  a

2



c2

1

.
3
5c 2   a  b
2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Giang năm 2020 – 2021
Bài 23.
Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


1
1

S  a  b

 a 2  ab  2b 2
b 2  ab  2a 2 
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2020 – 2021
Bài 25.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

1
1
1


 2020.
x y y z z x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

y 2  2 x2
z2  2 y2
x2  2 z 2


xy
yz
zx

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Gia Lai năm 2020 – 2021
Bài 26.
Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a  b và ab  1. Chứng minh rằng:

a2  b2
 2 2.
a b

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Điện Biên năm 2020 – 2021
Bài 27.
1
Cho a, b, c là các số thực lớn hơn  . Chứng minh rằng:
3

1  a2
1  b2
1  c2
6


 .
2
2
2
1  3b  c 1  3c  a 1  3a  b
5
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đồng Nai năm 2020 – 2021

https://thuvientoan.net/

Bài 28.
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3

3  ab  bc  ca   a  b  c 
P

.
a2  b2  c2
abc
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đắk Lắk năm 2020 – 2021
Bài 29.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A  1  2a1  2bc .
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Ninh năm 2020 – 2021
Bài 30.
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

2a

a  ba  c



b

b  cb  a



c

c  a c  b

.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Yên Bái năm 2020 – 2021
Bài 31.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
8a 2  b 2  c 2 
ab  bc  ca



27 a  bb  c c  a 

a  b  c 

3

 16.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 – 2021
Bài 32.
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x 

1
1
1
18
7
2020
, y , z


 2.

18
7
2020
18 x  17 7 x  6 2020 z  2021

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A  18 x  1 7 y  1 2020 z  1 .
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021
Bài 33.
Cho a, b, c là các số thực dương a  3b  5c  2020. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P

3ab
15bc
5ca


.
a  3b 3b  5c 5c  a

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Thái Nguyên năm 2020 – 2021

https://thuvientoan.net/

Bài 34.
Cho a, b, c là các số thực có tổng bằng 0 và 1  a, b, c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P  a 2  2b 2  c 2 .

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Tây Ninh năm 2020 – 2021
Bài 35.
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 3a 2  3b 2  8c 2  32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P  ab  bc  ca.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 – 2021
Bài 35.
Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2  5 y 2  4 xy  3x  4 y  27.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: M  x  2 y.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021
Bài 36.
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a  b  c  2020. Chứng minh rằng:
4a
4b
4c
1 1 1


  
2
2
2
2020a  b 2020b  c 2020c  a
a b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Quảng Nam năm 2020 – 2021
Bài 37.
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3

3

T   a  1   b  1   c  1

3

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Bình năm 2020 – 2021
Bài 38.
a) Tìm tất cả các cặp số thực  x, y  thỏa mãn x 2  y 2  8 x  y  2 xy  3  0 sao cho y đạt giá trị lớn
nhất.
b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn xy  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x3
y3
Q

.
4  y  2 4  x  2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Yên năm 2020 – 2021

https://thuvientoan.net/

Bài 39.
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  3 xyz. Chứng minh rằng:
x
y
z
3


 .
2 2
2 2
3 y z  xyz
3z x  xyz
3x y  xyz 2
2 2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021
Bài 40.
Cho x, y, z  0. Chứng minh rằng bất đẳng thức:
xy
1  yz



2 yz
1

 2.
xy  yz
1  xy

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021
Bài 41.
3
b2 c2
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a  0, b  , c  5 và a 2    12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
2
2 9
thức:

M  2ab  3a  ca  8c  2 c  5.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Long An năm 2020 – 2021
Bài 41.
Cho các số thực a, b, c, d , e. Chứng minh rằng:

a 2  b2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e  .
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Lâm Đồng năm 2020 – 2021
Bài 42.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  6abc. Chứng minh rằng:
1 1 1
   3.
a2 b2 c2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Lai Châu năm 2020 – 2021
Bài 43.
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng:
a2  1 b2  1 c2  1
 2 2  2 2  a  b  1  b  c  1  c  a  1 .
c2a2
ab
bc
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Kiên Giang năm 2020 – 2021

https://thuvientoan.net/

Bài 44.
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  5. Chứng minh rằng:

x
2

x 5



y
2

y 5



3z
6  z  5
2



2 6
.
3

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Phòng năm 2020 – 2021

-----------------------------------------------------------HẾT-----------------------------------------------------------

https://thuvientoan.net/

PHẦN 2. BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
**********************************
Bài 1.
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P  3xy  yz 2  zx 2  x 2 y.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quãng Nam năm 2020 - 2021
Lời giải
Ta có: P  3xy  yz 2  zx 2  x 2 y   x  y  z  xy  yz 2  zx 2  x 2 y  xy 2  yz 2  zx 2  xyz.
Không mất tính tổng quát giả sử 0  x  y  z , khi đó ta có:

 x  y  y  z  y  z   0  xy 2  yz 2  zx 2  x 2 y  y 2 z  z 2 x.
Khi đó ta có:
2 P  2  xy 2  yz 2  zx 2  xyz   xy 2  yz 2  zx 2  x 2 y  y 2 z  z 2 x  2 xyz   x  y  y  z  z  x  .

Suy ra P 

 x  y  y  z  z  x  . Áp dúng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
2

3

3

1  x  y  y  z  z  x  1 8 x  y  z
P  
 4.
  
2 
3
27
 2
Suy ra P  4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1.
Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 đạt được khi x  y  z  1.
Bài 2.
Cho ba số thực x, y, z dương thỏa mãn xy  yz  zx  2 xyz  1. Chứng minh rằng:

x2 y
y2 z
z2 x


 2 xyz.
x 1 y 1 z  1
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Dương năm 2020 – 2021
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

 xy  yz  zx
x2 y
y2 z
z2x
x2 y 2
y2 z2
z 2 x2






(1)
x 1 y 1 z 1 xy  y yz  z zx  x xy  yz  zx  x  y  z
2

https://thuvientoan.net/

 xy  yz  zx 
Mặt khác xy  yz  zx  3 x y z  x y z  
 .


3
3

3

2

2 2

2

2 2

Đặt t  xy  yz  zx với t  0, từ giả thiết suy ra:
2
4t 3
3
2
4 x 2 y 2 z 2  1  xy  yz  zx  1 t  
t  .
27
4

3
3 1
1
Hay xy  yz  zx  . Mà 2 xyz  1  xy  yz  zx   1  . Suy ra xyz  .
4
4 4
8

Do đó xy  yz  zx  6 xyz   xy  yz  zx   6 xyz  xy  yz  zx (2).
2

Lại có  xy  yz  zx   3 xy  yz  yz  zx  zx  xy   3 xyz  x  y  z .
2

Suy ra 2  xy  yz  zx  6 xyz  x  y  z  (3).
2

Từ (2) và (3) suy ra  xy  yz  zx   2 xyz  x  y  z  xy  yz  zx (4).
2

1
x2 y
y2 z
z2 x


 2 xyz. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  .
Từ (1) và (4) suy ra
2
x 1 y 1 z  1

Bài 3.
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  1. Chứng minh rằng:
1
a 3  b3  c 3   a 4  b 4  c 4 .
8

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
1
1
 a 3 1 a  b3 1 b  c3 1 c    a 3 b  c  b 3 c  a   c 3 a  b
8
8
Ta có:
(a 2  b 2  c 2 )(ab  bc  ca)   a 3 b  c   abc a  b  c    a 3 b  c .
1
Do đó cần chứng minh: a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca  .
8
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
1  (a  b  c)2  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca)  2 (a 2  b 2  c 2 )2(ab  bc  ca)

1
Suy ra a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca  . Từ đây ta có điều phải chứng minh.
8
1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  , c  0 và các hoán vị của chúng.
2

https://thuvientoan.net/

Bài 4.
Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn

a 2  b2  b 2  c 2  c 2  a 2  2021.

a2
b2
c2
1 2012



.
Chứng minh rằng:
b c c  a a b 2
2
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Ninh Bình năm 2020 – 2021
Lời giải
Đặt P 

a2
b2
c2
b2
c2
a2




.
và Q 
b c c  a a b
b c c  a a b

Suy ra: P  Q 

a 2  b2 b2  c2 c2  a 2


. Đặt x  b  c, y  c  a, z  a  b. Khi đó ta có:
bc
ca
a b
P Q 

 y  x z  z  y  x  x  z  y


x

y



z



yz zx xy
   x  y  z 
x
y
z

Áp dụng bất đẳng thức m 2  n 2  p 2  mn  np  pm, ta có:
yz zx xy
  
x
y
z

yz zx
zx xy
xy yz
 
 

 x  y  z.
x y
y z
z x

Từ đó suy ra P  Q  0 hay P  Q.

a 2  b2 b2  c2 c2  a 2


(1).
Khi đó ta có: 2 P  P  Q 
bc
ca
a b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
a b
b c
c a


bc
ca
a b
2

Mặt khác

Suy ra:

2

2

2

2

2




a 2  b2  b2  c2  c2  a2



2 a  b  c

2021  a 2  b 2  b 2  c 2  c 2  a 2 

2



2021
.
2 a  b  c

a b bc ca


 2  a  b  c .
2
2
2

2021
2021
a2  b2 b2  c 2 c2  a2
2021





(2).
2 a  b  c 
2
bc
ca
a b
2

Từ (1) và (2) suy ra: P 

1 2021
a2
b2
c2
1 2021



.
hay
2
2
b c c  a a b 2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 
https://thuvientoan.net/

1 2021
. Ta có điều phải chứng minh.
3
2

Bài 5.

 x  y

2

Cho x, y là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 

x2  y2

 x  y

2



xy

.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Định năm 2020 – 2021
Lời giải

 x  y

2

Ta có: A 

x2  y2

 x  y

2





xy

x 2  y 2  2 xy x 2  y 2  2 xy
2 xy
x2  y 2


2


.
x2  y 2
xy
x2  y 2
2 xy

2 xy
x2  y 2

 2.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 2
x  y2
2 xy
Suy ra: A  4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 đạt được khi x  y.
Bài 6.
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện (a  b)3  4ab  12 . Chứng minh rằng:

1
1

 2020ab  2021.
1 a 1 b
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hưng Yên năm 2020 – 2021
Lời giải
Với mọi x, y  0 và xy  1, ta có:

1
1
2


.
1  x 1  y 1  xy

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
1
1
1
1



0
1  x 1  xy 1  y 1  xy
xy  x



xy  y



1  x1  xy  1  y 1  xy 





 x
y 
  0 
x  y 

1  x 1  y 





0

y
x y
x y
x



0
1  y 1  xy 1  x 1  xy

x y



2

1

xy



1  x1  y 

0

Do xy  1 nên bất đẳng thức cuối đúng. Đẳng thức xảy ra khi x  y hoặc xy  1.
Áp dúng bất đẳng thức AM – GM, ta có:





3

12  a  b  4ab  2 ab  4ab  2ab ab  ab  3  ab  1.
3

https://thuvientoan.net/

Đặt t  ab với 0  t  1. Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

1
1
2
2



.
1  a 1  b 1  ab 1  t

2
 2020t 2  2021.
1 t

Ta cần chứng minh

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương:
2020t 3  2020t 2  2021t  2019  0  t 12020t 2  4040t  2019  0.

Bất đẳng thức cuối đúng do t  1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t  1 hay x  y  1.
Bài 7.
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x 2 z 2  y 2 z 2 1  3z.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

1

 x 1

2



8

 y  3

2



4z2

1  2 z 

2

.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 – 2021
Lời giải
1
1
2
8
8
 2


.
2
a
b
ab 4ab a  b 2

Với a, b  0, ta có:

Do đó

1
1
8
 2
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b.
2
2
a
b
 a  b

Áp dụng bất đẳng thức trên liên tiếp, ta có:

1

 x  1

2



4z 2

1  2 z 

2

8


 x  1  2


2z

2

Từ đó suy ra P 





1

 x 1

2

8

 y  3

2

64


 x  y  1  5


2z

2





1
1

 1
 2 z 

2



8


 x 1  1 1

2 z 

2

64


 x  1  2  y  3


2z

2





8


 x  1  2


2z

2

64


 x  y  1  5


2z

2

.

. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:


3 1
4
3z  1  x 2 z 2  y 2 z 2  6    2  4   x 2  1   y 2  1   2 x  2 y.


z z
z

https://thuvientoan.net/

3 4
1
64
Suy ra: 6    2 x  2 y  3   x  y. Do đó P 
 1.
2
z z
2z
3  5
1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  1, z  .
2
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi x  y  1, z  .
2

Bài 8.
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3. Chứng minh rằng:
 x y
x2  y 2
y2  z2
z 2  x2


 3  2 

 xy
xy  x  y 
yz  y  z 
zx  z  x 

yz
z  x 
.

yz
zx 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Đà Nẵng năm 2020 – 2021
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
2
 x2  y 2
2 x  y
2  x  y
x2  y 2
2
2 


 2 


 
 xy  x  y  x  y 
xy  x  y 
x y
xy  x  y 
xy

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi công lai theo vế ta được:



 x  y
x2  y2
2

 2 
xy  x  y 
x y
xy

Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau là bài toán hoàn tất.
2
2
2


3
x y
yz
zx

Thật vậy, ta có:

Do đó:



2
4
4


.
x  y 2 2 x  y 2  x  y


2
1
1
1
49
4 9
 
 4 



 3.



x y
 x  y  2 y  z  2 z  x  2  2 x  y  z  6 2  3  6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 9.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

a b
bc
ca


.
c  ab
a  bc
b  ca

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021
https://thuvientoan.net/

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

P

Trong đó Q 

a b
 33
c  ab

a  bb  cc  a
a b bc c a
 36
 36 Q ,
c  ab a  bc b  ca
c  aba  bcb  ca

a  bb  cc  a 
. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:
c  aba  bcb  ca 
c  ab  a  bc

2

c  aba  bc 

4

2
2
b a  c   a  c
a  c b 1




.
4
4
2

Viết hai bất đẳng thức tương tự ta có:

a  b c 1
2

a  bcb  ca 

Suy ra: c  aba  bcc  ab 

2

4

2

và c  abb  ca 

a  bb  cc  a a 1b 1c 1
8

a  b  c  1  1  1

3

Mà a  1b  1c  1 

b  c a 1

27

a  b  c  3

3



27



4

2

.

.

63
 8.
27

Từ đó suy ra: c  ab a  bcc  ab  a  bb  cc  a  Q  1.
Dẫn đến P  3 6 Q  3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi a  b  c  1.
Bài 10.
a) Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn 11 

m
m 3
 0. Chứng minh rằng: 11  
n
n



11  3
mn

.

b) Với a , b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  abc  4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P  ab  bc  ca.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2020 – 2021
Lời giải
a) Với mọi số nguyên a thì a 2 chia 11 dư 0, 1, 3, 4, 5, 9.
Ta có: 11 

m
 0  11n 2  m 2  0. Nếu 11n 2  m2  1 thì m 2  10 mod11 , mâu thuẫn.
n

Suy ra: 11n 2  m2  2.
https://thuvientoan.net/

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

11n  m 





3 11  3
m



1  11n 2  m2  6  11  3 

 

11  3 

9





11  3
m2

2

2.



2

11  3  m 2  2  11n 2 . Bất đẳng thức 2 đúng.



Nếu m  3 thì VP2  m2  6



Nếu m  1 thì 1  11n  3 11  8  11n  8  3 11. Do 11n 2  m 2  2  n 

3
nên 1
11

đúng.


Nếu m  2 thì 1  2 11n  3 11  5. Do 11n 2  m 2  2  n 

6
nên 1 đúng.
11

Tóm lại trong mọi trường hợp ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m  3, n  1.
b) Ta chứng minh ab  bc  ca  a  b  c  abc. Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

1a  b  c12  ab  bc  ca1 abc  1  1 a 1 b1 c  1.
Không mất tính tổng quát giả sử a  b  c.
Ta có: 4  a  b  c  abc  3c  c 3  c  1. Ngoài ra 4  a  b  c  abc  3a  a3  a  1.
Khi đó 1 a 1 c  0.


Nếu b  1  1 b  0. Khi đó 1 a 1 b1 c  0  1. Ta có điều phải chứng minh.



Nếu b  1, kết hợp với c  0 và áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

 a  b  2   a  b  c  abc  2 
1 a 1 b1 c  a 1b 11 c  a 1b 1  
  
  1.

 

2
2
2

2

Từ đó suy ra: ab  bc  ca  a  b  c  abc  4. Do đó P  4.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  2, c  0 và các hoán vị.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 đạt được khi a  b  2, c  0 và các hoán vị.
Bài 11.
a) Tìm tất cả các số thực a, b c thỏa mãn đồng thời các điều kiện a 2  b2  c 2  38, a  b  8 và b  c  7.
b) Cho ba số thực không âm điều kiện a , b, c thỏa mãn a 2  b2  c 2  2  a  bc  ca  .
Chứng minh rằng: a  b  c  3 3 2abc .
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin TP Hà Nội năm 2020 – 2021
Lời giải
https://thuvientoan.net/

a) Từ giả thiết thứ nhất, ta có b 2  38  49. Do đó b  7. Từ đây, kết hợp với các giả thiết thứ hai và thứ
ba, ta có a  8  b và c  7  b  0.
Do đó: 38  a 2  b2  c 2  (8  b2 )  b2  (7  b)2 .
Hay 3(b  5)2  0. Vì 3(b  5)2  0 nên dấu đẳng thức trong các đánh giá xảy ra, tức ta có b  5, a  3
và c  2.
Vậy có duy nhất một bộ số ( a, b, c ) thỏa mãn yêu cầu là (3, 5, 2).
b) Không mất tính tổng quát, giả sử a  b  c.
Từ giả thiết, ta có (a  b  c)2  4ab. Từ đó, với chú ý a  b  c  0, ta có a  b  c  2 ab .
Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
a  b  c  (a  b  c)  2c  2 ab  2c  ab  ab  2c  3 3 2abc .

Đây chính là kết quả cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b  c 

a
b
c
hoặc c  a  hoặc a  b  .
4
4
4

Bài 12.
a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  3. Chứng minh rằng:

8
3 4a  3b  2c  2b  2bc  5b
2

2

2

2

2



1

1
 .
a  2bc  6 3
2

b) Xét các số thực x, y, z thay đổi thỏa mãn x 2  xy  y 2  5 và y 2  yz  z 2  21.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  xy  yz  zx.
Trích đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 – 2021
Lời giải
a) Ta có: a 2  2bc  6  a 2  4bc  2ab  2ac  a 2  b  c   2ab  2ac  a  b  c  .
2

Suy ra: 

1
a 2  2bc  6



2

1
.
a bc

Mặt khác 2b2  2bc  5c 2  b2  4c 2  2bc  b2  c 2   b 2  4c 2  4bc  b  2c  .
2

Suy ra:

2b 2  2bc  5c 2  b  2c.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

https://thuvientoan.net/

4  3  24a 2  3b  2c 2   4a  3b  2c  3 4a 2  3b 2  2c 2  4a  3b  2c.
2

Từ đó ta có:

8
3 4a 2  3b 2  2c 2  2b2  2bc  5b 2



8
2

.
4a  3b  2c  b  2c a  b  c

Từ đó ta suy ra:

8
3 4a  3b  2c  2b  2bc  5b
2

2

2

2

2



1
a  2bc  6
2



1
1
 .
a bc 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
2
2
2

 3


   3z 



x
3
z
x
3
z
2
2



 x  xy  y  y  yz  z    y  2   4 x   4 z   y  2     2  y  2   2 x  y  2 


 
 
2

2

2

2

3
2
Suy ra: 105   x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2    xy  yz  zx  .
4

Hay P  xy  yz  zx  2 35.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 35.
Bài 13.
Với các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 1  x  y  5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  2  x 2  y 2   4  x  y  xy   7.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Dương năm 2020 – 2021
Lời giải
Ta có: P  2  x 2  y 2   4  x  y  xy   7  2  x  y   4  x  y   7  2  x  y 1  5  5.
2



 y  x 1
 y  x 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

.





1  x  y  5 
 x  0; 4

Chẳng hạn x  2; y  3 hoặc x  3; y  4.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 đạt được khi y  x  1 và x  0; 4.

https://thuvientoan.net/

2

Bài 14.
Với a, b, c  0 và không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
3

a
b
c
3
3
 2.
bc
ca
a b

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử c  0, khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:

3

a 3b

 2.
b
a

Bất đẳng thức này đúng theo AM – GM. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi a  b, c  0.
Xét a, b, c  0 ta chỉ cần chứng minh:

a
b
c
3
3
 2.
bc
ca
a b

3



a  x3


3
Đặt 
b  y , với x, y, z  0, bất đẳng thức trở thành:


3


c  z
x

Xét x, y, z  0. Ta có:
3

y3  z3

x



y2  z2

x
3

y3  z3



y
3

z 3  x3

z


3

x3  y 3

 2.

.

2
Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tường đương với: yz  2  y 2  z 2    y  z    0.



Bất đẳng thức cuối đúng do x, y  0 nên ta có điều phải chứng minh.
x

Từ đó ta cần chứng minh:

y z
2

2



y
z x
2

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

2



z
x  y2
2

 2.

2x2

 2
.
2
2
y2  z2
2x y2  z2 x  y  z
x

x2

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được điều phải chứng minh.



x2  y 2  z 2

 2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi 
 y  z  x  x  y  z  0. Do x, y, z  0 nên đẳng thức không xảy ra.


2
2
2


z  x  y
x

Do đó:
3

y z
3

3



y
3

z x
3

3

z


3

x  y3
3

 2.

Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi có một trong ba số bằng 0, hai số còn lại khác 0.
https://thuvientoan.net/

Bài 15.
Xét a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

a  1  b  1  c  1  6.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  a 2  ab  b2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2 .
Trích đề thi vào lớp 10 môn Toán chung tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
36 





2

a  1  b 1  c 1  3a  1  b  1  c  1  3a  b  c  3.

Suy ra a  b  c  9.
3
1
3
3
2
2
2
Mặt khác a 2  ab  b 2  a  b  a  b    a  b  a 2  ab  b 2 
 a  b .
4
4
4
2

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được P  3 a  b  c  9 3.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ a  b  c  3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9 3 đạt được khi a  b  c  3.
Bài 16.
Tìm tất cả các số thực x, y, z với 0  x, y , z  1 thỏa mãn:
x
y
z
3



.
1  y  zx 1  z  xy 1  x  yz x  y  z
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2020 – 2021
Lời giải
Từ giả thiết, ta có 1  y  zx  x 2  xy  xz  x( x  y  z ) . Suy ra:
x
x
1


.
1  y  zx x( x  y  z ) x  y  z
Chứng minh tương tự, ta cũng có:

Do đó

y
1
z
1



.
1  z  xy x  y  z
1  x  yz x  y  z

x
y
z
3



.
1  y  zx 1  z  xy 1  x  yz x  y  z

Mặt khác, theo giả thiết thì dấu đẳng thức trong bất đẳng thức tren phải xảy ra. Nghĩa là, dấu đẳng thức
trong từng đánh giá phụ cũng phải xảy ra, tức ta phải có x  y  z  1 . Thử lại, ta thấy thỏa mãn.
Vậy có duy nhất một bộ số ( x, y , z ) thỏa mãn yêu cầu là (1,1,1) .
https://thuvientoan.net/

Bài 17.
Với a, b, c  0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a 1

2

P

bc

b 1

2



ca

c 1

2



a b

.

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

a  b  c  3 a  b  c
9
a bc
9
P


3 2

3 6
2 a  b  c 
2
2  a  b  c
2
2 a  b  c
2


a  b  c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 a  b  c  1.



a  b  c  3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 đạt được khi a  b  c  1.
Bài 18.
Cho các số thực x, y, z  1 thỏa mãn

1 1 1
   2. Chứng minh rằng:
x y z

x  y  z  x 1  y 1  z 1.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Thuận năm 2020 – 2021
Lời giải
Ta có:

1 1 1
1
1 1 1
x 1 y 1 z 1
   2  1  1  1     1 


.
x y z
x
y 1 z
x
y
z

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
 x 1 y 1 z 1
x  y  z   x  y  z 



 x
y
z 
Suy ra:

x  y  z  x 1  y 1  z 1.

3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  .
2

https://thuvientoan.net/





x 1  y 1  z 1

2

Bài 19.
a) Với a, b là những số thực dương thỏa mãn:
2  2a  3b  5 và 8a 12b  2a 2  3b 2  5ab 10.
Chứng minh rằng: 3a 2  8b 2 10ab  21.
b) Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng:
a a  bc

2

b ab  2c 2 

b b  ca

2



c bc  2a 2 

c c  ab

2



a ca  2b 2 

 4.

Trích đề thi vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021
Lời giải
a) Ta có: 8a 12b  2a 2  3b 2  5ab 10  4  2a  3b  2a  3b a  b 10 1.
Đặt x  2a  3b, y  a  b với 2  x  5. Ta có: 1 trở thành: 4 x  xy  10 

y 5
  2.
2 x

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x 2  y 2  21  x 2  4  y 2  25.
Ta có:
 y 2 25 

 y 5 2


4 
4
4


y  25  4   2   251 2   2     251 2   8  251 2 .
 4




 x 
 2 x
 x 
 x 
x 
2


4
Ta cần chứng minh: 8  251 2   x 2  4. Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
 x 

x 4  29 x 2 100  0   x  2 x  2 x  5 x  5  0.
Bất đẳng thức cuối đúng do 2  x  5.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  5, y  2 hay a  b  1.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

a 2  abc a 2  b2  c 2  3abc
 b ab  2c 2   ab ab  2c 2  
 ab ab  2c 2 
a a  bc 

2

2

a 2  b 2  c 2  3abc
 2.
Ta cần chứng minh:
ab  bc  ca

https://thuvientoan.net/

2

 a 2  b 2  c 2  3abc 2

 

ab  bc  ca 

Áp dụng dụng bất đẳng thức Schur kết hợp với a  b  c  3, ta có:

a 2  b 2  c 2  3abc  a 2  b 2  c 2 

9abc
 2 ab  bc  ca .
a bc

Suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi a  b  c  1.
Bài 20.
Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng:
1 1 1 
a
4
b
c
3   1  1 
 3   .
 a b c 
 bc ca ab 
abc
2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021
Lời giải
Bất đẳng thức đã cho viết lại thành
 1 1 1
 1 1 1
4
3(a 2  b 2  c 2 )
3     6      4 

hay
 a b c 
 a b c 
abc
abc
2

 1 1 1
4
3(a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca )
31
3     4 


.
 a b c 
abc
abc
abc
2

1
1
1
1 1 1
Đặt x  , y  , z  thì ta có    3 hay xy  yz  zx  3 xyz. Ta đưa về chứng minh
a
b
c
x y z

3( x  y  z ) 2  4  31xyz.
Đặt p  x  y  z , q  xy  yz  zx và r  xyz thì ta có q  3r . Ta cần có
3 p 2  4  31r.
Theo bất đẳng thức Cô-si thì ( x  y  z )( xy  yz  zx)  9 xyz nên x  y  z  3 hay p  3.
Ta có xyz  ( x  y  z )( y  z  x)( z  x  y ) nên r  ( p  2 x)( p  2 y )( p  2 z ) .
Khai triển ra ta được r  p 3  2 p 2 ( x  y  z )  4 p( xy  yz  zx)  8 xyz hay
9r   p 3  12 pr và

p3
 r.
12 p  9

31 p 3
, quy đồng và khai triển, ta có
Ta đưa về chứng minh 3 p  4 
12 p  9
2

( p  3)(5 p 2 12 p  12)  0 , đúng do p  3.
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng, ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.
https://thuvientoan.net/

Bài 21.

a  b
a2  b2
 ab  2
.
a) Cho hai số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
2
a  b2  2
2

b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn a  b  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q  ba 

20 7
 .
a b

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP HCM năm 2020 – 2021
Lời giải
a) Ta có:

2 a  b
a  b
a2  b2
 ab  2
 a 2  b 2  2ab  2
2
2
a b 2
a  b2  2
2

2 a  b

2

  a  b 
2

 a 2  b 2  2a  b  2 a  b
2

a b 2
2

2

2

2

  a  b  a  b   0
2

2

2

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b.
b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
5a 

20
20
 20 
 20  5a.
a
a

7
7
7b   14   14  7b.
b
b

Do đó: Q  b  a  20  5a 14  7b  34  6 a  b  34  6  3  16.
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a  2, b  1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 16 đạt được a  2, b  1.
Bài 22.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a2
5a  b  c
2

2



b2
5b  c  a
2

2



c2

1
 .
3
5c   a  b
2

2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Giang năm 2020 – 2021
Lời giải
https://thuvientoan.net/

Đặt P 

a2
5a 2  b  c

2



b2
5b 2  c  a 

2



c2
5c 2  a  b

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
1
1
1
a 2  b2  c 2   2a 2  bc  2a 2  bc .


  a 2  b 2  c 2  2a 2  bc  2a 2  bc   9

Suy ra:
9a 2
5b 2  b  c 

2





9a 2
1
2
 a 2  2
 2

2
2
2
2
2
2
2
a  b  c   2a  bc  2a  bc  a  b  c 2a  bc 

Chứng minh tương tự, ta được:

1
2
 ,


b

2
 a 2  b 2  c 2 2b 2  ac 
5b 2  c  a
9b 2

2

1
2
2



c

2
 a 2  b 2  c 2 2c 2  ab 
5c 2  a  b
9c 2

Khi đó ta có:
9a 2
5a 2  b  c

2



9b 2
5b 2  c  a 

2



 2a 2
2b 2
2c 2 



1



2
 2a 2  bc 2b 2  ca 2c 2  ab 
5c 2  a  b
9c 2

 bc
ca
ab 
Suy ra 9 P  4   2
 2
 2
 2a  bc 2b  ca 2c  ab 

Ta có :
bc
ca
ab
b2c 2
c2a2
a 2b 2





2a 2  bc 2b 2  ca 2c 2  ab 2a 2bc 2ab 2 c  c 2 a 2 2abc 2  a 2b 2

ab  bc  ca
bc
ca
ab
 2
 2

1
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:
2
2a  bc 2b  ca 2c  ab ab  bc  ca 
2

1
Vậy 9 P  3  P  . Đẳng thức xảy ra  a  b  c.
3
Ta có điều phải chứng minh.

Bài 23.
Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


1
1

S  a  b

 a 2  ab  2b 2
b 2  ab  2a 2 
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2020 – 2021
https://thuvientoan.net/

Lời giải
Theo bất đẳng thức m  n  2  m2  n 2  , ta có:
2





1
1
1
1
  4 a 2  b 2   2
.
S  a  b 

 2
2
2
 a  ab  2b
 a 2  ab  2b2
b  ab  2a 
b 2  ab  2a 2 
2

2

2



1
1
1
1

 2

, nên đặt:
Mà a 2  b 2   2
2
2
 a  ab  2b
b b  a 
a  a  b
b  ab  2a 
1 2
1 2
a  b2
a  b2
x

a  b

2

Ta có: x  y 

a 2  b2

b b  a 
a b
2

2ab a  b

2

, y

a a  b
a2  b2

2

; 2 xy  

a 2  b 2 

2

.

a  b

4

 x  y  2 xy 

a 2  b2 

2

0









1
1
2

x

y
2

x

y
  4 
  4 

Suy ra : S 2  4 
  8.



1  x 1  y 
1  x  y  xy 
1  x  y  x  y 

2 
Do đó S  2 2. Đẳng thức xảy ra  a  b.
Vậy giá trị lớn nhất của S là 2 2 đạt được khi a  b.
Bài 24.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  8. Chứng minh rằng:
a
b
c
1


  a 2  b2  c 2 
ca  4 ab  4 bc  4 16

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hà Nam năm 2020 – 2021
Lời giải
a
ab
ab
1
ab


 
.
Ta có: 
ca  4
abc  4b
4b  8 4
b2

Áp dụng bất đẳng thức

1
11 1
    , ta có
x y 4 x y

1  ab
bc
ca  1  ab  1 1  bc  1 1  ca  1 1   1
1



                 a  b  c    ab  bc  ca 
4  b  2 c  2 a  2  4  4  b 2  4  c 2  4  a 2   16
32
Do đó ta cần chứng minh:
2  a 2  b 2  c 2   2  a  b  c   ab  bc  ca

Vì a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca nên ta chỉ cần chứng minh a 2  b 2  c 2  2  a  b  c  .
Thật vậy a 2  4  4a  a 2  4a  4 do đó:
https://thuvientoan.net/





a 2  b 2  c 2  4  a  b  c   12  2  a  b  c   2  a  b  c  6   2  a  b  c   2 3 3 abc  6  2  a  b  c  .
Từ đây suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  2.
Bài 25.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

1
1
1


 2020. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x y y z z x

thức:

P

y 2  2 x2
z2  2 y2
x2  2 z 2


xy
yz
zx

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Gia Lai năm 2020 – 2021
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
3 y  x  x
2

2

2

2

   y  x  x   y  2x

2



y2  2x2 y  2x
1 1 2


  
xy
xy 3
3x y

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta suy ra:
1 1 1
P  3    .
x y z
1
1
1
11 1  1 1 1 11 1 11 1 1


                .
x y y z z x 4 x y  4 y z  4 z x 2 x y z 
3
.
Suy ra P  3  4040  4040 3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z 
4040
3
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4040 3 đạt được khi x  y  z 
4040
Mặt khác: 2020 

Bài 26.
Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a  b và ab  1. Chứng minh rằng:

a2  b2
 2 2.
a b

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Điện Biên năm 2020 – 2021
Lời giải
2

a 2  b2 a 2  b 2  2ab  2  a  b   2
2
Vì ab  1 nên


 a b
.
a b
a b
a b
a b
Ta có: a  b  0 nên áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:
a b

https://thuvientoan.net/

2
a2  b2
2 2
 2 2.
a b
a b


6 2
a 
 a  b   2

2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

.
6

2
ab  1
b 

2
2

Bài 27.
1
Cho a, b, c là các số thực lớn hơn  . Chứng minh rằng:
3

1  a2
1  b2
1  c2
6


 .
2
2
2
1  3b  c 1  3c  a 1  3a  b
5
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đồng Nai năm 2020 – 2021
Lời giải
3  b  1 2 5  3b 2  2c 2
b2  1
Ta có:  b  1  0  b 
 1  3b  c 2  1 
c 
.
2
2
2
2

2

2 1  a 2 
1  a2
Do đó:

. Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:
1  3b  c 2 3  b 2  1  2  c 2  1
2 1  a 2 
2 1  b 2 
2 1  c 2 
1  a2
1  b2
1  c2





.
1  3b  c 2 1  3c  a 2 1  3a  b 2 3  b 2  1  2  c 2  1 3 1  c 2   2 1  a 2  3 1  a 2   2 1  b 2 
Đặt x  1  a 2 , y  1  b 2 , z  1  c 2 với x, y, z  1. Ta cần chứng minh:
2x
2y
2z
6
x
y
z
3


 



3 y  2 z 3z  2 x 3x  2 y 5
3 y  2 z 3z  2 x 3x  2 y 5
Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
2

 x  y  z   3  xy  yz  zx   3
x
y
z
x2
y2
z2






3 y  2 z 3z  2 x 3x  2 y 3xy  2 zx 3 yz  2 xy 3zx  2 yz 5  xy  yz  zx  5  xy  yz  zx  5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ a  b  c  1.
Bài 28.
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3

3  ab  bc  ca   a  b  c 
P

.
a2  b2  c2
abc
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đắk Lắk năm 2020 – 2021
Lời giải
https://thuvientoan.net/

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

a  b  c
abc

3

2
9  a 2  b2  c2 
abc
1 1  9a  b  c
2 1
 a  b  c 
 a  b  c     

 18
abc
ab  bc  ca
 ab bc ca  ab  bc  ca
2

2
2
2
3  ab  bc  ca  9  a  b  c 
Suy ra P 

 18. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
a 2  b2  c2
ab  bc  ca

3  ab  bc  ca 
a2  b2  c2
2

2

3  a 2  b2  c 2 

2
2
2
3  ab  bc  ca  3  a  b  c 

 2

6
ab  bc  ca
a2  b2  c2
ab  bc  ca

2

Ngoài ra a  b  c  ab  bc  ca nên

6  a2  b2  c2 
ab  bc  ca

 6. Từ đây suy ra P  6  6  18  30.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 đạt được khi a  b  c  1.
Bài 29.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A  1  2a1  2bc .
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Ninh năm 2020 – 2021
Lời giải
Ta có 1  2a 1  2bc   1  2a  1  b 2  c 2   1  2a   2  a 2  .

4
 a2
2
3
10 
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 1  2a  1  3  a  1  3  9
  a2   .
3
2
2
9
2

3
10 
3
10
98

Suy ra: A   a 2    2  a 2    a 2   2  a 2   .
2
9
8
9
27

2
10
Đẳng thức xảy khi và chỉ khi a  , b  c 
.
3
6
2
10
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 30 đạt được khi a  , b  c 
3
6

Bài 30.
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

2a

a  ba  c



b

b  cb  a



c

c  a c  b

.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Yên Bái năm 2020 – 2021
https://thuvientoan.net/

Lời giải

b

Ta có:

 b  a  b  c 



c

 c  a  c  b 



b  ab  bc   c  ac  bc 
b ac c ab

.
bc ab ac
bc ab ac

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

b  ab  bc   c  ac  bc 
bc ab ac
Suy ra:

b

 b  a  b  c 



 b  c  ab  2bc  ca 

 a  b  b  c  c  a 



c

 c  a  c  b 



b  a  c  c  a  b
b
c


.
ab ac
 a  b  a  c 

b
c

.
ab ac

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2a

 a  b  a  c 

 2

a
a
a
a
c 
 b



 2

.
ab ac ab ac
 ab ac 
2

b
c
 1 9 9

Đặt t 
với t  0, ta có: P  2  t 2  t    t     .
ab ac
 2 4 4
b  c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  b
c
1  a  7b  7c.



 ab ac 2
Vậy giá trị lớn nhất của P là

9
đạt được khi a  7b  7c.
4

Bài 31.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
8a 2  b 2  c 2 
ab  bc  ca



27 a  bb  c c  a 

a  b  c 

3

 16.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 – 2021
Lời giải
Với mọi a, b, c  0 ta có:  a  b  b  c  c  a  

8
 a  b  c  ab  bc  ca  , suy ra:
9

27 a  bb  c c  a 

a  b  c 

3

https://thuvientoan.net/



24 ab  bc  ca 

a  b  c 

2

.

2
8  a 2  b2  c2 
8a  b  c
1
2

.
Mặt khác a  b  c   a  b  c  nên
3
ab  bc  ca
3  ab  bc  ca 
2

2

2

Suy ra:
8a 2  b 2  c 2 
ab  bc  ca



27 a  bb  c c  a 

a  b  c 

3

8 a  b  c
24 ab  bc  ca 


.
2
3ab  bc  ca
a  b  c 
2

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta lại có:
8a  b  c
24 ab  bc  ca
8a  b  c 24  ab  bc  ca 

2

 16.
2
2
3 ab  bc  ca 
3 ab  bc  ca 
a  b  c
a  b  c
2

2

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a  b  c.
Bài 32.
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x 

1
1
1
18
7
2020
, y , z



 2.
18
7
2020
18 x  17 7 y  6 2020 z  2021

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A  18 x  1 7 y  1 2020 z  1 .
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
18
7
2020
18
7
2020


2
 1
1
18 x  17 7 y  6 2020 z  2021
18 x  17
7y  6
2020 z  2021


Từ đây suy ra:

18
7 y 1
2020 z  1
7 y  1 2020 z  1


2

18 x  17 7 y  6 2020 z  2021
7 y  6 2020 z  2021
18
7 y  1 2020 z  1
2

.
18 x  17
7 y  6 2020 z  2021

Chứng minh tương tự ta cũng có:
7
18 x  1
2020 z  1
2020
18 x  1 7 y  1
2

.
2


2020 z  2021
18 x  17 7 y  6
7y  6
18 x  17 2020 z  2021
Từ đây nhân các bất đẳng thức vế theo vế ta được:
18
7
2020
7 y  1 2020 z  1
18 x  1
2020 z  1
18 x  1 7 y  1


 23 





18 x  17 7 y  6 2020 z  2021
7 y  6 2020 z  2021 18 x  17 2020 z  2021 18 x  17 7 y  6
 18 x  1 7 y  1 2020 z  1  31815.

https://thuvientoan.net/

5
9
1009
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  , y  , z 
9
14
2020
5
9
1009
.
Vậy giá trị lớn nhất của A là 31815 đạt được khi x  , y  , z 
9
14
2020

Bài 33.
Cho a, b, c là các số thực dương a  3b  5c  2020. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3ab
15bc
5ca
P


.
a  3b 3b  5c 5c  a
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Thái Nguyên năm 2020 – 2021
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức

1
11 1
    , ta có:
x y 4 x y

3ab
15bc
5ca
3ab  1 1  15bc  1 1  5ca  1 1  1



  
  
     a  3b  5c 
a  3b 3b  5c 5c  a
4  a 3b 
4  3b 5c  4  5c a  2

Suy ra: P 

1
2020
2020
2020
404
 1010. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ a 
,b
,c
.
 a  3b  5c  
2
2
3
9
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1010 đạt được khi a 

2020
2020
404
,b
,c
.
3
9
3

Bài 34.
Cho a, b, c là các số thực có tổng bằng 0 và 1  a, b, c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P  a 2  2b 2  c 2 .

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Tây Ninh năm 2020 – 2021
Lời giải
2

Ta có: P   a  c   2b 2  2ac  3b 2  2ac.
Nếu ac  0 thì P  3b 2  2ac  3b 2  3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ac  0, b 2  1.
Chẳng hạn  a, b, c    0, 1,  1 .
Nếu ac  0 thì một trong hai số a hoặc c cùng dấu với b. Không mất tính tổng quát giả sử ab  0.
2

Khi đó: P   a  b   2ab  b 2  c 2  2c 2  2ab  b 2  2c 2  b 2  2 12  12  3.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  0, b 2  1, c 2  1 hay a  0, b  1, c  1.
Tóm lại trong mọi trường hợp giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi a và c là hoán vị của  0; 1 và
b  1.
https://thuvientoan.net/

Bài 35.
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 3a 2  3b 2  8c 2  32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P  ab  bc  ca.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 – 2021
Lời giải
Ta có: ab 

a2  b2
1
b 2  4c 2
1
4c 2  a 2
, bc   b  2c 
, ca   2c  a 
.
2
2
4
2
4

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
P

a 2  b 2 b 2  4c 2 4c 2  a 2 3a 2  3b 2  8c 2 32




8
2
4
4
4
4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  2, c  1.
Vậy giá trị lớn nhất của P là 8 đạt được khi a  b  2, c  1.
Bài 35.
Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2  5 y 2  4 xy  3x  4 y  27.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x  2 y.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021
Lời giải
Ta có:

x 2  5 y 2  4 xy  3x  4 y  27   x 2  4 xy  4 y 2   3  x  2 y    y 2  2 y  1  28
2

2

  y  1  28   x  2 y   3  x  2 y 
2

2

Do  y  1  0 nên 28   x  2 y   3  x  2 y   0  7  x  2 y  4.
Vậy giá trị lớn nhất của x  2 y là 4 đạt được khi x  2, y  1.
Giá trị nhỏ nhất của x  2 y là 7 đạt được khi x  9, y  1.
Bài 36.
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a  b  c  2020. Chứng minh rằng:
4a
4b
4c
1 1 1


  
2
2
2
2020a  b 2020b  c 2020c  a
a b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021
https://thuvientoan.net/

Lời giải
Ta có:


4a
4a
4a
1
1
1
a


 a



2
2
2020a  b
 a  b  c  a  b a  a  c   b b  a   a  a  c  b b  a   a  c b b  a 

Hay

1
1
1
 
.
ca b ab

4a
1
1
1

 
. Chứng minh tương tự ta cũng có:
2
2020a  b
ca b ab
4b
1
1
1
4c
1
1
1

 

 
.

2
2
2020b  c
ab c bc
2020c  a
bc c ca

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 

2020
.
3

Bài 37.
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3

3

T   a  1   b  1   c  1

3

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Bình năm 2020 – 2021
Lời giải
Nếu x  y  z  0 thì x3  y 3  z 3  3xyz. Cho x  a  1, y  b  1, z  c  1 thì ta có:
T  3  a   b  1 c  1  3  a  b  c    ab  bc  ca   abc  1  3  abc   ab  bc  ca   2 

Hay T  3  ab  c  1  c  a  b   2   3  ab  c  1  c  3  c   2  .
Không mất tính tổng quát giá giử c  min a, b, c  0  c  1. Khi đó ta có:
  a  b 2  c  1

  c  3 2  c  1  4c  c  3
 3c  c 2  3c  3 3
3
T  3
 c  c  3  2   3 
 2 
  .
4
4
4
4
4




3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  , c  0.
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 

https://thuvientoan.net/

3
3
đạt được khi a  b  , c  0.
4
2

Bài 38.
a) Tìm tất cả các cặp số thực  x, y  thỏa mãn x 2  y 2  8 x  y  2 xy  3  0 sao cho y đạt giá trị lớn
nhất.
b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn xy  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức;
Q

x3
y3

.
4  y  2 4  x  2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Yên năm 2020 – 2021
Lời giải
a) Ta có phương trình tương đương: x 2  2  y  4  x  y 2  y  3  0.
Xem đây là phương trình bậc hai ẩn x có y là tham số. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi:
2

   y  4    y 2  y  3   0  y 

Với y 

13
.
9

13
23
23 
 13
thì x   . Vậy  x, y    ,   là cặp giá trị cần tìm.
9
9
9 
9

b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM , ta có:
x3
y2 1
x3
y  2 1 3x

  33

  .
4  y  2
8
2
4  y  2 8 2 4

Suy ra:

x3
3x y 3
y3
3y x 3

  . Tương tự ta cũng có:

  .
4  y  2 4 8 4
4  x  2 4 8 4

Do đó Q 

5
3 5
3
 x  y     2 xy   1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  2.
8
2 8
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 đạt được khi x  y  2.
Bài 39.
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  3 xyz. Chứng minh rằng:
x
y
z
3


 .
2 2
2 2
3 y z  xyz
3z x  xyz
3x y  xyz 2
2 2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021
Lời giải

https://thuvientoan.net/

Ta có: xy  yz  zx  3xyz 

1 1 1
1
1
1
   3. Đặt a  , b  , c  với a, b, c  0 và a  b  c  3.
x y z
x
y
z

Bài toán trở thành chứng minh:

bc
ca
ab
3


 .
3a  bc
3b  ca
3c  ab 2

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
bc

3a  bc

bc

 a  b  c  a  bc

bc



 a  b  c  a 



bc  1
1 


.
2  ab ca 

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:
bc
ca
ab
bc  1
1  ca  1
1  ab  1
1 


 



 
 

3a  bc
3b  ca
3c  ab 2  a  b c  a  2  b  c a  b  2  c  a b  c 

Chú ý rằng

1  bc ca  c
    do đó:
ab 2 2  2
bc  1
1  ca  1
1  ab  1
1  abc 3



 .

 
 

2  ab ca  2 bc ab  2  ca bc 
2
2

Suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 hay x  y  z  1.
Bài 40.
Cho x, y, z  0. Chứng minh rằng bất đẳng thức:

xy
1  yz



2 yz
1

 2.
xy  yz
1  xy

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021
Lời giải
Đặt a  x , b 

1
, c  z , bài toán quy về chứng minh:
y
a
b
2c


 2.
bc ca
ab

Ta có:

2c
4c
4c


. Mặt khác:
a  b 2 2c  a  b  a  b  2c

4a  b  c
a
b
1 
 1

 a  b  c 

 2.
2
bc ca
a  b  2c
bc ca
Suy ra:

4  a  b  c   4c
a
b
2c



 2  2.
bc ca
ab
a  b  2c

https://thuvientoan.net/

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hay x 

1
 z.
y

Ta có điều phải chứng minh.
Bài 41.
3
b2 c2
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a  0, b  , c  5 và a 2    12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
2
2 9
thức:

M  2ab  3a  ca  8c  2 c  5.
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Long An năm 2020 – 2021
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
M  2ab  3a  ca  8c  2 c  5  a  2b  3  c

Hay M  a  b  c  2 

 a  8 

4  c  5 

a  2b  3 c  a  8 4  c  5


2
2
2

a 2  1 b 2  4 c 2  81
1
b2 c2 


 2   a 2     8  14.
2
4
18
2
2 9

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  1, b  2, c  9.
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 14 đạt được khi a  1, b  2, c  9.
Bài 41.
Cho các số thực a, b, c, d , e. Chứng minh rằng: a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a  b  c  d  e  .
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Lâm Đồng năm 2020 – 2021
Lời giải
Ta có:

a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a  b  c  d  e   4  a 2  b 2  c 2  d 2  e 2   4a  b  c  d  e 
  a 2  4ab  4b2    a 2  4ac  4c 2    a 2  4ad  4d 2    a 2  4ae  4e 2   0
2

2

2

2

  a  2b    a  2c    a  2d    a  2e   0.
Bất đẳng thức cuối đúng.
Suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  2b  2c  2d  2e.

https://thuvientoan.net/

Bài 42.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  6abc. Chứng minh rằng:
1 1 1
   3.
a2 b2 c2

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Lai Châu năm 2020 – 2021
Lời giải
Đặt x 

1
1
1
, y  , z  . Ta có x, y, z  0 và x  y  z  xy  yz  zx  6. Khi đó cần chứng minh:
a
b
c

x 2  y 2  z 2  3.
Ta có: 6  x  y  z  xy  yz  zx  x  y  z 

1
2
x  y  z .
3

2

Suy ra:  x  y  z   3  x  y  y   18  0  x  y  z  3.
Khi đó x 2  y 2  z 2 

1
2
 x  y  z   3.
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 hay a  b  c  1.
Ta có điều phải chứng minh.
Bài 43.
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng:
a2  1 b2  1 c2  1
 2 2  2 2  a  b  1  b  c  1  c  a  1 .
c2a2
ab
bc
Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Kiên Giang năm 2020 – 2021
Lời giải
Do abc  1 nên ta có:
a2  1 b2  1 c2  1 1 1 1
1
1
1
 2 2  2 2  2  2  2  2 2  2 2  2 2  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  a 2  b 2  c 2 .
2 2
ca
ab
bc
a b c ab bc ca
Ta có: a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  ab  bc  bc  ca  ca  ab  abc  a  b  c   a  b  c.
Ngoài ra: a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca.
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức, ta suy ra điều phải chứng minh,
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ a  b  c  1.

https://thuvientoan.net/

Bài 44.
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  5. Chứng minh rằng:

x
2

y



x 5



2

y 5

3z
6  z 2  5



2 6
.
3

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Phòng năm 2020 – 2021
Lời giải
Ta có:
x

y



2

x 5



2

y 5

x

y



2

x  xy  yz  zx

x



2

 x  y  z  x 

y  xy  yz  zx



y

 y  z  x  y 

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

x

 x  y  z  x 
x

Hay

2

y



x 5

2





y 5

y



 y  z  x  y 

2 xy  yz  zx

 y  z  z  x 

x  xy  zx   y  yz  xy 

 x  y  y  z  z  x 
y  x  z  x  y  z

 y  z  z  x 



 x  y  2 xy  yz  zx 
 x  y  y  z  z  x 

y
x

.
yz zx

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

3z
6  z 2  5
Đặt t 



3
z
z
3  z
z 
3 
y
x 







2
.
yz zx
6 zx z y 2 6zx z y 2 6

3
y
x

ta có VT 
2  t 2   t. Ta cần chứng minh:

yz zx
2 6
3
2

2 6
3
2t t 
 3 t

3
2
6
2

2

t 6  4



 3t 2  2t 6  2  0  t 3  2

Bất đẳng thức cuối đúng suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ t 2 

https://thuvientoan.net/

2
và x  y hay x  y  1, z  2.
3



2

 0.