Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Bài 3.6 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Lý thuyết

Câu hỏi

Giải các phương trình sau

a) \(2\cos x - \sin x = 2\)

b) \(\sin 5x + \cos 5x =  - 1\)

c) \(8{\cos ^4}x - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0\)

d) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x + {1 \over 2}\sin 4x = 0\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\eqalign{
& 2\cos x - \sin x = 2 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left( {{2 \over {\sqrt 5 }}\cos x - {1 \over {\sqrt 5 }}\sin x} \right) = 2 \cr} \)

Kí hiệu α là góc mà \(\cos \alpha  = {2 \over {\sqrt 5 }}\) và \({\rm{sin}}\alpha  =  - {1 \over {\sqrt 5 }}\), ta được phương trình

\(\eqalign{
& \cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x = {2 \over {\sqrt 5 }} \cr 
& \Leftrightarrow \cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \alpha \cr 
& \Leftrightarrow x - \alpha = \pm \alpha + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2\alpha + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr 
x = k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& \sin 5x + \cos 5x = - 1 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {{{\sqrt 2 } \over 2}\sin 5x + {{\sqrt 2 } \over 2}\cos 5x} \right) = - 1 \cr 
& \Leftrightarrow \cos {\pi \over 4}\sin 5x + \sin {\pi \over 4}\cos 5x = - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr 
& \Leftrightarrow \sin \left( {5x + {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { - {\pi \over 4}} \right) \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5x + {\pi \over 4} = - {\pi \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr 
5x + {\pi \over 4} = {{5\pi } \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over {10}} + k{{2\pi } \over 5},k \in Z \hfill \cr 
x = {\pi \over 5} + k{{2\pi } \over 5},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

c) 

\(\eqalign{
& 8{\cos ^4}x - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 8{\left( {{{1 + \cos 2x} \over 2}} \right)^2} - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\left( {1 + 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right) - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x + \sin 4x - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 1 + \cos 4x + \sin 4x - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos 4x + \sin 4x = 1 \cr 
& \Leftrightarrow \sin \left( {4x + {\pi \over 4}} \right) = \sin {\pi \over 4} \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x + {\pi \over 4} = {\pi \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr 
4x + {\pi \over 4} = {{3\pi } \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr 
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

d)

\(\eqalign{
& {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 1 - 3{\left( {{{\sin 2x} \over 2}} \right)^2} + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 1 - {3 \over 4}{\sin ^2}2x + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 1 - {3 \over 4}.{{1 - \cos 4x} \over 2} + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 8 - 3 + 3\cos 4x + 4\sin 4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3\cos 4x + 4\sin 4x = - 5 \cr 
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos 4x + {4 \over 5}\sin 4x = - 1 \cr} \)

Kí hiệu α là cung mà \(\sin \alpha  = {3 \over 5},\cos \alpha  = {4 \over 5}\) ta được:

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \alpha } \right) = - 1 \cr 
& \Leftrightarrow 4x + \alpha = {{3\pi } \over 2}+ k2\pi, k \in Z \cr 
& \Leftrightarrow x = {{3\pi } \over 8} - {\alpha \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z \cr} \)   

Các câu hỏi cùng bài học