Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

Bài 12 (SGK trang 107)

Lý thuyết

Câu hỏi

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, chứng minh rằng :

                              \(b^2x^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)x+c^2>0,\forall x\)

Hướng dẫn giải

Do b là cạnh của tam giác nên b > 0

Đặt \(f\left(x\right)=b^2x^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)x+c^2>0,\forall x\)

Theo định lý của dấu về tam thức bậc 2

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2>0\left(đúng\right)\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\Delta< 0\)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2< 0\)

Chứng minh rằng \(\Delta=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(b^2+c^2-a^2\right)^2< 4b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2< 2bc\)

\(\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2< a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2< a^2\)

\(\Leftrightarrow b-c< a\)

\(\Leftrightarrow b< c+a\)

Theo bất đẳng thức tam giác thì \(b< c+a\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2< 0\) ( đpcm )

Vậy \(f\left(x\right)=b^2x^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)x+c^2>0,\forall x\)

Các câu hỏi cùng bài học