Cộng đồng chia sẻ tri thức Doc24.vn

16 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

6566064c20650fcc389af75f4d8273f0
Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương vào ngày 2020-12-07 04:23:33 || Kiểu file: PDF Lượt xem: 228 | Lượt Download: 2 | File size: 1.611998 Mb

Nội dung tài liệu Xem trước tài liệu

Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu



SƯU TẦM

16 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG

HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Tài liệu sưu tầm

16 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

1

CHUYÊN ĐỀ 1 : ĐA THỨC
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP:
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
* Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước
dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
f(-1)

đều là số
a-1
a+1

nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
2. Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm
của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện
một nhân tử là x – 2
Cách 1: x3 - x2 – 4 =  x 3  2x 2    x 2  2x    2x  4   x 2  x  2   x(x  2)  2(x  2)
=  x  2  x 2  x  2

Cách 2: x 3  x 2  4  x 3  8  x 2  4   x 3  8    x 2  4 

 (x  2)(x 2  2x  4)  (x  2)(x  2) =  x  2   x 2  2x  4   (x  2)   (x  2)(x 2  x  2)

3. Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: 1, 5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên
f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x =

1
là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
3

f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x 3  x 2  6x 2  2x  15x  5   3x 3  x 2    6x 2  2x   15x  5 
= x 2 (3x  1)  2x(3x  1)  5(3x  1)  (3x  1)(x 2  2x  5)

Vì x 2  2x  5  (x 2  2x  1)  4  (x  1) 2  4  0 với mọi x nên không phân tích được
thành nhân tử nữa
4. Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử
bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
2

= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
5. Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên
không phân tích được nữa
6.Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
7. Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
a) Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
b) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
a) Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
b) Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
* Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
III. ĐẶT BIẾN PHỤ:
1. Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
2. Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x  0 ta viết
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 –
Đặt x -

6
1
1
1
2
2
)+7]
+ 2 ) = x [(x + 2 ) + 6(x x
x
x
x

1
1
= y thì x2 + 2 = y2 + 2, do đó
x
x

3

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -

1 2
) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2
x

* Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
3. Ví dụ 3: A = (x 2  y 2  z 2 )(x  y  z) 2  (xy  yz+zx) 2
2
2
2
2
2
2
2
=  (x  y  z )  2(xy  yz+zx)  (x  y  z )  (xy  yz+zx)

Đặt x 2  y 2  z 2 = a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x 2  y 2  z 2 + xy + yz + zx)2
4. Ví dụ 4: B = 2( x 4  y 4  z 4 )  ( x 2  y 2  z 2 )2  2( x 2  y 2  z 2 )( x  y  z ) 2  ( x  y  z )4
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó:
B = - 4( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 ) + 4 (xy + yz + zx)2
 4x 2 y 2  4y 2 z 2  4z 2 x 2  4x 2 y 2  4y 2 z 2  4z 2 x 2  8x 2 yz  8xy 2 z  8xyz 2
 8xyz(x  y  z)
5. Ví dụ 5: (a  b  c)3  4(a 3  b3  c3 )  12abc
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 +

m2 - n 2
). Ta có:
4

m3 + 3mn 2
 4c3  3c(m 2 - n 2 ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
C = (m + c) – 4.
4
3

= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
1. Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số  1,  3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên
củng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
a  c  6

ac  b  d  12
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
ad  bc  14
bd  3

Xét bd = 3 với b, d  Z, b  1, 3 với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
a  c  6
ac  8
2c  8 c  4




a  2
a  3c  14 ac  8
bd  3

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
4

2. Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
 a  4  3
 b  2a  7 a  1

= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c  
  b  5
c  2b  6

 c  4
2c  8

Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn
bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
3. Ví dụ 3:
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
ac  12
 bc  ad  10 a  4


c  3
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3  3c  a  5

 bd  12
 b  6

d  2
3d  b  12
2

2

 12x + 5x - 12y + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)

BÀI TẬP:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x3 - 7x + 6
10) 64x4 + y4
3
2
2) x - 9x + 6x + 16
11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6
3
2
3) x - 6x - x + 30
12) x3 + 3xy + y3 - 1
3
2
4) 2x - x + 5x + 3
13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
3
2
5) 27x - 27x + 18x - 4
8
14) x + x + 1
2
2
6) x + 2xy + y - x - y - 12
8
4
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 15) x 2+ 3x + 4
16) 3x + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10
8) 4x4 - 32x2 + 1
17) x4 - 8x + 63
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2

5

CHUYÊN ĐỀ 2 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC
B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
I. Một số hằng đẳng thức tổng quát:
1.
an - bn = (a - b)(an - 1 + an - 2 b + an - 3 b2 + … + abn - 2 + bn - 1 )
2.
an + bn = (a + b) ( an - 1 - an - 2b + an - 3b2 - … - abn - 2 + bn - 1 )
3. Nhị thức Niutơn: (a + b)n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 + …+ Cnn 1 ab n - 1 + bn

Trong đó:

C kn 

n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
: Tổ hợp chập k của n phần tử
1.2.3...k

II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn:
1. Cách 1: Dùng công thức C kn 

n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
k!

7.6.5.4 7.6.5.4

 35
4!
4.3.2.1
7!
7.6.5.4.3.2.1
n!
với quy ước 0! = 1  C 74 

 35
Chú ý: a) C kn 
4!.3! 4.3.2.1.3.2.1
n!(n - k) !
7.6.5.
 35
b) Ta có: C kn = C kn - 1 nên C 74  C 37 
3!

Chẳng hạn hệ số của hạng tử a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là C 74 

2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan
Đỉnh
1
Dòng 1(n = 1)
1
1
Dòng 2(n = 1)
1
2
1
Dòng 3(n = 3)
1
3
3
1
Dòng 4(n = 4)
1
4
6
4
1
Dòng 5(n = 5)
1
5
10
10
5
1
Dòng 6(n = 6)
1
6
15
20
15
6
1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k
(k  1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2
dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …
Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
3. Cách 3:
Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước:
a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1
b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số
mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k
Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 +

1.4 3
4.3 2 2 4.3.2
4.3.2. 5
ab+
ab +
ab3 +
b
1
2
2.3
2.3.4

Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa
là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau
(a + b)n = an + nan -1b +

n(n - 1) n - 2 2
n(n - 1) 2 n
a b + …+
ab
1.2
1.2

6

-2

+ nan - 1bn - 1 + bn

III. Ví dụ:
1. Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) A = (x + y)5 - x5 - y5
Cách 1: khai triển (x + y)5 rồi rút gọn A
A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5
= 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)
= 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2)
Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5)
x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có:
x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y)
làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại
b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7
= 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6
= 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )]
= 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)}
= 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]
= 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ]
= 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2
Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển
a) (4x - 3)4
Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có:
(4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81
Tổng các hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1
b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4
Tổng các hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1
* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa
thức đó tại x = 1
C. BÀI TẬP:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) (a + b)3 - a3 - b3
b) (x + y)4 + x4 + y4
Bài 2: Tìm tổng các hệ số có được sau khi khai triển đa thức
a) (5x - 2)5
b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011

7

CHUYÊN ĐỀ 3 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ
NGUYÊN
B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:
I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
1. Kiến thức:
* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một
nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các
đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó
* Chú ý:
+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho
m
+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:
+) an - bn chia hết cho a - b (a  - b)
+) (a + 1)n là BS(a )+ 1

+) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b
2.+Bài
(a +tập:
b)n = B(a) + bn

+)(a - 1)2n là B(a) + 1
+) (a - 1)2n + 1 là B(a) - 1

2. Các bài toán
Bài 1: chứng minh rằng
a) 251 - 1 chia hết cho 7
b) 270 + 370 chia hết cho 13
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18
d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho
37
e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N
Giải
a) 251 - 1 = (23)17 - 1  23 - 1 = 7
b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935  4 + 9 = 13
c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1)
1719 + 1  17 + 1 = 18 và 1917 - 1  19 - 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1)
hay 1719 + 1917  18
d) 3663 - 1  36 - 1 = 35  7
3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2
e) 2 4n - 1 = (24) n - 1  24 - 1 = 15
Bài 2: chứng minh rằng
a) n5 - n chia hết cho 30 với n  N ;
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z
c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ;
Giải:
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
8

5n(n2 - 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm
b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k  Z) thì
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)  A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4
nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384
c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27)
+ Ta có: 27n - 27  27 (1)
+ 10 n - 9n - 1 = [( 9...9
 + 1) - 9n - 1] = 9...9
 - 9n = 9( 1...1
 - n)  27 (2)
n

n

n

vì 9  9 và 1...1
 - n  3 do 1...1
 - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3
n

n

Từ (1) và (2) suy ra đpcm
3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a) a3 - a chia hết cho 3
b) a7 - a chia hết cho 7
Giải
a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số
là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3
b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
Nếu a = 7k (k  Z) thì a chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 1 (k  Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 2 (k  Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 3 (k  Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7
Vậy: a7 - a chia hết cho 7
Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100
Giải
Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513)
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 +
512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101
(1)
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B
Bài tập về nhà
Chứng minh rằng:
a) a5 – a chia hết cho 5
b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24
9