Tóm tắt kiến thức cơ bản toán lớp 9

.Ch ¬ng Iv Hµm sè ax (a 0). ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn1/ Hµm sè ax (a 0) x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña thuéc R.2/ Hµm sè ax cã c¸c tÝnh chÊt:a) NÕu th× hµm sè nghÞch biÕn khi vµ ®ång biÕn khi 0b) NÕu th× hµm sè ®ång biÕn khi vµ nghÞch biÕn khi 0c) NÕu th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè lµ (khi 0)d) NÕu th× gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ (khi 0)3/ §å thÞ hµm sè lµ mét êng cong (® îc gäi lµ parabol víi ®Ønh O(0; 0)) ®i qua gèc to¹ ®évµ nhËn Oy lµm trôc ®èi xøng.+ NÕu th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O(0; 0) lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ.+ NÕu th× ®å thÞ n»m phÝa íi trôc hoµnh, O(0; 0) lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ.§Ó vÏ parabol ta cã thÓ dùa vµo b¶ng víi mét gi¸ trÞ ¬ng øng cña vµ y. Ngoµi ra cã thÓvÏ b»ng c¸c c¸ch îc m« t¶ trong s¸ch gi¸o khoa trang 37 nÕu trªn trang vë cã dßng kÎ hoÆcbiÕt mét ®iÓm kh¸c O(0; 0) cña nã.4/ a) Ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn (nãi gän lµ ph ¬ng tr×nh bËc hai) lµ ph ¬ng tr×nh cã d¹ng ax 2+ bx 0. (1) b) Cã hai c¸ch c¬ b¶n ®Ó gi¶i (1): Ph©n tÝch vÕ tr¸i (1) ra thõa sè:a(x m)(x n) <=> nxmx21+ B»ng c¸ch biÕn ®æi ¬ng ¬ng ®Ó (1) vÒ d¹ng 222442aacbabx (2)Tõ ®ã tuú theo dÊu cña vÕ ph¶i cña (2) mµ kÕt luËn vÒ nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh ®· cho.5/ §Æt 4ac. Gäi lµ biÖt thøc cña ph ¬ng tr×nh (1)+ NÕu th× (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖtx1 ab2 x2 ab2+ NÕu th× (1) cã nghiÖm kÐp x1 x2 ab2+ NÕu th× (1) v« nghiÖm.6/ §èi víi (1) ta cã c«ng thøc nghiÖm thu gän: NÕu ®Æt 2b vµ ' ’2 ac:+ NÕu ' th× ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖtx1 ab'' x2 ab''+ NÕu ' th× ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 x2 ab'+ NÕu ' th× ph ¬ng tr×nh v« nghiÖm.7/ NÕu x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh ax bx (a 0) th× cã ®Þnh lý Vi-Ðt:x1 x2 -ab x1 .x2 ac+ NÕu ph ¬ng tr×nh ax bx (a 0) cã th× ph ¬ng tr×nh cã métnghiÖm x1 vµ mét nghiÖm x2 acNÕu ph ¬ng tr×nh ax bx (a 0) cã th× ph ¬ng tr×nh cã métnghiÖm x1 -1 vµ mét nghiÖm x2 -ac .8/ a) §Ó gi¶i ph ¬ng tr×nh trïng ph ¬ng ax bx (a 0), th êng ®Æt Èn phô (t 0) vµ vÒ ph ¬ng tr×nh bËc hai Èn t. LÊy nh÷ng nghiÖm kh«ng ©m cña ph ¬ng tr×nh nµy vµ tõ ®ãsuy ra nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh ®· cho.b) Gi¶i ph ¬ng tr×nh chøa Èn mÉu theo bèn íc:+ T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph ¬ng tr×nh+ Quy ®ång mÉu thøc hai vÕ råi khö mÉu thøc+ Gi¶i ph ¬ng tr×nh võa thu îc+ T×m c¸c nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn.c) Ph ¬ng tr×nh tÝch lµ ph ¬ng tr×nh cã d¹ng A(x).B(x) 0. §Ó gi¶i ta gi¶i riªng biÖt ®èivíi hai ph ¬ng tr×nh A(x) vµ B(x) 0. NghiÖm cña ph ¬ng tr×nh ®· cho sÏ lµ hîp c¸c nghiÖmcña hai ph ¬ng tr×nh trªn.PhÇn h×nh häcCh ¬ng II2® êng trßn1/ §Þnh nghÜa, sù x¸c ®Þnh, tÝnh chÊt dèi xøng cña êng trßn:a) §Þnh nghÜa: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®iÓm cè ®Þnh mét kháng kh«ng ®æi 0) gäi lµ êng trßn t©m b¸n kÝnh R.Ký hiÖu lµ: (O; R) hoÆc (O)Cung trßn lµ mét phÇn cña êng trßn îc giíi h¹n bëi hai ®iÓm. Hai ®iÓm nµy gäi lµ hai mót cña cung. Ch¼ng h¹n cung AC (AC), cung BC (BC)D©y cung lµ mét ®o¹n th¼ng nèi hai mót cña mét cung. Ch¼ng h¹n d©y cung BC.§ êng kÝnh lµ d©y ®i qua t©m.§Þnh lý: êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt cña êng trßn.b) Sù x¸c ®Þnh cña êng trßn: §Þnh lý: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng, bao giê còng chØ vÏ® îc mét êng trßn vµ chØ mét mµ th«i.c) TÝnh chÊt ®èi xøng: §Þnh lý 1: êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy.§Þnh lý 2: (§¶o cña 1). êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y (d©y kh«ng lµ êng kÝnh)th× vu«ng gãc víi d©y Êy.§Þnh lý 3: Trong mét êng trßn:Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m.Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau.D©t lín h¬n th× gÇn t©m h¬n.D©y gÇn t©m h¬n th× lín h¬n.2/ VÞ trÝ ¬ng ®èi cña êng th¼ng vµ êng trßn:a) êng th¼ng cã thÓ c¾t, tiÕp xóc hoÆc kh«ng c¾t êng trßn.b) TiÕp tuyÕn cña êng trßn:§Þnh nghÜa: RO3A BCTiÕp tuyÕn cña êng trßn lµ êngth¼ng chØ cã mét ®iÓm chung víi êngtrßn ®ã.C¸c ®Þnh lý vÒ tiÕp tuyÕn:§Þnh lý 1: NÕu mét êng th¼ng lµtiÕp tuyÕn cña mét êng trßn th× nãvu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn qua tiÕp®iÓm.§Þnh lý NÕu mét êng th¼ng ®iqua mét ®iÓm cña êng trßn vµ vu«nggãc víi b¸n kÝnh qua ®iÓm ®ã th× êngth¼ng Êy lµ tiÕp tuyÕn cña êng trßn. a3/ TÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét êng trßn c¾t nhau t¹imét ®iÓm:§iÓm ®ã c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm.Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn.Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua hai tiÕp®iÓm.4/ VÞ trÝ ¬ng ®èi cña hai êng trßn: (Ba vÞ trÝ ¬ng ®èi)Hai êng trßn c¾t nhau (cã hai ®iÓm chung)§Þnh lý: Hai êng trßn c¾t nhau th× êng nèi t©m vu«ng gãc víi d©y chung vµ ®i qua trung®iÓm cña d©y chung Êy. OO AB, t¹i lµ trung ®iÓm cña AB.Hai êng trßn tiÕp xóc nhau lµhai êng trßn chØ cã mét ®iÓmchung, ®iÓm chung ®ã gäi lµ tiÕp®iÓm .OO (tiÕp xóc ngoµi); OO =r (tÕp xóc trong)Hai êng trßn kh«ng c¾t nhau(kh«ng cã ®iÓm chung.+ Ngoµi nhau: OO r. HB ARO ’O r4 O+ §ùng nhau: OO rChó ý: êng trßn ®i qua ®Ønh cña tam gi¸c gäi lµ êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c hay tam gi¸c néitiÕp êng trßn.+ êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña mét tam gi¸c gäi lµ êng trßn néi tiÕp tam gi¸c haytam gi¸c ngo¹i tiÕp êng trßn. T©m êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña ba êng ph©ngi¸c cña tam gi¸c.+ êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c lµ êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ tiÕp xócvíi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia. T©m cña êng trßn bµng tiÕp lµ giao ®iÓm cña hai tia ph©ngi¸c cña hai gãc ngoµi víi tia ph©n gi¸c gãc trong cßn l¹i.+ Hai êng trßn trong nhau kh«ng cã tÕp tuyÕn chung.Hai êng trßn (kh«ng trong nhau) cã thÓ cã nhiÒu tiÕp tuyÕn chung.Ch ¬ng IIIGãc víi êng trßn1/ Gãc t©m. Cung vµ d©y:a) §Þnh nghÜa:Gãc t©m lµ gãc cã ®Ønh trïng víi t©m êng trßnSè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o gãc t©m ch¾n cung ®ã.Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a 360 víi sè ®o cña cung nhá cã chung hai ®Çu mótv¬Ýi cung lín ®ã.Sè ®o cña nöa êng trßn b»ng 360 0.b) So s¸nh hai cung: (chØ so s¸nh hai cung trªn mét êng trßn hay hai êng trßn b»ng nhau).Hai cung îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau.Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n gäi lµ cung lín h¬n.c) §iÓm n»m trªn cung: §iÓm n»m trªn cung AB th× sè ®o cung AB b»ng tæng sè ®o cung ACvíi sè ®o cung CB. d) Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y: §Þnh lý 1: Víi hai cung nhá trong mét êng trßn hay hai êng trßn b»ng nhau:Hai cung b»ng nhau th× hai d©y b»ng hau,5Hai d©y b»ng nhau th× hai cung b»ng nahu.§Þnh lý 2: Víi hai cung nhá trong mét êng trßn hay hai ¬ng trßn b»ng nhau:Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n.D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n.2/ Gãc néi tiÕp Gãc gi÷a tiÕp tuyÕn vµ d©y cung:a) Gãc néi tiÕp: Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn êngtrßn vµ hai c¹nhchøa hai d©y cung cña êng trßn ®ã.Ch¼ng h¹n gãc BAC lµ gãc néi tiÕp cña êng trßn (O).§Þnh lý: Trong mét êng trßn sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng nöa sè ®ocung bÞ ch¾n.s® 21ˆCAB s® BC HÖ qu¶: Trong mét êng trßn:+ C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau, ch¾n c¸c cung b»ng nhau’+ C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hay ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau.+ Gãc néit iÕp (nhá h¬n 90 0) cã s® b»ng nöa s® cña gãc t©m cïng ch¾n mét cung.+ Gãc néi tiÕp ch¾n nöa êng trßn lµ gãc vu«ng.b) Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ mét d©y cung:* Gãc CAB lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn ACvµ d©y AB* §Þnh lý. Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕptuyÕn vµ d©y cung b¨ng nöa sè ®o cña cungbÞ ch¾n. s® 21ˆCAB s® ABHÖ qu¶: Trong mét êng trßn gãc t¹obëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãcnéi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng OAB6 CAD CMBnhau. BDABACˆˆc) Gãc cã ®Ønh bªn trong hay bªn ngoµi êng trßn:Gãc cã ®Ønh bªn trong êng trßn, cung chøc gãc.+ Gãc BEC lµ gãc cã ®Ønh bªn trong -êng trßn. Gãc PNQ còng gäi lµ gãc cã®Ønh bªn trong êng trßn.+ §Þnh lý 1: Sè ®o cña gãc cã ®Ønh bªntrong êng trßn b»ng nöa tæng sè ®o haicung bÞ ch¾n.s® 21ˆBEC (s® CB s® CD)Gãc cã ®Ønh bªn ngoµi êng trßn.+ Gãc BMD lµ gãc cã ®Ønh bªn ngoµi® êng trßn.+ §Þnh lý 2: Sè ®o gãc cã ®Ønh bªnngoµi êng trßn b»ng nöa hiÖu sè ®o haicung bÞ ch¾n.s® 21ˆDMB (s® BD s®AC)Cung chøa gãc: Quü tÝch c¸c ®iÓmM nh×n ®o¹n th¼ng AB cho tr íc íi gãc (0 180 0) lµ hai cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n AB3/ Tø gi¸c néi tiÕp. êng trßn néi ngo¹i tiÕp: ABC EP NA C7A BO DQDMa) Tø gi¸c néi tiÕp: Mét tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét êng trßn gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp êng trßn (gäi t¾tlµ tø gi¸c néi tiÕp).§Þnh lý: Trong mét tø gi¸c néi tiÕp tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 180 0.§Þnh lý ®¶o. NÕu mét tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 180 th× néi tiÕp îc êng trßn.b) êng trßn ngo¹i tiÕp, êng trßn néi tiÕp.§ êng trßn ®i qua c¸c ®Ønh cña mét ®a gi¸c îc gäi lµ êng trßn ngo¹i tiÕp ®a gi¸c vµ ®agi¸c îc gäi lµ ®a gi¸c néi tiÕp êng trßn.§ êng trßn tiÕp x¸c víi tÊt c¶ c¸c c¹nh cña mét ®a gi¸c îc gäi lµ êng trßn néi tiÕp ®agi¸c vµ ®a gi¸c îc gäi lµ ®a gi¸c ngo¹i tiÕp êng trßn.§Þnh lý: BÊt kú ®a gi¸c ®Òu nµo còng chØ cã mét vµ chØ mét êng trßn ngo¹i tiÕp, cã mét vµchØ mét êng trßn néi tiÕp.4/ Chu vi, diÖn tÝch h×nh trßn:a) §é dµi êng trßn, cung trßn. §é dµi êng trßn: 2 R.* Trªn êng trßn b¸n kÝnh R, ®é dµi cña cung trßn lµ: 180Rnb) DiÖn tÝch h×nh trßn vµ qu¹t trßn.DiÖn tÝch h×nh trßn: 2DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh cung 3602nR hay 2R