Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản
$a^x=b$ ($a>0,a\ne 1$)
- Nếu $b\le 0$, phương trình vô nghiệm.
- Nếu $b>0$, phương trình có nghiệm duy nhất $x=\log_ab$.
2. Phương trình mũ đơn giản
a) Phương trình đưa về phương trình mũ cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp: đưa về cùng một cơ số; đặt ẩn phụ; lấy lôgarit hai vế (lôgarit hóa).
Ví dụ:
*) Giải phương trình:
$7^{x-1}=2^x$
$\Leftrightarrow \dfrac{7^x}{7}=2^x$
$\Leftrightarrow \dfrac{7^x}{2^x}=7$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{7}{2}\right)^x=7$
$\Leftrightarrow x=\log_{\frac{7}{2}}7$
*) Giải phương trình:
$e^{6x}-3e^{3x} + 2 = 0$
Đặt $t=e^{3x}$ ($t>0$), phương trình trở thành
$t^2 - 3t + 2 =0$
$\Leftrightarrow t_1=1$ hoặc $t_2=2$
$\Leftrightarrow e^{3x}=1$ hoặc $e^{3x}=2$
$\Leftrightarrow 3x=0$ hoặc $3x=\log_32$
$\Leftrightarrow x=$ hoặc $x=\frac{1}{3}\log_32$.
b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị.
Ví dụ: Giải phương trình: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=x-\dfrac{1}{2}$
Vẽ đồ thị hàm số $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ và $y=x-\dfrac{1}{2}$ trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$ ta thấy chúng cắt nhau tại một điểm có hoành độ $x=1$. Thử lại ta thấy giá trị này thỏa mãn phương trình. Ta có thể chứng minh đây là nghiệm duy nhất: do hàm $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ nghịch biến, còn hàm $y=x-\dfrac{1}{2}$ đồng biến nên hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm duy nhất.
c) Phương trình có thể giải bằng cách áp dụng các tính chất hàm mũ.
Ví dụ: Giải phương trình $3^x + 4^x=5^x$
Chia hai vế cho $5^x>0$ ta được phương trình tương đương:
$\left(\dfrac{3}{5}\right)^x + \left(\dfrac{4}{5}\right)^x=1$
Nhận thấy $x=2$ là một nghiệm, vì $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2=1$
Ta chứng minh $x=2$ là nghiệm duy nhất. Dễ nhận thấy vế trái $y=\left(\dfrac{3}{5}\right)^x + \left(\dfrac{4}{5}\right)^x$ là hàm nghịch biến. Vậy hàm vế trái nhận giá trị bằng 1 tại một điểm duy nhất.
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Phương trình lôgarit cơ bản
$\log_ax=b$ ($a>0, a\ne 1$)
Nghiệm là: $x=a^b$
2. Phương trình lôgarit đơn giản
a) Phương trình có thể đưa về phương trình lôgarit cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp: đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa hai vế.
Ví dụ: Giải phương trình: $\ln x + \ln (x+1)=0$
Điều kiện: $x>0$
$\Leftrightarrow \ln x(x+1) = 0$
$\Leftrightarrow x(x+1) = e^0$
$\Leftrightarrow x(x+1) = 1$
$\Leftrightarrow x^2 + x - 1 = 0$
$\Leftrightarrow x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ (loại)
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
b) Phương trình giải bằng phương pháp đồ thị.
Ví dụ: Giải phương trình $\log(x^2-x-6) + x = \log(x+2)+4$
Đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-x-6>0\\x+2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x>3\)
Biến đổi phương trình như sau:
$\log(x^2-x-6) - \log(x+2) = 4-x$
$\Leftrightarrow \log\dfrac{x^2-x-6}{x+2} = 4-x$
$\Leftrightarrow \log\dfrac{(x+2)(x-3)}{x+2} = 4-x$
$\Leftrightarrow \log(x-3) = 4-x$
Nhận thấy $x=4$ là nghiệm và vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến. Vậy $x=4$ là nghiệm duy nhất.
Bài tập
- Câu hỏi 1 trang 80 SGK Giải tích 12
- Câu hỏi 2 trang 81 SGK Giải tích 12
- Câu hỏi 3 trang 81 SGK Giải tích 12
- Câu hỏi 4 trang 82 SGK Giải tích 12
- Câu hỏi 5 trang 83 SGK Giải tích 12
- Câu hỏi 6 trang 83 SGK Giải tích 12
- Bài 1 trang 84 SGK Giải tích 12
- Bài 2 trang 84 SGK Giải tích 12
- Bài 3 trang 84 SGK Giải tích 12
- Bài 4 trang 85 SGK Giải tích 12