Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản 

     $a^x=b$ ($a>0,a\ne 1$)   

   - Nếu $b\le 0$, phương trình vô nghiệm.

   - Nếu $b>0$, phương trình có nghiệm duy nhất $x=\log_ab$.

2. Phương trình mũ đơn giản

 a) Phương trình đưa về phương trình mũ cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp: đưa về cùng một cơ số; đặt ẩn phụ; lấy lôgarit hai vế (lôgarit hóa).

Ví dụ:

  *) Giải phương trình:

         $7^{x-1}=2^x$

         $\Leftrightarrow \dfrac{7^x}{7}=2^x$

         $\Leftrightarrow \dfrac{7^x}{2^x}=7$

       $\Leftrightarrow \left(\dfrac{7}{2}\right)^x=7$

       $\Leftrightarrow x=\log_{\frac{7}{2}}7$

 *) Giải phương trình: 

       $e^{6x}-3e^{3x} + 2 = 0$

      Đặt $t=e^{3x}$ ($t>0$), phương trình trở thành

      $t^2 - 3t + 2 =0$

       $\Leftrightarrow t_1=1$ hoặc $t_2=2$

       $\Leftrightarrow e^{3x}=1$ hoặc $e^{3x}=2$

        $\Leftrightarrow 3x=0$ hoặc $3x=\log_32$

        $\Leftrightarrow x=$ hoặc $x=\frac{1}{3}\log_32$.

b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị.

   Ví dụ: Giải phương trình: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=x-\dfrac{1}{2}$

      

  Vẽ đồ thị hàm số $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ và $y=x-\dfrac{1}{2}$ trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$ ta thấy chúng cắt nhau tại một điểm có hoành độ $x=1$. Thử lại ta thấy giá trị này thỏa mãn phương trình. Ta có thể chứng minh đây là nghiệm duy nhất: do hàm $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ nghịch biến, còn hàm $y=x-\dfrac{1}{2}$ đồng biến nên hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm duy nhất.

c) Phương trình có thể giải bằng cách áp dụng các tính chất hàm mũ.

Ví dụ: Giải phương trình $3^x + 4^x=5^x$

Chia hai vế cho $5^x>0$ ta được phương trình tương đương:

   $\left(\dfrac{3}{5}\right)^x + \left(\dfrac{4}{5}\right)^x=1$

Nhận thấy $x=2$ là một nghiệm, vì $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2=1$

 Ta chứng minh $x=2$ là nghiệm duy nhất. Dễ nhận thấy vế trái $y=\left(\dfrac{3}{5}\right)^x + \left(\dfrac{4}{5}\right)^x$ là hàm nghịch biến. Vậy hàm vế trái nhận giá trị bằng 1 tại một điểm duy nhất.

II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 

1. Phương trình lôgarit cơ bản

    $\log_ax=b$ ($a>0, a\ne 1$)

    Nghiệm là: $x=a^b$

2. Phương trình lôgarit đơn giản 

a) Phương trình có thể đưa về phương trình lôgarit cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp: đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa hai vế.

Ví dụ: Giải phương trình: $\ln x + \ln (x+1)=0$

   Điều kiện: $x>0$

     $\Leftrightarrow \ln x(x+1) = 0$

     $\Leftrightarrow x(x+1) = e^0$

     $\Leftrightarrow x(x+1) = 1$

     $\Leftrightarrow x^2 + x - 1 = 0$

    $\Leftrightarrow x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ (loại)

   Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

b) Phương trình giải bằng phương pháp đồ thị.

Ví dụ: Giải phương trình $\log(x^2-x-6) + x = \log(x+2)+4$

Đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-x-6>0\\x+2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x>3\)

Biến đổi phương trình như sau:

    $\log(x^2-x-6) - \log(x+2) = 4-x$

    $\Leftrightarrow \log\dfrac{x^2-x-6}{x+2} = 4-x$

    $\Leftrightarrow \log\dfrac{(x+2)(x-3)}{x+2} = 4-x$

    $\Leftrightarrow \log(x-3) = 4-x$

Nhận thấy $x=4$ là nghiệm và vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến. Vậy $x=4$ là nghiệm duy nhất.

Bài tập

Có thể bạn quan tâm