Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Định nghĩa : Vectơ $\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}$ có giá song song hoặc trùng với d gọi là vectơ chỉ phương của d.

2. Phương trình tham số của đường thẳng.

Đường thẳng qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{u}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số

$d:\begin{cases}x=x_0+a_1t\\y=y_0+a_2t\\z=z_0+a_3t\end{cases}$

Nhận xét.

• Đường thẳng ∆ qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left(a_1;a_2;a_3\right)$.

• Nếu $a_1;a_2;a_3\ne0$ thì d còn viết dưới dạng $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$ gọi là dạng chính tắc.

• Nếu d song song với (P) và M ∈ d thì d (d; (P)) = d (M; (P)).

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

• $d\equiv d'\Leftrightarrow\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}\right]=\overrightarrow{0}$

• $d$//$d'\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]=\overrightarrow{0}\\\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0}\overrightarrow{M'_0}\right]\ne\overrightarrow{0}\end{cases}$

• $d$ cắt $d'\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]\ne\overrightarrow{0}\\\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]\overrightarrow{M_0}\overrightarrow{M'_0}=\overrightarrow{0}\end{cases}$

• d và $d'$ chéo nhau $\Leftrightarrow\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right].\overrightarrow{M_0}\overrightarrow{M'_0}\ne0$

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d :$d:\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}$ và mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0.

Số giao điểm của d và (P) là số nghiệm phương trình : $A\left(x_0+at\right)+B\left(y_0+bt\right)+C\left(z_0+ct\right)+D=0$(1)

• d ⊂ (α) ⇔ (1) có vô số nghiệm.

• d||(α) ⇔ (1) vô nghiệm.

• d cắt (α) ⇔ (1) có một nghiệm.

• d⊥(α) ⇔ $d\perp\left(\alpha\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{u_d}=k\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$

5. Góc giữa hai đường thẳng.

• Giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ với $\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}$ là các vecto chỉ phương :

$\cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{u_{d1}}\overrightarrow{u_{d2}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_{d1}}\right|.\left|\overrightarrow{u_{d2}}\right|}$

• Giữa đường thẳng $d$ với vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_d}$ và mặt phẳng (P) với vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$:

$\sin\beta=\frac{\left|\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right|}$

6. Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

• Từ một điểm M đến một đường thẳng $d$ đi qua $M_0$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_d}$:

$kc\left(M,d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{M_0M}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|}$

[Chú ý: $\left|\left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{MM_0}\right]\right|$ là độ dài của vecto là tích có hướng của hai vecto $\overrightarrow{u_d}$ và $\overrightarrow{MM_0}$, độ dài của vecto tích có hướng này bằng diện tích hình bình hành tạo bởi 2 vecto $\overrightarrow{u_d}$ và $\overrightarrow{MM_0}$ . Khi chia diện tích này cho độ dài cạnh $\left|\overrightarrow{u_d}\right|$ ta được đường cao hạ từ M xuống $\overrightarrow{u_d}$. (xem hình vẽ bên trên)]

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng đi qua hai điểm A và B:

$kc\left(M,AB\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}$

• Giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ đi qua $M_1$ có veco chỉ phương $\overrightarrow{u_1}$ và đường thẳng $d_2$ đi qua $M_2$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_2}$:

Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$ là IJ và bằng $M_1H$ trong hình trên và bằng hình chiếu của $M_1M_2$ lên vecto $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]$ (là tích có hướng của hai vecto chỉ phương, vuông góc với cả hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng).

Ta có $M_1H=\overrightarrow{\left|M_1M_2\right|}.\cos\left(\widehat{\overrightarrow{M_1M_2},\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]}\right)=\left|\overrightarrow{M_1M_2}\right|\frac{\overrightarrow{M_1M_2}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]}{\left|\overrightarrow{M_1M_2}\right|.\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}$

Suy ra:

$kc\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{M_1M_2}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

$kc\left(AB,CD\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]\right|}$

7. Các ví dụ

Ví dụ 1: (Bạch Đằng-Hải Phòng 2015) Cho điểm $A(-4;1;3)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+3}{3}$. Tìm tọa độ điểm $B$ thuộc $d$ sao cho $AB=\sqrt{27}$.
ĐS: $B\left(-\dfrac{13}{7};\dfrac{10}{7};-\dfrac{12}{7}\right)$
Ví dụ 2: (Chuyên ĐH Vinh 2015 L1) Cho mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z}{-1}$. Tìm điểm $A$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ bằng $2\sqrt{3}$.
ĐS: $A(4;-5;-2)$ hoặc $A(-2;7;4)$
Ví dụ 3: Cho $I(1;1;1)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-14}{4}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+5}{-2}$. Tìm hình chiếu H của I trên d, từ đó tính khoảng cách từ I tới d.
ĐS: $H(2;-3;1),d(I,d)=\sqrt{17}$
Ví dụ 4: (Chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định 2015) Cho $A(2;1;-1),\overrightarrow{AB}(1;0;3)$. Xác định tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $OA$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$.
ĐS: $M\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{5}{6};-\dfrac{5}{6}\right)$

Ví dụ 5: (Đại học Khối B 2011) Cho $\Delta:\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z+5}{-2}$ và A(-2;1;1),B(-3;-1;2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng $3\sqrt{5}$.
ĐS: $M(-2;1;-5)$ hoặc $M(-14;-35;19)$

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình mặt phẳng

Hình học giải tích trong không gian

Hình học giải tích trong không gian, lý thuyết cơ bản