Bài 4: Phép thử và biến cố

1. Phép thử

Phép thử ngẫu nhiên (hay còn gọi là phép thử) là một hành động hay thí nghiệm mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau. Kết quả của nó không dự đoán được trước, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

Ví dụ: khi gieo một đồng tiền, kết quả là được mặt sấp hoặc mặt ngửa. Khi gieo quân súc sắc, kết quả là được một trong sáu khả năng.

2. Không gian mẫu :

Không gian mẫu là tập hợp các các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Ví dụ:

- gieo một đồng tiền là phép thử với không gian mẫu là \(\Omega\) = {S, N} (S - kí hiệu sấp, N kí hiệu cho ngửa)

- gieo một đồng tiền hai lần thì không gian mẫu là \(\Omega\) = {SS, SN, NS, NN}, trong đó SS có nghĩa là lần thứ nhất S, lần thứ hai cũng S; SN có nghĩa là lần đầu S, lần hai N.

- gieo quân súc sắc có không gian mẫu là \(\Omega\) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (xem quân súc sắc ở hình dưới)

- gieo quân súc sắc hai lần thì không gian mẫu có 36 phần tử là \(\Omega\) = {(i,j) | i, j = 1, 2, 3, 4, 5,6}

3. Biến cố

Một biến cố A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi tập con \(\Omega_A\) nào đó của không gian mẫu \(\Omega\) của phép thử đó. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập \(\Omega_A\). Mỗi phần tử của \(\Omega_A\) được gọi là kết quả thuận lợi cho A. Hay nói cách khác, biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Ví dụ: Khi gieo đồng tiền hai lần (không gian mẫu là \(\Omega\) = {SS, SN, NS, NN}).

- Ta gọi biến cố A là "kết quả gieo hai lần như nhau". Khi đó biến cố A có thể mô tả bởi tập con của không gian mẫu \(\Omega_A\) = {SS, NN}

- Biến cố B = "có ít nhất một lần xuất hiện ngửa" = {SN, NS, NN}

- Biến cố C = "mặt sấp xuất hiện trong lần gieo đầu tiên" = {SS, SN}

Chú ý:

+ Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử (khi không gian của biến cố bằng không gian mẫu)

+ Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử (khi không gian của biến cố bằng rỗng)

4. Phép toán trên các biến cố:

a) Biến cố đối:

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử (A là tập con của không gian mẫu \(\Omega\)). Khi đó tập con \(\Omega\backslash A\) là biến cố đối của biến cố A và được kí hiệu là \(\overline{A}\).

Ví dụ: Phép thử gieo một quân súc sắc, gọi A là biến cố "xuất hiện mặt chẵn" thì A = {2; 4; 6}. Khi đó \(\overline{A}\) = {1 ; 3; 5} là biến cố đối của A và phát biểu bằng lời là "không xuất hiện mặt chẵn" hay tương đương "xuất hiện mặt lẻ".

b) Phép hợp và giao

Cho A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử (thực chất A và B là hai tập con của không gian mẫu \(\Omega\)). Khi đó:

- Tập \(A\cup B\) là hợp của hai biến cố A và B. Hay nói cách khác biến cố \(A\cup B\) xảy ra khi và chỉ khi hoặc biến cố A xảy ra, hoặc biến cố B xảy ra.

- Tập \(A\cap B\) là giao của hai biến cố A và B. Hay nói cách khác biến cố \(A\cap B\) xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B xảy ra. Chú ý \(A\cap B\) có thể viết là \(A.B\)

Ta tóm tắt các phép toán liên quan đến biến cố như sau:

Kí hiệu	Ngôn ngữ biến cố
\(A\subset\Omega\)	A là biến cố
\(A=\varnothing\)	A là biến cố không xảy ra
\(A=\Omega\)	A là biến cố chắc chắn xảy ra
\(C=A\cup B\)	C là biến cố : "A hoặc B"
\(C=A.B\)	C là biến cố: "A và B"
\(A\cap B=\varnothing\)	A và B xung khắc
\(B=\overline{A}\)	A và B là hai biến cố đối nhau

5. Xác suất của biến cố

Giả sử phép thử T có không gian mẫu \(\Omega\) và các kết quả của phép thử T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố của phép thử T được mô tả bởi tập \(\Omega_A\)llà các kết quả thuận lợi của biến cố A thì xác suất của biến cố A là \(P\left(A\right)=\frac{\left|\Omega_A\right|}{\left|\Omega\right|}\)

Với \(\left|\Omega_A\right|;\left|\Omega\right|\) lần lượt là số phần tử của tập hợp \(\Omega_A;\Omega\)

* Lưu ý :

Xác suất của một biến cố biểu diễn cho chúng ta khả năng xảy ra biến cố đó khi ta thực hiện phép thử.

Nếu A là biến cố chắc chắn thì \(P\left(A\right)=1\)

Nếu A là biến cố không xảy ra thì \(P\left(A\right)=0\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phép thử và biến cố, xác suất của biến cố

Tổ hợp - xác suất, chuyên đê ôn thi đại học