Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. Phương trình đưa về đa thức của một hàm lượng giác

Phương trình là đa thức hoặc đưa về đa thức của một hàm số lượng giác, ví dụ:

\(a.\sin^2x+b.\sin x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với sin x)

\(a.\cos^2x+b.\cos x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với cos x)

\(a.\tan^2x+b.\tan x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với tan x)

\(a.\cot^2x+b.\cot x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với cot x)

Chú ý: Các phương trình dạng sau có thể đưa về dạng đa thức của một hàm số lượng giác:

*) \(a.\cos^2x+b.\sin x+c=0\) (thay \(\cos^2x=1-\sin^2x\) thì được phương trình đa thức đối với sin)

*) \(a.\sin^2x+b.\cos x+c=0\) (thay \(\sin^2x=1-\cos x\) thì được phương trình đa thức đối với cos)

*) \(a.\cot^2x+b.\sin x+c=0\) (thay \(\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x}-1\) thì đưa về phương trình đa thức đối với sin)

*) \(a.\tan^2x+b.\cos x+c=0\) (thay \(\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}-1\) thì đưa về phương trình đa thức đối với cos)

*) \(a.\tan x+b.\cot x+c=0\) (thay \(\cot x=\frac{1}{\tan x}\) thì đưa về phương trình đa thức đối với tan)

Đặt ẩn phụ là hàm số lượng giác, đưa về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

1) Ví dụ 1 (ĐH-2004B). Giải phương trình

\(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\tan^2x\)

Giải:

Điều kiện \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{2}+n\pi\) (để tan x có nghĩa)

\(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\)

\(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}\)

\(5\sin x-2=3\frac{\sin^2x}{1+\sin x}\)

\(5\sin^2x+5\sin x-2-2\sin x=3\sin^2x\)

\(2\sin^2x+3\sin x-2=0\)

\(\sin x=\frac{1}{2}\) hoặc \(\sin x=-2\) (vô nghiệm)

\(\sin x=\sin\frac{\pi}{6}\)

\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) hoặc \(x=\pi-\frac{\pi}{6}+2l\pi=\frac{5\pi}{6}+2l\pi\), đối chiếu với điều kiện, cả hai họ nghiệm đều thỏa mãn