Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản

1) Phương trình sin x = a

- Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm vì \(-1\le\sin x\le1\)

- Nếu \(\left|a\right|\le1\), trên đường tròn lượng giác tâm O bán kính 1, kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ a và cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M và M'.

Gọi \(\alpha\) là số đo cung \(\stackrel\frown{AM}\), khi đó cung \(\stackrel\frown{AM'}\) bằng \(\pi-\alpha\). Ta dễ dạng nhận thấy các cung sau đây có tung độ (tức là sin của cung đó) bằng a:

\(\alpha+2k\pi\)

\(\left(\pi-\alpha\right)+2k\pi\)

Vậy nghiệm của phương trình là:

\(x=\alpha+2k\pi\)

hoặc \(x=\left(\pi-\alpha\right)+2k\pi\)

(với \(\alpha\) là cung có \(\sin\alpha=a\)).

Chú ý:

- Khi a là các số đặc biệt (0, \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\),\(\pm\frac{1}{2}\), \(\pm\)1) thì cung \(\alpha\) là số đo các góc đặc biệt (0, \(\pm\frac{\pi}{6}\), \(\pm\frac{\pi}{4}\), \(\pm\frac{\pi}{3}\), \(\pm\frac{\pi}{2}\))

- Khi a không phải là các số trên và \(-1\le a\le1\), ta kí hiệu cung \(\alpha\) thỏa mãn \(-\frac{\pi}{2}\le\alpha\le\frac{\pi}{2}\) và \(\sin\alpha=a\) là \(arcsin\) \(a\). Khi đó nghiệm của phương trinh sin x = a là: \(x=arcsin\left(a\right)+2k\pi\) và \(x=\pi-arcsin\left(a\right)+2k\pi\)

- Phương trình \(\sin x=\sin\alpha\) có nghiệm là:

\(x=\alpha+2k\pi\)

và \(x=\pi-\alpha+2k\pi\)

- Phương trình \(\sin f\left(x\right)=\sin g\left(x\right)\) tương đương với:

\(\left[\begin{array}{nghiempt}f\left(x\right)=g\left(x\right)+2k\pi\\f\left(x\right)=\pi-g\left(x\right)+2m\pi\end{array}\right.\)

- Phương trình \(\sin x=0\) có nghiệm là \(x=k\pi\) (hai họ nghiệm \(0+2k\pi\) và \(\pi-0+2k\pi\)có thể viết chung thành 1 họ nghiệm là \(k\pi\))

- Phương trình \(\sin x=1\) có nghiệm là: \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

- Phương trình \(\sin x=-1\) có nghiệm là: \(x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

Ví dụ: Giải phương trình

\(\sin x=\frac{1}{2}\)

Giải:

Vì \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) nên phương trình đã cho tương đương với:

\(\sin x=\sin\frac{\pi}{6}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\)

2) Phương trình cos x = a

- Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm (vì \(-1\le\cos x\le1\)

- Nếu \(-1\le a\le1\), lấy cung \(\alpha\) (cung \(\stackrel\frown{AM}\)) sao cho \(\begin{cases}0\le\alpha\le\pi\\\cos\alpha=a\end{cases}\) (góc \(\alpha\) như vậy có tên gọi là \(arccos\left(a\right)\)). Khi đó nghiệm của phương trình là:

\(x=\alpha+2k\pi=arccos\left(a\right)+2k\pi\) (Tương ứng với cung có điểm cuối M như trong hình dưới)

hoặc \(x=-\alpha+2k\pi=-arccos\left(a\right)+2k\pi\) (Tương ứng với cung có điểm cuối M' như trong hình dưới)

Chú ý:

- Khi \(a\in\left\{-1;-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right\}\) thì góc \(\alpha\) tương ứng là \(\alpha\in\left\{\pi;\frac{5\pi}{6};\frac{3\pi}{4};\frac{2\pi}{3};\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{6};0\right\}\)

- Phương trình \(\cos x=-1\) có nghiệm là \(x=\pi+2k\pi\)

- Phương trinh \(\cos x=0\) có nghiệm là \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

- Phương trình \(\cos x=1\) có nghiệm là \(x=2k\pi\)

- Phương trình \(\cos x=\cos\alpha\) có nghiệm là \(x=\pm\alpha+2k\pi\)

- Phương trình \(\cos f\left(x\right)=\cos g\left(x\right)\) tương đương với \(\left[\begin{array}{nghiempt}f\left(x\right)=g\left(x\right)+2k\pi\\f\left(x\right)=-g\left(x\right)+2k\pi\end{array}\right.\)

Ví dụ: Giải phương trình: \(\cos\left(2x\right)=\cos x\)

Giải: Phương trình đã cho tương đương với:

\(\left[\begin{array}{nghiempt}2x=x+2k\pi\\2x=-x+2h\pi\end{array}\right.\) (với \(k,h\in\mathbb{Z}\))

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2k\pi\\3x=2h\pi\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2k\pi\\x=\frac{2h\pi}{3}\end{array}\right.\)

3) Phương trình tan x = a

- Điệu kiện của phương trình: \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\))

- Trên mặt phẳng tọa độ có chứa đường tròn lượng giác, kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ a. Đường thẳng này cắt trục tang tại điểm B. Nối OB cắt đường tròn lượng giác tại M và M'. Cung \(\stackrel\frown{AM}\) có số đo là \(\alpha\) (\(-\frac{\pi}{2}< \alpha< \frac{\pi}{2}\) , \(\alpha\) còn được gọi là \(arctan\left(a\right)\)); Cung \(\stackrel\frown{AM'}\) có số đo là \(\alpha+\pi\). Các cung có điểm cuối M và M' có tang bằng a.

Nghiệm của phương trình \(\tan x=a\) là: \(x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) (tương ứng với các cung có điểm cuối là M hoặc M')

Chú ý:

- Khi \(a=0;\pm\frac{\sqrt{3}}{3};\pm1;\pm\sqrt{3}\) thì \(\alpha=arctan\left(a\right)=0;\pm\frac{\pi}{6};\pm\frac{\pi}{4};\pm\frac{\pi}{3}\)

- Phương trình \(\tan x=\tan\alpha\) có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)

- Phương trình \(\tan f\left(x\right)=\tan g\left(x\right)\) tương đương với \(f\left(x\right)=g\left(x\right)+k\pi\) , với \(k\in\mathbb{Z}\)

Ví dụ: Giải phương trình \(\tan\left(3x+15^o\right)=-\sqrt{3}\)

Ta có: \(\tan\left(-60^o\right)=-\sqrt{3}\) (vì vế trái có sử dụng số đo độ nên ta dùng số đo độ ở cả hai vế cho thống nhất)

Vậy phương trình đã cho tương đương với:

\(\tan\left(3x+15^o\right)=\tan\left(-60^o\right)\)

\(\Leftrightarrow3x+15^o=60^o+k.180^o\) với \(k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=-25^o+k.60^o\)

4) Phương trình cot x = a

- Điệu kiện của phương trình: \(x\ne k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\))

- Trên mặt phẳng tọa độ có chứa đường tròn lượng giác, kẻ đường thẳng song song với trục tung cắt trục tung tại điểm có hoành độ a. Đường thẳng này cắt trục côtang tại điểm B. Nối OB cắt đường tròn lượng giác tại M và M'. Cung \(\stackrel\frown{AM}\) có số đo là \(\alpha\) (\(-\pi< \alpha< \pi\) , \(\alpha\) còn được gọi là \(arccot\left(a\right)\)); Cung \(\stackrel\frown{AM'}\) có số đo là \(\alpha+\pi\). Các cung lượng giác có điểm cuối M và M' có côtang bằng a.

Nghiệm của phương trình \(\cot x=a\) là: \(x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) (tương ứng với các cung có điểm cuối là M hoặc M')

Chú ý:

- Khi \(a=0;\pm\frac{\sqrt{3}}{3};\pm1;\pm\sqrt{3}\) thì \(\alpha=arccot\left(a\right)=\pm\frac{\pi}{2};\pm\frac{\pi}{3};\pm\frac{\pi}{4};\pm\frac{\pi}{6}\)

- Phương trình \(\cot x=\cot\alpha\) có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)

- Phương trình \(\cot f\left(x\right)=\cot g\left(x\right)\) tương đương với \(f\left(x\right)=g\left(x\right)+k\pi\) , với \(k\in\mathbb{Z}\)

Ví dụ: Giải phương trình \(\cot x=-2\)

Giải: \(\cot x=-2\)

\(\Leftrightarrow x=arccot\left(-2\right)+k\pi\) (với \(k\in\mathbb{Z}\))

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học

Biến đổi lượng giác và hệ thức lượng

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác

Tìm max, min bằng phương pháp lượng giác hóa