Bài 1: Hàm số lượng giác

1.Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt :

Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Cung Giá trị lượng giác	0	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin x\)	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1
\(\cos x\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0
\(\tan x\)	0	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	1	\(\sqrt{3}\)	\|\|
\(\cot x\)	\|\|	\(\sqrt{3}\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	0

2. Hàm số \(\sin\) và hàm số côsin

a) Hàm số sin

Có thể đặt tương ứng mỗi số thực x với một điểm M duy nhất trên đường tròn lượng giác mà số đo cung \(\widehat{AM}\) bằng x (rad) hình (a). Điểm M có tung độ hoàn toàn xác định, đó chính là giá trị sin x

Biểu diễn giá trị của x trên trục hoành và giá trị của sin x trên trục tung, ta được hình (b)

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x :

sin : \(R\rightarrow R\)

\(x\rightarrow y=\sin x\)

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là \(y=\sin x\)

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = sin x

- Tập xác định của hàm số sin là R

- Miền giá trị: \(-1\le\sin x\le1\)

- Là hàm số lẻ [ vì sin (-x) = -sin x ]

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) [ vì sin(x+2k\(\pi\)) = sin(x) ]

- Đồ thị hàm số: Để vẽ đồ thị hàm số trên toàn trục số, ta vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên [0 ; \(\pi\) ], rồi sử dụng tính chất hàm số lẻ để suy ra đồ thị trên [\(-\pi\) ; 0] (hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ) và suy ra đồ thị trên toàn trục số dựa trên tính chất tuần hoàn chu kì \(2\pi\) của hàm sin x.

+) vẽ đồ thị trên [0 ; \(\pi\) ]:

x	0	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\pi\)
sin x	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0

Khảo sát sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên [0 ; \(\frac{\pi}{2}\)] và nghịch biến trên [\(\frac{\pi}{2}\) ; \(\pi\) ], đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = \(\frac{\pi}{2}\).

+) Vẽ đồ thị trên toàn trục số: áp dụng tính chất hàm lẻ, lấy đối xứng đồ thị trên đoạn [0, \(\pi\) ] qua gốc tọa độ; sau đó áp dụng tính chất tuần hoàn chu kì \(2\pi\) ta được đồ thị hàm số sin đầy đủ như sau:

b) Hàm số côsin

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x

\(\cos:R\rightarrow R\)

\(x\rightarrow y=\cos x\)

được gọi là hàm côsin, ký hiệu là \(y=\cos x\)

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = cos x

- Tập xác định của hàm số côsin là R

- Miền giá trị: \(-1\le\cos x\le1\)

- Là hàm số chẵn [ vì cos (-x) = cos x ]

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) [ vì cos(x+2k\(\pi\)) = cos(x) ]

- Đồ thị hàm số: Để vẽ đồ thị hàm số y = cos x ta có 2 cách:

Cách 1: tương tự cách vẽ hàm số sin x ở trên, ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x trên [0 ; \(\pi\) ], rồi sử dụng tính chất hàm số chẵn để suy ra đồ thị trên [\(-\pi\) ; 0] (hàm số chẵn đối xứng qua trục tung); sau đó suy ra đồ thị trên toàn trục số dựa trên tính chất tuần hoàn chu kì \(2\pi\) của hàm cos x.

Cách 2: Đồ thị y = cos x có thể suy ra từ đồ thị hàm số y = sin x như sau: Ta có cos x = sin \(\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\). Vậy nếu ta tịnh tiến đồ thị y = sin x theo vec tơ \(\overrightarrow{u}=\left(-\frac{\pi}{2};0\right)\) (tức là tịnh tiến sang trái mọt đoạn có đọ dài bằng \(\frac{\pi}{2}\), song song với trục hoành) thì ta được đồ thị hàm số y = cos x (xem hình vẽ dưới).

2. Hàm số tang và hàm số côtang

a) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức :\(y=\frac{\sin x}{\cos x},\left(\cos x\ne0\right)\), ký hiệu là \(y=\tan x\)

- Tập xác định: Vì \(\cos x\ne0\) khi và chỉ khi \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in Z\right)\) nên tập xác định của hàm số \(y=\tan x\) là \(D=R\)/\(\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\right\}\)

- Là hàm số lẻ [ vì tan (-x) = - tan(x)

- Hàm số tuần hoàn chu kì \(\pi\)

- Đồ thị: Vẽ đồ thị trên đoạn [0, \(\frac{\pi}{2}\)), rồi lấy đối xứng qua gốc tọa độ (do là hàm lẻ), sau đó dựng đồ thị trên toàn trục số dựa trên tính chất tuần hoàn. Đồ thị hàm số như sau:

b) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức :\(y=\frac{\cos x}{\sin x},\left(\sin x\ne0\right)\), ký hiệu là \(y=\cot x\)

- Tập xác định: Vì \(\sin x\ne0\) khi và chỉ khi \(x\ne k\pi\left(k\in Z\right)\) nên tập xác định của hàm số \(y=\cot x\) là \(D=R\)/\(\left\{k\pi,k\in Z\right\}\)

- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi\)

- Đồ thị: