Toàn bộ công thức Toán THPT- Hoàng Trung Hiếu

HOÀNG TRUNG HIẾU Gmail:[email protected] TOÙM TAÉT TẤT CẢ COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN KHỐI THPT    0  af ( )  0  k /   x1  x2    af ( )  0 S I/ ÑAÏI SOÁ:    0 2 1. Tam thöùc baäc hai: Cho tam thöùc baäc hai S f ( x) ax 2  bx  c    0 2 b 2 (a 0; ,  R;   ; S   ;  b  4ac) 2. Baát ñaúng thöùc: a Caùc tính chaát cuûa baát ñaúng thöù  0 a / f ( x) 0, x  R   a  b  a c * a  0 b  c   0 *a  b  a c  b  c b / f ( x ) 0, x  R    a 0  c  0  ac  bc * c / x1    x2  af ( )  0 a  b  c  0  0 *  ac  bc  a  b d /   x1  x2  af ( )  0 S a  b  a c  b  d *    0 2 c  d *a  c  b  a b  c    0 a  b 0   ac  bd * e / x1  x2     af ( )  0 c  d 0 S    0 a  b 0 *  a n  bn 2 * n  N    x1  x2   0 f /  *a  b 0  a  b x  x    af ( )  0  1 2 *a  b  3 a  3 b af ( )  0 g / x1    x2     Baát ñaúng thöùc chöùc giaù trò tuye af ( )  0  a a  a a R  af ( )  0 h / x1      x2   x a   a  x a a  0   af ( )  0 x  a  x   a x a  af ( )  0 i /   x1    x2   a  b  a b  a  b ( a,b  R )  af ( )  0 Baát ñaêûng thöùc Cauchy( cho caùc s  x    x2    f ( ). f ( )  0 j/ 1 aâm):    x1    x2 a b  ab daáu “=” xaûy ra khi a = b * 2 a b c 3  abc * 3 1 HOÀNG TRUNG HIẾU Gmail:[email protected] daáu “=” xaûy ra khi a= b= c 6. Phöông trình , baát phöông trình chöù Baát ñaúng thöùc Bunyakovsky ( cho caùc soá caên thöùc: thöïc): ( B 0)  A 0 * A B  2 2 2 2 *ab  cd  (a  c )(b  d )  A B Daáu “=” xaûy ra khi ad= bc  B 0 * A  B   2 *a1 b1  a2b2  c3b3  a12  a22  a32  b12  b22  b32   A B a a2 a3  A 0 Daáu “=” xaûy ra 1khi   * A B  b1 b2 b3 A  B 3. Caáp soá coäng: a/Ñònh nghóa: Daõy …….,u un,……. 1, u2soá * AB Goïi laø caáp soá coäng coù coâng sai laø d neáu un un 1  d  A 0  B  0  A  B2   B  0   A 0 * A  B    B 0  2   A  B  (n  1)d b/Soá haïng thöù un u1n: c/Toång cuûa n soá haïng ñaàu tieân: n n Sn  (u1  un )  [2u1  (n )d ] 2 2 4. Caáp soá nhaân: 7. Phöông trình, baát phöông trình loga a/Ñònh nghóa: Daõy …….,u un,……. 1, u2soá 0  a 1 Goïi laø caáp soá nhaân coù coâng boäi laø q neáu  *log a f ( x) log a g (x )   f ( x )  0 ( g (x )  0) un un 1.q  un u1n: .q n  1 b/Soá haïng thöù c/Toång cuûa n soá haïng ñaàu tieân: 1  qn Sn u1 (q 1) 1 q u Neáu 1 q  1 lim Sn  1 n  1 q f(x)=g(x) 0  a 1  f ( x)  0  *log a f ( x)  log a g (x )    g (x )  0 ( a  1) f ( x )  g (x )   0  8. Phöông trình , baát phöông trình muõ 5. Phöông trình, baát phöông trình chöùa giaù  0  a 1 trò tuyeät ñoái:   f ( x )  g (x ) f ( x) g (x ) * A B  A  B *a a   a 1  B 0  * A B     / f ( x), g (x ) B A   a  0 A  B *a f ( x )  a g (x )   * A B  ( a  1) f ( x)  g (x )   0  A  B * A  B  A2  B 2 AB * A B   A  B 2 HOÀNG TRUNG HIẾU 9. Luõy thöøa: *a .a .a  a    Gmail:[email protected] II. LÖÔÏNG GIAÙC: A.COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC 1. Heä thöùc cô baûn: sin 2 x  cos 2 x 1 sin x tgx  cos x cos x cot gx  sin x tgx.cot gx 1 1 1  tg 2x  2 cos x 1 1  cot g 2x  2 sin x 2. Cung lieân keát: Cung ñoái: cos(  x) cos x a a    a *(a  )  a   *   * a  a   a  a    b  b  *a b  (a.b)  * *a    1 a k n m n.m k k * a  a a 10.Logarit:0<N 0  a,b 1 ta coù: 1, N2, N vaø M *log a N M  N  a n.m *log a a M M *a log a N sin(  x )  sin x N loga N 2 1 tg (  x )  tgx log a N1 cot g ( x)  cot gx *log a( N1N 2 ) log a N1  log a N 2 Cung buø: sin(   x) sin x cos(   x)  cos x *N N 2 N  *log a  1  log a N1  log a N 2  N2  *log a N   log a N tg (   x)  tgx cot g (   x)  tgx 1 *log a  N  log a N Cung phuï:  log N *log a N  b logb a 1 *log a b  logb a  sin(  x) cos x 2  cos(  x) sin x 2  tg (  x) cot gx 2  cot g (  x) tgx 2 Cung hôn keùm : sin(   x)  sin x cos(   x )  cos x tg (   x ) tgx cot g (   x) cot gx 3 HOÀNG TRUNG HIẾU Gmail:[email protected] 6. Coâng thöùc bieåu dieãn theo sinx x theot tg 2 2t sin x  1 t2 1 t2 cos x  1 t2 2t tgx  1 t2 7. Coâng thöùc bieán ñoåi: a/Tích thaønh toång: 1 cos x.cos y   cos( x  y )  cos( x  y ) 2 1 sin x sin y   cos( x  y )  cos( x  y )  2 1 sin x cos y   sin( x  y )  sin( x  y )  2 b/Toång thaønh tích: x y x y cos x  cos y 2 cos cos 2 2 x y x y cos x  cos y  2 sin sin 2 2 x y x y sin x  sin y 2 sin cos 2 2 x y x y sin x  sin y 2 cos sin 2 2 sin( x  y ) tgx  tgy  cos x cos y sin( x  y ) tgx  tgy  cos x cos y sin( x  y ) cot gx  cot gy  sin x sin y sin( x  y ) cot gx  cot gy  sin x sin y  Cung hôn keùm 2  sin(  x) cos x 2  cos(  x)  sin x 2  tg (  x )  cot gx 2  cot g (  x )  tgx 2 3. Coâng thöùc coäng: sin( x  y ) sin x cos y sin y cos x cox(x  y ) cos x cos y sin x sin y tgx tgy tg (x  y )  1 tgxtgy 4. Coâng thöùc nhaân ñoâi: sin 2x 2 sin x cos x cos 2x 2 cos2 x  1 1  2 sin2 x cos 2 x  sin 2 x 2tgx tg 2 x  1  tg 2x 1  cos 2x cos 2 x  2 1  cos 2x sin 2 x  2 5. Coâng thöùc nhaân ba: sin 3x 3sin x  4 sin3 x cos 3x 4 cos3 x  3cos x 3tgx  tg 3x 1  3tg 2x 3cos x  cos 3x cos3 x  4 3sin x  sin 3x sin 3 x  4 tg 3x  Ñaëc bieät:   sin x  cos x  2 sin(x  )  2 cos(x  ) 4 4 sin x  cos x  2 sin(x    )   2 cos(x  ) 4 4 1 sin 2x (sin x cos x) 2 4 HOÀNG TRUNG HIẾU Gmail:[email protected] vaø ñaët t= tgx Chuù yù: 1 d d (1 tg 2x ) cos2 x 5. Phöông trình daïng: a.(sin x cos x)  b sin x.cos x  c 0 Caùch giaûi: Ñaët  t sin x cos x  2 sin(x  )   2 t  2 4 2 t 1 1 t2  sin x.cos x  (sin .cos x x ) 2 2 vaø giaûi phöông trình baäc hai theo t II.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC: 1. Phöông trình cô baûn:  x u  k 2  a / sin x sin u   k  Z   x   x  k 2    k2  2  sin x  1  x   k 2  2 sin x 0  x k   x u  k 2  b / cos x cos u   (k  Z)  x  u  k 2  cos x 1  x  k 2  cos x  1  x   k 2   cos x 0  x k 2 c / tgx tgu  x u  k  ( k  Z ) d / cot gx cot gu  x u  k  ( k  Z ) sin x 1  x III. Heä thöùc löôïng trong tam giaùc: 1. Ñònh lyù cosin: a 2 b 2  c 2  2bc cos A b 2 a 2  c 2  2ac cos B c 2 a 2  b 2  2ab cos C b2  c2  a 2 2bc 2 a  c 2  b2  cos B 2. Phöông trình baäc n theo moät haøm soá 2ac 2 löôïng giaùc: a  b2  c 2 cos C  Caùch giaûi: Ñaët t = sinx (hoaëc cosx, tgx, 2ab cotgx) ta chuyeån veà phöông trình: 2. Ñònh lyù haøm soá sin: ant n  an 1t n  1  ......  a0 0 a b c   2 R Chuù yù: neáu ñaët t = sinx hoaëc cosx thí sin A sin B sin C chuù yù ñieàu kieän 1 t 1 3. Coâng thöùc tính ñoä daøi ñöôøng tru 3. Phöông trình baäc nhaát theo sinx vaø tuyeán: cosx: b2  c 2 a 2 2  ma  a sin x  b cos x c 2 4 2 2 Ñieàu kieän ñeå coù nghieäm: a 2  b2 c2 a  c b2 2 m   b a 2 cho  b2 vaø Caùch giaûi: Chia hai veá 2 4 2 2 sau ñoù ñöa veà phöông trình löôïng giaùc a  b c2  mc2  cô baûn 2 4 4. Phöông trình ñaúng caáp baäc hai ñoái vôùi sinx vaø cosx: a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d 0 Caùch giaûi: *Xeùtcos x 0  x  2 cos A   k  coù laø nghieämkhoâng? 2 *Xeùtcos x 0 chia 2 veá chia cho xcos 5 HOÀNG TRUNG HIẾU Gmail:[email protected] 4. Coâng thöùc ñoä daøi ñöôøng phaân giaùc ax x dx x  C a dx  ln a  C trong: 1 x  A x dx  1  C (  1) cos xdx sin x  C 2bc cos 2 la  dx bc sin xdx  cos x  C ln x  C  x B dx 2ac cos tgx  C dx 1  2   C cos 2 x lb  2  x x a c dx x x  cot gx  C C   e dx e C   sin 2 x 2ab cos 2 lc  a b 1 Chuù yù: 5. Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc: f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C 1 1 1 S  a.ha  b. hb  c.hc 3. Dieän tích hình phaúng- Theå tích vaä 2 2 2 troøn xoay: 1 1 1 S  bc.sin A  ab.sin C  ac.sin B -Vieát phöông trình caùc ñöôøng giôùi haïn 2 2 2 phaúng. abc S  p.r  -Choïn coâng thöùc tính dieän tích: 4R S  p (p  a )( p  b)( p  c) a S  ) III. ÑAÏO HAØM VAØ TÍCH PHAÂN:  f ( x)  g (x dx 1. Ñaïo haøm caùc haøm soá thöôøng gaëp: 1/( x  ) '  .x  1 2 /( x ) '  1 2 x 1 1 3 /  '   2 x  x 4 /(sin x) ' cos x 5 /(cos x) '  sin x 6 /(tgx) '  1 cos 2 x b -Choïn coâng thöùc tính theå tích: *Hình phaúng quay quanh truïc Ox: u' 2 u u' 1 14 /   '   2 u u 15 /(sinu ) ' u '.cos u 16 /(cosu ) '  u '.sin u 13 /( u ) '  a V   f 2 ( x)  g 2 ( x)dx b *Hình phaúng quay quanh truïc Oy: a V   f 2 ( y )  g 2 ( y )dy u' cos 2 u b -Bieán x thì caän laø x= a; x=b laø hoaønh caùc giao ñieåm. Bieán y thì caän laø y= a; y=b laø tung ño giao ñieåm. 1 u' 7 /(cot gx) '   2 18 /(cot gu ) '   2 sin x sin u x x u u 8 /(e ) ' e 19 /(e ) ' u 'e 9 /(a x ) ' a x ln a 20 /(a u ) ' u 'a u ln a 1 10 /(ln x) '  x u' 21/(ln u ) '  u a S  f ( y )  g (y dy ) 12 /(u ) '  .u  1.u ' 17 /(tgu ) '  b IV. HÌNH HOÏC: PHEÙP DÔØI HÌNH  Pheùp bieán hình: Pheùp bieán hình ( tr 1 u' maët phaúng) laø moät quy taéc ñeå vôùi 11/(log a x) '  22 /(loga u ) '  x.ln a u.ln a ñieåm M thuoäc maët phaúng, xaùc ñònh moät ñieåm duy nhaát M’ thuoäc maët ph 2. Nguyeân haøm caùc haøm soá thöôøng gaëp: aáy. Ñieåm M’ goïi laø aûnh cuûa ñieåm M pheùp bieán hình ñoù. 6 HOÀNG TRUNG HIẾU Gmail:[email protected] PHEÙP TÒNH TIEÁN VAØ PHEÙP DÔØI HÌNHPHEÙP ÑOÁI XÖÙNG TRUÏC  Ñònh nghóa pheùp tònh tieán: Pheùp tònh  tieán Ñònh nghóa pheùp ñoái xöùng truïc: P xöùng qua ñöôøng thaúng a laø pheùp phe u laø moät pheùp bieán hình bieán theo vectô hình moãi ñieåm M thaønh ñieåm M’ ñoái MM cho ' u. ñieåm M thaønh ñieåm M’ sao vôùi M qua a Pheùp tònh tieán theou vectô thöôøng ñöôïc  Ñònh lyù: Pheùp ñoái xöùng truïc laø moä kyù hieäu laø T Thoaëc . Vectôu ñöôïc goïi laø u dôøi hình vectô tònh tieán.  Bieåu thöùc toïa ñoä:  Tính chaát cuûa pheùp tònh tieán: Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp ñoái xöù Ñònh lyù 1: Neáu pheùp tònh tieán bieán hai truïc Ox bieán ñieåm M(x; y) thaønh M’( x’ ñieåm M vaø N laàn löôït thaønh hai ñieåm M’ y’) ta coù: vaø N’ thì M’N’ = MN  x ' x   y '  y Ñònh lyù 2: Pheùp tònh tieán bieán ba ñieåm  Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp ñoái xöù thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø khoâng laøm thay ñoåi thöù töï ba ñieåm ñoù truïc Oy bieán ñieåm M(x; y) thaønh M’( x’ y’) ta coù: Heä quaû: Pheùp tònh tieán bieán ñöôøng thaúng  x '  x thaønh ñöôøng thaúng, bieán tia thaønh tia, bieán  ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù,  y '  y  Truïc ñoái xöùng cuûa moät hình: Ñöô bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, thaúng d goïi laø truïc ñoái xöùng cuûa hìn bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng Ñ H thaønh chính noù, baùn kính, bieán goùc thaønh goùc baèng noù. neáu pheùp ñoái d bieán töùc laø Ñ =H  Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp tònh tieán: d(H) Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Oxy, PHEÙP QUAY VAØ PHEÙP ÑOÁI XÖÙNG TAÂ u . vectô cho pheùp tònh tieán theo  Ñònh nghóa pheùp quay: Trong maët p Bieát toïa ñoäucuûa laø (a,b). Giaû söû ñieåm löôïng gia M(x;y) bieán thaønh ñieåm M’(x’; y’). Khi ñoù cho ñieåm O coá ñònh vaø goùc  khoâng ñoåi. Pheùp bieán hình bieán ñieåm thaønh ñieåm O, bieán moãi ñieåm M khaù thaønh ñieåm M’ sao cho OM = OM’ vaø Pheùp dôøi hình: Pheùp dôøi hình laø pheùp (OM ,OM ')   ñöôïc goïi laø pheùp quay quay . pheùp bieán hình khoâng laø thay ñoåi khoaûngtaâm O goùc  ta coù:  x ' x  a   y ' y  b  caùch giöõa hai ñieåm baát kì.  Ñònh lyù: Pheùp quay laø moät pheùp d Ñònh lyù: Pheùp dôøi hình bieán ba ñieåm thaúng  Pheùp ñoái xöùng taâm: Pheùp ñoái xö haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø khoâng ñieåm O laø moät pheùp bieán hình bieán laøm thay ñoåi thöù töï ba ñieåm ñoù, bieán ñieåm M thaønh ñieåm M’ ñoái xöùng vôù ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng thaúng, bieán tiaqua O, coù nghóa  OMlaø OM ' 0 thaønh tia, bieán ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn  Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp ñoái thaúng baèng noù, bieán tam giaùc thaønh tamTrong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä giaùc baèng noù, bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng cho pheùp ñoái xöùng taâm I(a;b). Giaû sö troøn coù cuøng baùn kính , bieán goùc thaønh M(x;y) bieán thaønh ñieåm M’(x’; y’). Khi ñ goùc baèng noù. 7 HOÀNG TRUNG HIẾU ta coù:  x ' 2a  x   y ' 2b  y Gmail:[email protected] Toïa ñoä ñieåm G ñöôïc xaùc ñònh bôûi: x A  xB  xC   x G  3 G y A  yB  yC  Taâm ñoái xöùng cuûa moät hình: Ñieåm  yOgoïi G  laø taâm ñoái xöùng cuûa moät hình H neáu pheùp 3 ñoái xöùng taâm Ñ hình H thaønh chính o bieán *Cho tam giaùc ABC coù noù, töùc olaø (H)Ñ= H AB (a1a ; 2 ), AC (b1 ;b 2 ) HAI HÌNH BAÈNG NHAU: 1  S  ab  ab  Ñònh lyù:Neáu ABC vaø A’B’C’ laø hai tam ABC 2 1 2 2 1 giaùc baèng nhau thì coù pheùp dôøi hình2/ bieán Ñöôøng thaúng: tam giaùc ABC thaønh tam giaùc A’B’C’. a/Phöông trình ñöôøngthaúng : Töø ñònh lyù treân ta coù theå phaùt bieåu: Hai -Phöông trình toång quaùt: Ax  By  C 0 tam giaùc baèng nhau khi vaø chæ khi coù pheùp Vectô phaùp tuyeán n ( A; B ); A2  B2 0 dôøi hình bieán tam giaùc naøy thaønh tam giaùc  x x0  at kia. tR -Phöông trình thamsoá: y  y  bt  0 Vectô chæ phöông u (a;b ) vaø qua ñieåm0;M(x y0) x x y  y0 -Phöông trình chính taéc:0  a b HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH: x y  1 -Phöông trình ñoaïn chaén: I/ PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT a b PHAÚNG:  qua A( a; 0) ; B(0; b) 1/ Toïa ñoä cuûa vectô: Caùc coâng thöùc caàn b/ nhôù Goùc taïo bôûi hai ñöôøng thaúng:  By  C 0 Ax * AB ( xB  xA , yB  y A ) A 'x  B 'y  C ' 0 MA k k: *Ñieåm M chia ñoaïn AB theo tæ soá A. A ' B.B ' MB Cos  ( k 1 ) A2  B 2 . A '2  B '2 Toïa ñoä ñieåm M ñöôïc xaùc ñònh bôûi: M (x 0 ; yñieåm c/Khoaûng caùch töø moät 0 ) ñeán x A  kxB  ñöôøng thaúng:  xM  1  k Ax  By 0 C M dM /   0 y  ky B y  A A2  B 2  M  1 k d/Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa g *Ñieåm I laø trung ñieåm cuûa AB: bôûi hai ñöôøng thaúng: Toïa ñoä ñieåm I ñöôïc xaùc ñònh bôûi: AX  By  C A 'x  B 'y  C '   x A  xB  2 2 A B A '2  B '2  xI  2 I e/Xaùc ñònh phöông trình ñöôøng phaân g  y  y A  yB vaø phaân giaùc ngoaøi  I 2 Hai ñieåm M(x 1; y1) vaø M’(x 2; y2) naèm cuøng phía *Ñieåm G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC: so vôùi   t1.t2  0 Hai ñieåm M(x 1; y1) vaø M’(x 2; y2) naèm khaùc phía   t1.t2  0 so vôùi 8