A. Phương pháp giải
- Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ. Khi đó MH chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau:
+ Trong mp(M; Δ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d(M; Δ) = MH
+ Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d(M; Δ) = MH.
- Hai công thức sau thường được dùng để tính MH:
+ Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì
+ MH là đường cao của tam giác MAB thì
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?
A. 2a B. 4a C.3a D. 5a
Hướng dẫn giải
+ Kẻ AH vuông góc với BC
Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC
Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)
⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH
+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có
Chọn D
Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng
Hướng dẫn giải
+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao và MC = a√3/2
+ Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM
Ta có:
Chọn đáp án C
Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án B
Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:
+ Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH
⇒ tam giác SAH vuông tại S.
Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có:
Chọn B
Ví dụ 4: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
(Định lý 3 đường vuông góc)
⇒ d(A, BD) = AM, CM = a√3/2 (vì tam giác BCD đều).
+ AC vuông góc ( BCD) nên AC vuông góc CM hay tam giác ACM vuông tại C.
⇒
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60° . Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến SC.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Kẻ AH ⊥ SC, khi đó d(A; SC) = AH
+ Do ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ AC = a
+ Do SA vuông góc (ABCD) nên SA vuông góc AC hay tam giác SAC vuông tại A.
Trong tam giác vuông ta có:
Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.
Hướng dẫn giải
Chọn A
+ Kẻ OH ⊥ SC , khi đó d(O; SC) = OH
+ Ta có: ΔSAC ∼ ΔOHC (g.g) (g-g) nên
Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
Hướng dẫn giải
Chọn D
+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)
+ Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α nên : ∠SDO = α
Kẻ OH ⊥ SD, khi đó d(O, SD) = OH
Ta có: BD = a√a nên OD = (1/2)BD = (1/2).a√2 = (a√2)/2
+ Xét tam giác vuông OHD:
OH = OD.sinα = (a√2/2).sinα
Được cập nhật: hôm qua lúc 12:48:02 | Lượt xem: 577