Tuyển tập đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 có lời giải chi tiết

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2018 - 2019 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1. Cho hàm số y = x 3 - 6 x 2 + 9 x có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây Hình 1 Hình 2 A. y = x - 6 x 2 + 9 x . B. y = x + 6 x 2 + 9 x . C. y = -x 3 + 6 x 2 - 9 x . D. y = x 3 - 6 x 2 + 9 x . 3 3 Lời giải. Đồ thị Hình 2 có được bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải trục tung của Hình 1 qua trục tung. Chọn A. Câu 2. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (-1;2 ) thì hàm số y = f ( x + 2 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? B. (1;4 ). C. (-3;0 ). A. (-1;2). D. (-2; 4 ). Lời giải. Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thị của hàm số y = f ( x + 2). Khi đó, do hàm số y = f ( x ) liên tục và đồng biến trên khoảng (-1;2) nên hàm số y = f ( x + 2) đồng biến trên (-3;0). Chọn C. Câu 3. Cho hàm số y = ( x 2 + x ) e x xác định trên . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số chỉ có một cực đại không có cực tiểu. B. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu. C. Hàm số chỉ có một cực tiểu không có cực đại. D. Hàm số không có cực trị. Lời giải. Ta có y ¢ = ( x 2 + 3 x + 1) e x . Phương trình y ¢ = 0 có hai nghiệm đơn. Chọn B. ax + b với a > 0 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh cx + d đề nào sau đây đúng? B. b > 0, c < 0, d < 0. A. b > 0, c > 0, d < 0. Câu 4. Hàm số y = C. b < 0, c < 0, d < 0. D. b < 0, c > 0, d < 0. 1 Lời giải. Từ đồ thị hàm số, ta thấy b b a>0 b >0 ● Khi y = 0 ¾¾  x = - < 0 ¾¾ ¾  b > 0. ● Khi x = 0 ¾¾  y = < 0 ¾¾ ¾ d < 0 . a d d d <0  c > 0. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = - > 0 ¾¾¾ c Vậy b > 0, c > 0, d < 0. Chọn A. Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + a ( a là tham số) trên đoạn [1;2 ]. B. min y = a. A. min y = 0. [-1;2 ] [-1;2 ] C. min y = a + 1. [-1;2 ] D. min y = a + 4. [-1;2 ] Lời giải. Có y ¢ = 2 x > 0, "x Î [1;2 ]. Do đó min y = y (1) = a + 1. Chọn A. [-1;2 ] Câu 6. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = x 4 + mx 2 + n với m , n Î  , biết phương trình x 4 + mx 2 + n = 0 có k nghiệm thực phân biệt, k Î  * . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. k = 2 và mn < 0. B. k = 2 và mn > 0. D. k = 4 và mn < 0. C. k = 4 và mn > 0. Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình x 4 + mx 2 + n = 0 có 4 nghiệm phân biệt, suy ra k = 4. Do đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên m < 0, ta thấy hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên n > 0 ¾¾  mn < 0. Chọn D. Câu 7. Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 1- x ( x -1) x A. n = d = 1. . Khẳng định nào sau đây là đúng? B. n = 0; d = 1. C. n = 1; d = 2. Lời giải. TXĐ: D = (0;1) ¾¾  không tồn tại D. n = 0; d = 2. lim y và lim y . Suy ra đồ thị hàm số x -¥ x +¥ éx = 0 . Ta có: không có tiệm cận ngang. Xét phương trình ( x -1) x = 0 « ê êx = 1 ë 1- x = ¥ ¾¾  x = 0 là TCĐ; • lim+ x  0 ( x - 1) x • lim x 1- 1- x ( x -1) x = limx 1 -1 x -1 x = ¥ ¾¾  x = 1 là TCĐ. Vậy n = 0; d = 2. Chọn D. Câu 8. Cho một từ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm và chiều rộng 8cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm dưới như hình vẽ. Gọi độ dài nếp gấp là y thì giá trị nhỏ nhất của y là bao nhiêu? 3 A. 3 5. B. 3 7. C. 6 2. D. 6 3. Lời giải. Gọi các điểm như hình vẽ, kẻ PQ vuông góc với CD. Đặt BM = x ( x £ 8). Để N chạm đáy CQ thì MB > MC nên x > 4. MN NC Ta có DMNC ∽ DNPQ nên = NP PQ x NC  =  PB 8 2 x y2 - x 2 = x 2 - (8 - x ) 8  y2 = x3 . x -4 Ta chú ý thêm điều kiện PB £ AB = 12  y 2 - x 2 £ 12 x3 - x 2 £ 12  18 - 6 x -4 x3 trên Xét hàm f ( x ) = x -4  x £8 5 £ x £ 18 + 6 5 ¾¾ ¾  18 - 6 5 £ x £ 8. é18 - 6 5;8ù , ta được êë úû min f ( x ) = f (6) = 108. é18-6 5;8ù úû ëê Suy ra ymin = 108 = 6 3. Chọn D. ì ï log (sin x ) + log (cos x ) = -1 ï ï Câu 9. Cho số tự nhiên n thỏa í . Giá trị của n là 1 ï log (sin x + cos x ) = (log n -1) ï ï 2 ï î A. 9. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải. Ta có æ1 ö 1 1 1 log (sin x ) + log (cos x ) = -1  log çç sin 2 x ÷÷÷ = -1  sin 2 x =  sin 2 x = . (1) çè 2 ø 2 10 5 1 • log (sin x + cos x ) = (log n -1)  2 log (sin x + cos x ) = log n - log10 2 n n n 2 2  log (sin x + cos x ) = log  (sin x + cos x ) =  sin 2 x = -1. (2 ) 10 10 10 1 n Từ (1) và (2), ta có = -1  n = 12. Chọn D. 5 10 • Câu 10. Kí hiệu max {a; b } là số lớn nhất trong hai số a, b. Tập nghiệm S của bất ïì ïü phương trình max ïílog 2 x ;log 1 x ïý < 1 là ïîï ïï 3 þ æ1 ö B. S = çç ;2÷÷÷. A. S = [1;2). çè 3 ø æ1 ö C. S = çç ; +¥÷÷÷. çè 3 ø 1 Lời giải. • Nếu log 2 x ³ log 1 x  log 2 .log 1 x ³ log 1 x  log 1 3 3 3 3 3 ì ï Khi đó max íïlog 2 x ;log 1 ï 3 ï î D. S = (0;2). æ 1 ö x ççlog 2 -1÷÷÷ ³ 0  x ³ 1. çè 3 ø üï x ýï < 1  log 2 x < 1  x < 2. Do đó S1 = [1;2 ). ï ï þ 4 æ 1 1 ö • Nếu log 2 x £ log 1 x  log 2 .log 1 x £ log 1 x  log 1 x ççlog 2 -1÷÷÷ £ 0  x £ 1. çè 3 3 ø 3 3 3 3 ìï üï æ1 ù 1 Khi đó max ïílog 2 x ;log 1 x ïý < 1  log 1 x < 1  x > . Do đó S2 = çç ;1ú . ïï ïï èç 3 úû 3 3 þ 3 î æ1 ö Vậy S = S1 È S2 = çç ;2÷÷÷. Chọn B. çè 3 ø Câu 11. Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 và đồ thị của ba hàm số y = a x , y = log b x , y = c x trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a > b > a. B. c < a < b. D. b > c > a. C. c < b < a. Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số y = a x và y = log b x là các hàm đồng biến nên a > 1, b > 1. Hàm số y = c x là hàm nghịch biến nên 0 < c < 1. Vẽ đồ thị hàm số y = log a x bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y = a x qua đường thẳng y = x (như hình vẽ). Đến đây ta kẻ đường thẳng y = 1 dễ dàng so sánh được a < b. Vậy c < a < b. Chọn B. Câu 12. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x .cos 2 x là 1 1 x - sin 4 x + C . 4 16 1 1 C. x + sin 4 x + C . 8 32 1 1 x - sin 4 x + C . 8 8 1 1 D. x - sin 4 x + C . 8 32 1 1 1 - cos 4 x 1 dx = ò (1 - cos 4 x ) dx Lời giải. Ta có ò sin 2 x .cos 2 xdx = ò sin 2 2 xdx = ò 4 4 2 8 1æ sin 4 x ÷ö 1 1 = çç x + C = x - sin 4 x + C . Chọn D. ÷ ÷ 8 çè 4 ø 8 32 B. A. 5 Câu 13. Biết I = ò 2 x - 2 +1 1 x dx = 4 + a ln 2 + b ln 5 với a, b Î . Tính S = a + b. B. S = 5 . ì x - 2 khi x ³ 2 ï Lời giải. Ta có x - 2 = ï . í ï 2 x khi x £ 2 ï î A. S = -3 . 2 Do đó I = ò 1 2 x - 2 +1 x 5 dx + ò 2 2 x - 2 +1 x C. S = 9 . dx 5 D. S = 11 . 2 =ò 1 2 (2 - x ) + 1 x 5 dx + ò 2 ( x - 2) + 1 x 2 5 æ5 ö÷ æ 3ö ç dx = ò ç - 2÷÷ dx + ò çç2 - ÷÷÷ dx çè èç x ø xø 1 2 5 1 2 = (5 ln x - 2 x ) + (2 x - 3 ln x ) 2 2 ìïa = 8 = 4 + 8 ln 2 - 3 ln 5  ïí  S = 5. Chọn B. ïïîb = -3 Câu 14. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình phẳng ( A ), ( B ) p 2 lần lượt là 3 và 7. Tích phân I = ò cos x. f (5sin x -1) dx 0 bằng 4 B. - . 5 A. -2. C. 4 . 5 D. 2. é x = 0  u = -1 ê du = cos x dx . Đổi cận ê Lời giải. Đặt u = 5 sin x -1  du = 5cos x dx  . p êx =  u = 4 5 êë 2 4 1 4 ù 1 1é Khi đó I = ò f (u ) du = êê ò f (u ) du + ò f (u ) du úú . 5 -1 5 êë -1 úû 1 Dựa vào đồ thị ta suy ra 1 • ò f (u ) du = 3 (vì diện tích hình phẳng ( A) nằm bên trên trục hoành); -1 4 • ò f (u ) du = -7 (vì diện tích hình phẳng ( B ) nằm dưới trục hoành). 1 1 4 Vậy I = .[3 - 7 ] = - . Chọn B. 5 5 Câu 15. Cho số phức z = z12 + z1 2 với z1 là số thuần ảo. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z là số thực âm. B. z = 0. C. z là số thực dương. D. z ¹ 0. 2 ì ï z12 = (m.i ) = m 2 .i 2 = -m 2 ï ï . Lời giải. Gọi z1 = m.i (m Î  ) ¾¾ í 2 2 2 2 ï z 0 m m z m = + = ¾¾  = ï 1 ï î 1 Khi đó z = z12 + z1 = -m 2 + m 2 = 0. Chọn B. 2 Câu 16. Gọi M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 trong mặt phẳng tọa độ. Mệnh đề nào sau đây đúng?   A. z1 - z 2 = OM + ON .   C. z1 - z 2 = OM + MN .  B. z1 - z 2 = MN .   D. z1 - z 2 = OM - MN . 6 Lời giải. Giả sử z1 = a + bi (a; b Î  ) và z 2 = x + yi ( x ; y Î  ). Khi đó M (a; b ) và N ( x ; y ). Suy ra z1 - z 2 = (a - x ) + (b - y )i = (a - x ) + (b - y ) .   2 2 Lại có MN = MN = (a - x ) + (b - y ) . Vậy z1 - z 2 = MN . Chọn B. 2 2 Câu 17. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện z -1 = 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + i + z - 2 - i bằng A. 4. B. 4 2. C. 8. D. 8 2. Lời giải. Tập hợp các số phức z thỏa mãn z -1 = 2 là đường tròn (C ) có tâm I (1;0 ), bán kính R = 2. Gọi M , A (0; -1) và B (2;1) lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , z1 = -i và z 2 = 2 + i . Ta thấy A Î (C ), B Î (C ) và AB là đường kính của (C ) nên ta có 2 MA 2 + MB 2 = AB 2 = (2 R ) = 8. Khi đó P = z + i + z - 2 - i = MA + MB £ 12 + 12 . MA 2 + MB 2 = 2. 8 = 4. Chọn A. Cách 2. Đặt z = x + yi ( x ; y Î  ) . Từ giải thiết z -1 = 2 ta có ( x -1) + y 2 = 2  x 2 + y 2 = 2 x + 1. 2 Khi đó P = z + i + z - 2 - i = x + ( y + 1)i + x - 2 + ( y -1)i 2 2 2 = x + ( y + 1) + ( x - 2) + ( y -1) 2 x 2 + y 2 = 2 x +1 = 2 ( x + y ) + 2 + 6 - 2 ( x + y ). Đặt t = x + y, khi đó P = f (t ) = 2t + 2 + 6 - 2t với t Î [-1;3]. Khảo sát hàm f (t ) = 2t + 2 + 6 - 2t trên [-1;3], ta được f (t )max = f (1) = 4. Câu 18. Cho phương trình sin x (2 - cos 2 x ) - 2 (2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng một é 2p ö nghiệm thuộc ê 0; ÷÷÷ ? êë 3 ø A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Phương trình tương đương với 2 sin 3 x + sin x = 2 (2 cos3 x + m + 2) 2 cos3 x + m + 2 + 2 cos3 x + m + 2. Xét hàm f (t ) = 2t 3 + t với t  0. Ta có f ¢ (t ) = 6t 2 + 1 > 0 ¾¾  f  t  đồng biến. Mà f (sin x ) = f ( ) 2 cos3 x + m + 2 suy ra 7 ì ïsin x ³ 0 (1) sin x = 2 cos3 x + m + 2  ï . í 2 3 ï sin x 2 cos x m 2 2 = + + ( ) ï î é 2p ö • (1) luôn đúng với mọi x thuộc ê 0; ÷÷÷. êë 3 ø • (2) tương đương với 1 - cos 2 x = 2 cos 3 x + m + 2  m = -2 cos3 x - cos 2 x - 1. é 2p ö æ 1 ù Đặt t = cos x , vì x Î ê 0; ÷÷÷  t Î çç- ;1ú . Phương trình trở thành m = -2t 3 - t 2 -1. êë 3 ø èç 2 úû æ 1 ù é 2p ö (Nhận xét: Ứng với một nghiệm t Î çç- ;1ú cho ta một nghiệm duy nhất x Î ê 0; ÷÷÷. ) êë 3 ø èç 2 úû æ 1 ù Xét g (t ) = -2t 3 - t 2 - 1 trên çç- ;1ú , ta có bảng biến thiên çè 2 úû - t 1 2 - g ¢ (t ) - 1 3 - - 0 -1 0 -1 g (t ) 1 0 28 27 -4 é m = -1 ê Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi ê 28 ê-4 £ m < 27 ëê m Î ¾¾¾  m Î {-4;-3;-2;-1}. Chọn D. Câu 19. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 3 Ax2 - A22x + 42 = 0 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 6. Lời giải. Điều kiện: x ³ 2 và x Î . Ta có 3 Ax2 - A22x + 42 = 0  3. (2 x )! x! + 42 = 0 ( x - 2)! (2 x - 2)! é x = -7 (loaï i)  3.( x -1).x - (2 x -1).2 x + 42 = 0  x 2 + x - 42 = 0  êê . Chọn B. êë x = 6 (thoû a maõ n) 8 Câu 20. Hệ số của x 8 trong khai triển của éëê1 + x 2 (1 - x )ùûú bằng A. 70. B. 168. 8 C. 238. 8 D. 11760. 8 k k Lời giải. Ta có éëê1 + x 2 (1 - x )ùûú = å C 8k éêë x 2 (1 - x )ùûú = å C 8k x 2 k (1 - x ) k =0 k =0 8 k k =0 l =0 8 k = å C 8k x 2 k .å C kl (-x ) = åå C 8k C kl (-1) x 2 k +l . l 8 k =0 l =0 l ì 2k + l = 8 ï ï ï ï0 £ k £ 8 ìk = 4 ìk = 3 ï ï Từ giả thiết bài toán, ta cần có ïí hoặc ïí ¾¾ ï . í ï ï ï £ £ = 0 l k l 2 l = 0 ï ï ï î î ï ï Î  k , l ï ï î 8 Vậy hệ số của x trong khai triển là C 83C 32 + C 84C 40 = 238. Chọn C. Câu 21. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 người đàn ông, 3 phụ nữ và 2 em bé vào ghế dài 12 chỗ ngồi sao cho 2 em bé ngồi xen kẽ (liên tiếp nhau) giữa 3 người đàn ông? B. 241920. A. 80640. C. 322560. D. 483840. Lời giải. Chọn 5 ghế liên tiếp từ 12 ghế: có 8 cách. Chọn 3 người đàn ông xếp ngồi vào 5 ghế cùng với 2 đứa trẻ thỏa mãn bài toán: có A43 .2! cách. Cuối cùng chọn 4 ghế từ 7 ghế còn lại xếp 4 người (gồm 1 người đàn ông và 3 phụ nữ): có A74 cách. Vậy có 8´ A43 .2!´ A74 = 322560 cách. Chọn C. ì ïu1 = 1 Câu 22. Cho dãy số (un ) xác định bởi ïí . Tìm số hạng thứ 2018 của dãy. ï ï îun +1 = 2un + 5 A. u2018 = 3.2 2017 - 5. B. u2018 = 3.2 2017 + 5. C. u2018 = 3.2 2018 - 5. D. u2018 = 3.2 2018 + 5. Lời giải. Ta có u1 = 1 u2 = 2.1 + 5 u3 = 2.(2 + 5) + 5 = 2 2 + 2.5 + 5 u4 = 2.(2 2 + 2.5 + 5) + 5 = 23 + 2 2.5 + 2.5 + 5 u5 = 2.(23 + 2 2.5 + 2.5 + 5) + 5 = 2 4 + 23.5 + 22.5 + 2.5 + 5  un = 2 n-1 + (2 0 + 21 + 2 2 + ..... + 2 n-2 ) 5 Suy ra u2018 = 2 2017 + (2 0 + 21 + 2 2 + ..... + 2 2016 ) 5. Dãy số trong ngoặc là tổng của một CSN với số hạng đầu bằng 1, công bội bằng 2 (có æ1 - 2 2017 ÷ö 2017 ç ÷ 5 = 3.2 2018 - 5. Chọn C. 2017 số hạng) ¾¾  u2018 = 2 + çç ÷ ÷ è 1- 2 ø Cách 2. Từ hệ thức truy hồi, ta có un +1 + 5 = 2 (un + 5). ïìv1 = 6 Đặt vn = un + 5 ¾¾  ïí ¾¾  (vn ) là một cấp số nhân với công bội bằng 2 nên ïïîvn +1 = 2vn vn = v1q n-1 = 6.2 n-1 = 3.2 n. Suy ra un = vn - 5 = 3.2 n - 5. Do đó u2018 = 3.2 2018 - 5. 9 æ 2 x ö÷ 3 x - 5 3 x ¹ Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f çç với và x ¹ -1. = ÷ çè x + 1÷ø 5 x + 3 5 Giới hạn lim f ( x ) bằng x +¥ A. -4. B. -2. C. 3 . 5 D. 4. 2x t 8t -10 x= . Khi đó f (t ) = . x +1 2-t 2t + 6 8 x -10 = 4. Chọn D. Do đó lim f ( x ) = lim x +¥ x +¥ 2 x + 6 Lời giải. Đặt t = Câu 24. Biết từ điểm A (-2;3) kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số y= x +m với hoành độ các tiếp điểm lần lượt là a và b. Mệnh đề nào sau đây đúng? x +1 2 4 3 4 B. a + b + ab = - . A. a + b + ab = - . 3 3 2 3 2 11 3 11 D. a + b + ab = - . C. a + b + ab = - . 3 3 2 3 Lời giải. Đường thẳng qua A (-2;3) có dạng y = k ( x + 2) + 3. ìï x + m ïï = k ( x + 2) + 3 (1) ïï x + 1 Hệ điều kiện tiếp xúc: í . ïï 1 - m =k (2 ) ïï 2 ïî( x + 1) ì 2m - 6 ï ï = m -3 a +b = ï ï 2 2 Vi-et ï Thay (2) vào (1), ta được 2 x - (2m - 6) x + 5 - 3m = 0 ¾¾¾ í . ï 5 - 3m ï ab = ï ï 2 ï î 2 4 Khi đó a + b + ab = - . Chọn A. 3 3 Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên các đường thẳng SB  = 40 . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD ) bằng và SD . Biết HAK A. 20 . B. 40 . C. 60 . Lời giải. Dễ dàng chứng minh được AK ^ (SCD ) và AH ^ (SCB ).  = 40 . Chọn B Khi đó éë AH , AK ) = HAK (SBC ),(SCD )ùû = ( 10 D. 80 . Câu 26. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Gọi M là trung điểm của SD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC bằng A. a . B. a . 2 C. a 3 . 2 D. a 5 . 5 Lời giải. Gọi H , I lần lượt trung điểm của AB, CD. Suy ra HC  AI và MI  SC . Do đó d ( AM , SC ) = d éëSC , ( AMI )ùû = d éëC ,( AMI )ùû = d éë H ,( AMI )ùû = HP với P là hình chiếu của H trên AI . a a 5 a 5 và SDAHK = .  AK = 8 2 4 2S a . Chọn D. Suy ra HP = DAHK = AK 5 Tính được: AI = Câu 27. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAD ) và (SBC ) bằng A. 5. B. C. 6. 7. D. 8. Lời giải. Kéo dài AD và CB cắt nhau tại E . Gọi H là trung điểm của DE  CH ^ DE (do DCDE đều). Lại có CH ^ SA  CH ^ (SAD ) ¾¾  CH ^ SE . (1) Kẻ CI ^ SE . (2 ) Từ (1) và (2 ), suy ra HI ^ SE . Khi đó   j = éë(SAD ), (SBC )ûù = CIH . a 3 , AE = 2a, SE = a 7. 2 IH SA a 21 Ta có DEAS ∽ DEIH ¾¾  =  IH = . HE SE 14 CH Vậy tan j = = 7 . Chọn C. HI Ta tính được CH = Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa (SAB ) và (SCD ) bằng 45. Gọi M là trung điểm của SB, khoảng cách giữa AM và SD bằng 11 a 3 a 3 D. . . 3 6  . Suy ra SA = AD = a. Lời giải. Xác định được 450 = ( SAB ), (SCD ) = SA , SD = ASD A. a. B. a 2 . 2 C. Gọi N là trung điểm AB, suy ra MN ^ ( ABCD ); O = AC Ç BD. Suy ra MO  SD. Khi đó d [ AM , SD ] = d éë( AMO ), SD ùû = d éë D,( AMO )ùû = d éë B, ( AMO )ùû = 2d éë N ,( AMO )ùû . Gọi E là trung điểm AO, suy ra NE ^ AO. Kẻ NK ^ ME , khi đó ta chứng minh được NK ^ ( AMO ) nên d éë N , ( AMO )ùû = NK = NE .MN NE 2 + MN 2 = a 3 . Chọn C. 6 Câu 29. Tứ diện đều có bao nhiêu mặt đối xứng? A. 3. B. 4. C. 6. D. 9. Lời giải. Có 6 mặt (mặt phẳng chứa 1 cạnh và trung điểm cạnh đối diện). Chọn C. Câu 30. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 24 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Thể tích của khối chóp G. ABC bằng A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. Lời giải. Ta có VG . ABC = VA.GBC . 1 Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên SDGBC = SDDBC . 3 1 1 Suy ra VA.GBC = VABCD = .24 = 8. Chọn C. 3 3 Câu 31. Cho tứ diện ABCD có BD = 3. Hai tam giác ABD và CBD có diện tích lần lượt là 6 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 11, số đo góc giữa hai mặt phẳng ( ABD ) và (CBD ) là æ 11 ö A. arcsin çç ÷÷÷. çè 40 ø æ 33 ö B. arcsin çç ÷÷÷. çè 40 ø æ 11 ö C. arccos çç ÷÷÷. çè 40 ø Lời giải. Gọi O là chân đường vuông góc kẻ từ A đến mặt phẳng ( BCD ) , kẻ OH ^ BD ( H Î BD ) . Ta có AO ^ BD ü ï ï ý  BD ^ ( AOH )  BD ^ AH . OH ^ BD ï ï þ . Suy ra ( ABD ), ( BCD ) = AHO 12 æ 33 ö D. arccos çç ÷÷÷. çè 40 ø Ta có AH = 3V 2SDABD 33 = 4, AO = ABCD = . BD SDBCD 10 = Khi đó ta tính được sin AHO AO 33  = arcsin æç 33 ö÷÷. Chọn B. = ¾¾  AHO çç ÷ è 40 ø AH 40 Câu 32. Cho khối trụ có độ dài đường sinh gấp đôi bán kính đáy và có thể tích bằng 16p. Diện tích toàn phần của khối trụ đã cho bằng B. 12p. C. 16p. D. 24 p. ì ìr = 2 ïh = 2r ï ï Lời giải. Ta có ïí 2 . Khi đó S tp = 2pr 2 + 2prh = 24 p. Chọn D. í ï ï = h 4 ïîpr h = 16 îï A. 8p. Câu 33. Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2m. Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính 40cm và 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính 26cm. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000 đồng/ m 2 (gồm cả tiền thi công) thì người chủ nhà phải chi bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột đó? (số tiền làm tròn đến hàng nghìn). B. 14.647.00 đồng. A. 13.627.000 đồng. C. 15.844.000 đồng. D. 16.459.000 đồng. Lời giải. Diện tích cần sơn là tổng diện tích xung quanh của các hình trụ. Tổng diện tích xung quanh của 4 cây cột đường kính 40cm là S1 = 4.2pr1h. Tổng diện tích xung quanh của 6 cây cột đường kính 26cm là S 2 = 6.2pr2 h. Số tiền cần dùng là æ 0, 40 0,2 ö÷ T = (S1 + S2 )´380.000 = 2p.4,2.çç4. + 6. ÷´ 380.000 » 15.844.000 đồng. Chọn D. çè 2 2 ÷ø Câu 34. Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm (Hình 1). Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu là 10 cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược lên (Hình 2). Khi đó chiều cao cột nước trong phễu bằng giá trị nào sau đây? A. 0,87 cm. B. 1,07 cm. C. 5 cm. D. 10 cm. Lời giải. Xét phần mặt cắt và kí hiệu các điểm như hình vẽ. Gọi V , V1 , V2 lần lượt là thể tích của phễu, của phần chứa ì 1 ï ï V = p HM 2 . AH ï ï 3 nước, và phần không chứa nước. Ta có ïí . ï 1 2 ï V1 = p PN . AP ï ï 3 ï î 3 3 2 æ AP ö÷ æ 1 ö÷ V V 1 7 PN .AP çç Suy ra 1 = =  2 = . ÷÷ = ççç ÷÷ = ¾¾ 2 ç 8 8 V V HM .AH è AH ø è 2 ø 13 3 3 æ AK ö÷ V 7 æ AK ÷ö 7 Khi lật ngược phễu, ta có 2 = çç  = çç  AK = 3 . AH » 19,13 (cm ). ÷ ÷ ÷ ÷ V èç AH ø 8 çè AH ø 8 Suy ra HK = 0,87 (cm ). Chọn A. Câu 35. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp và thể tích khối cầu nội tiếp khối chóp S . ABCD bằng A. 8. A. 1 + 3. B. 7 + 5 2. C. 10 + 6 3. Lời giải. Gọi VR , Vr lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp và nội tiếp khối chóp. Ta có: OA = OB = OC = OD = OS = a 2 . 2 a 2 là bán kính mặt cầu ngoại tiếp. 2 Kí hiệu M , N lần lượt là trung điểm AB, CD ; Suy ra R = J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN . Do S . ABCD là hình chóp tứ giác đều nên J là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. S 6- 2 SO.MN Ta có r = DSMN = = a. 4 p SM + SN + MN 3 æRö V Tỉ số cần tính: R = çç ÷÷÷ = 10 + 6 3. Chọn D. Vr çè r ø Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng (b ) : x + y - z + 3 = 0 và cách (b ) một khoảng bằng A. x + y - z + 6 = 0; x + y - z = 0. B. x + y - z + 6 = 0. C. x - y - z + 6 = 0; x - y - z = 0. D. x + y + z + 6 = 0; x + y + z = 0. 3. Lời giải. Mặt phẳng cần tìm có dạng (a ) : x + y - z + c = 0. Do d éë(a ),(b )ùû = 3  d éë A, (a )ùû = 3 (với A (0;0;3) Î (b ) ) é c = 6 ¾¾  (a ) : x + y - z + 6 = 0 c -3  = 3  êê . Chọn A. 3 c a x y z = 0 ¾¾  : + = 0 ( ) êë ì x = 1 + at ï ï ï ï và Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : í y = t ï ï ï ï î z = -1 + 2 t ïìï x = 1 - t ¢ ï d 2 : ïí y = 2 + 2t ¢ . Với giá trị nào của a thì d1 và d 2 cắt nhau? ïï ïïî z = 3 - t ¢ 14 A. a = 0. 1 B. a = . 2 C. a = 1. D. a = 2. ìï1 + at = 1 - t ¢ (1) ïï Lời giải. Để d1 và d 2 cắt nhau  ïít = 2 + 2t ¢ (2) có nghiệm duy nhất. ïï ïïî-1 + 2t = 3 - t ¢ (3) ïìt = 2 . Thay vào (1), ta được a = 0. Chọn A. Từ (2) và (3), ta có ïí ïïît ¢ = 0  Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện OABC . Biết A (a; b; c ), AB = (1;2;3) và  AC = (-1;4;-2); điểm G (3; -3;6) là trọng tâm tứ diện OABC . Tổng a + b + 3c bằng 17 . 3 B. 21. C. 25. D. 33.      Lời giải. Ta có GA + GB + GC + GO = 0          GA + GA + AB + GA + AC + GA + AO = 0      AB + AC + AO = 4 AG. (1)     Mà AB + AC + AO = (-a;6 - b;1 - c ), 4 AG = (12 - 4 a;-12 - 4b;24 - 4c ). A. ( ) ( ) ( ) ïìï12 - 4 a = -a 23 ï Do đó (1)  ïí-12 - 4b = 6 - b  a = 4; b = -6; c = . Chọn B. ïï 3 ïïî24 - 4 c = 1 - c Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y - 2 z - 3 = 0 và mặt cầu (S ) : ( x + 1) + ( y - 2) + ( z -1) = 1. Giả sử M Î ( P ) và N Î (S ) sao cho   vectơ MN cùng phương với vectơ u = (1;0;1). Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm M 2 và N bằng 2 A. . 3 B. 2 5 . 3 2 C. 3 2. D. 5 2. Lời giải. Mặt cầu (S ) có tâm I (-1;2;1), bán kính R = 1. Gọi H là hình chiếu của N trên ( P ).  u.nP 1  Ta có sin ( MN ,( P )) =   = u . nP 3 2 ¾¾  MN = NH = 3 2 NH .  sin ( MN ,( P )) 5 Do đó MN max  NH max . Mà NH max = R + d éë I , ( P )ùû = . Suy ra MN max = 5 2 Chọn D. 3 15 Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx + 10 đồng biến trên (-1;1) ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải. Xét f ( x ) = x - 3 x + mx + 10. Ta có f ¢ ( x ) = 3 x - 6 x + m. 3 2 2 Yêu cầu bài toán tương đương với ïìï f ¢ ( x ) ³ 0, "x Î (-1;1) ïìï3 x 2 - 6 x + m ³ 0, "x Î (-1;1) • Trường hợp 1. í í ïï f (-1) ³ 0 ïï6 - m ³ 0 î î {-3x 2 + 6 x } ìïïm ³ 3 ïìïm ³ -3 x 2 + 6 x , "x Î (-1;1) ìïïïm ³ max -1;1) ( í í í  3 £ m £ 6. ïïm £ 6 ïïm £ 6 ïïîm £ 6 î ïî ïìï f ¢ ( x ) £ 0, "x Î (-1;1) ïìï3 x 2 - 6 x + m £ 0, "x Î (-1;1) • Trường hợp 2. í í ïï f (-1) £ 0 ïï6 - m £ 0 î î ìïm £ -3 x 2 + 6 x , "x Î (-1;1) ìïïm £ min {-3 x 2 + 6 x } ìïm £ -9 (-1;1) ï ï  ïí  m Î Æ. í í ïïm ³ 6 ïïm ³ 6 ïïîm ³ 6 î ïî Qua hai trường hợp, suy ra có 4 giá trị nguyên của m thỏa. Chọn B. Câu 41. Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x + m) có 5 điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số. é x = -2 ê Lời giải. Từ đồ thị ta có f ¢ ( x ) = 0  ê x = 1 . Suy ra bảng biến thiên của f ( x ) ê êx = 2 ë Yêu cầu bài toán  hàm số f ( x + m ) có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f ( x + m) có đúng 5 điểm cực trị). Từ bảng biến thiên của f ( x ), suy ra f ( x + m ) luôn có 2 điểm cực trị dương  tịnh tiến f ( x ) (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn  m < 1. • Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị ¾¾ 16 • Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị ¾¾  m ³ -2. m Î Suy ra -2 £ m < 1 ¾¾¾  m Î {-2;-1;0}. Chọn B. Câu 42. Cho hàm số y = f ( x ) có f (-2) = m + 1; f (1) = m - 2. Hàm số y = f ¢ ( x ) có bảng biến thiên như hình bên dưới Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1 2x +1 f ( x )= m có x +3 2 nghiệm x Î (-2;1) là A. (-2;0). Lời giải. Xét hàm số g ( x ) = Ta có g ¢ ( x ) = æ 7 ö C. çç- ;7÷÷÷. çè 2 ø B. (-2;7). æ 7ö D. çç-5;- ÷÷÷. çè 2ø 1 2x +1 với x Î (-2;1). f ( x )2 x +3 1 5 f ¢ ( x )< 0, "x Î (-2 ;1) (vì max f ( x ) = 0 ). 2 (-2 ;1) 2 ( x + 3) Do đó hàm số g ( x ) nghịch biến trên (-2;1) m +1 m +7 1 1 3 m - 2 3 2m - 7 f (-2) + 3 = +3 = - = , g (1) = f (1) - = . 2 2 2 2 4 2 4 4 Bảng biến thiên Ta có g (-2) = Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình g ( x ) = m có nghiệm x Î (-2;1) ìï m + 7 ïï >m 7 ï 2 ï í  - < m < 7. Chọn D. ïï 2m - 7 2