Thiết diện của đa diện

Mô\\\\n Toán HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trong phần này, đề nghị người đọc xem lại các định nghĩa và định lý trong sách giáo khoa Hình học lớp 11, hai chương, quan hệ song song và quan hệ vuông góc. Trong chương này, chúng tôi nêu lên một số dạng toán cơ bản thường gặp, giúp ích cho kỳ thi đại học của học sinh. BÀI BÀI TOÁN THIẾT DIỆN Thiết diện là giao của một mặt phẳng với một khối đa diện hoặc một khối tròn. Bài toán thiết diện là bài toán tìm hoặc dựng giao đó. Để tìm thiết diện của một mặt phẳng với một khối đa diện, ta tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của khối đa diện. Thiết diện thu được thường là một đa giác. I. Ví dụ luyện tập. Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi là trung điểm của cạnh BC, là trung điểm của cạnh C’D. a) Hãy dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AKI) với hình lập phương. b) Tính diện tích thiết diện theo a. e) Tìm tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo thành do mặt phẳng (AKI) cắt hình lập phương, biết tỷ số đó bé hơn một. Lời giải C’ \\\\ D’ B’ A’ \\\\ \\\\ KC INHPL a) Nối AK kéo dài cắt DC kéo dài tại J. Nối IJ cắt CC’ tại và cắt DD’ tại M. Nối AM và KL. Tứ giác AKLM là tứ giác phải dựng. Dễ thấy AKLM là hình thang (KL // AM). b) Do là trung điểm của BC, nên là trung điểm của JD, Từ đó: KC 12 AD 12a; LC 12 MD. 1www.truongthi.com.vn Mô\\\\n Toán Từ hạ IH CD, là trung điểm của CD và IH 12 CC’ 12a. Do IH là đường trung bình trong hình thang CLMD, nên ta có: 2. IH CL DM 3CL CL a3, DM 23a. Như vậy: KL 2222aa13KCCLa496+=+= AM 2.KL 213a6. Từ hạ JN AM trong mặt phẳng (AKI). Ta có DN AM, do JD vuông góc với mặt phẳng ADD’A’. JN cắt KL tại điểm P. PN chính là chiều cao của hình thang thiết diện. Ta có PN 12JN. Xét tam giác vuông ADM, ta có DN.AM AD. DM. Như vậy DN 2a.aAD.DM2a3AM21313a6==. Xét tam giác vuông JDN, vuông tại D. Ta có JN2 JD2 DN2 4a2 224a56a1313= Vậy JN 214a13 và PN 14a13. Do vậy, diện tích thiết diện là: 12 (KL AM). PN 11321314aa.26613+a 214S4=a (đơn vị diện tích). c) Thiết diện chia hình lập phương thành hai phần, trong đó, phần nhỏ hơn là chóp cụt tam giác ADM.KCL. 1chãp côt1VVh.(BB\\'BB\\')3==++; đây CD a, là diện tích tam giác ADM. B’ là diện tích tam giác KCL. Ta có: 12 AD. DM 12. a. 23 2a3 B’ 12 KC. CL 21aaa..22312= 2www.truongthi.com.vn Mô\\\\n Toán V1 2221aaa7aa.331263++=36 Vì thể tích hình lập phương cạnh bằng a3, nên thể tích phần còn lại 3229V36=a. Do đó 12V7V2=9. Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao bằng h. là điểm nằm trên đường chéo AB1 của mặt ABB1A1 sao cho AM: MB1 5: 4. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng A1C và BC1. 1) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình lăng trụ. 2) Giả sử mặt phẳng (α) cắt CC1 tại điểm N. Hãy tính tỷ số 1CNCN Lời giải 1) Kẻ CJ // BC1. Ta thấy mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (A1CJ). Vì vậy các giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (A1CJ) với các mặt bên và mặt đáy của lăng trụ là song song với nhau. Nối A, cắt AB tại I; Ta có là trung điểm của AB. Như vậy cách dựng thiết diện cần tìm là: A1 \\\\ C1 B1 \\\\ \\\\ Qua kẻ đường thẳng song song với A1I, cắt AB tại và cắt A1B1 tại D. Từ kẻ EG // IC (G BC); từ kẻ GN // BC1 (N CC1), từ kẻ NL // A1C, A1C1. Nối DL, Thiết diện thu được là ngũ giác DEGNL. BE 2) Do cách dựng, ta có 1CNCGIE(1)CNBGEB== Theo giả thiết, ta có 1MA5MB4= 3www.truongthi.com.vn Mô\\\\n Toán 11111aIE5MAAEAIIE24MBBDABADaIE++====−− Từ đó 54(a IE) a2 IE hay 5a 5IE 2a 4IE IE a3, do đó EB aaa236−=. Như vậy 1CNIE2CNEB==. II. Bài tập tự giải 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC 4a, BD 2a. Đường cao SO h, AC BD. Từ hạ mặt phẳng (P) vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. a) Hãy dựng thiết diện của (P) với chóp. b) Tìm quan hệ giữa h, để tam giác B’C’D’ là tam giác đều. Gợi ý: mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến B1C1 qua A, B1 (BC), C1 (AD). Ta có B1C1 // B’C’. Do vậy tam giác B’C’D’ đều khi và chỉ khi tam giác B1C1D’ đều. Đáp số 23a. 2. Đề thi Đại học Luật Hà nội (1999) Cho hình chóp tam giác đều SABC có chiều cao và đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Qua cạnh đáy AB dựng mặt phẳng vuông góc với cạnh SC. Hãy tính diện tích thiết diện tạo thành theo và h. Đáp số: 2223ah4a3h+ 3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. 1) Giả sử là một điểm thay đổi trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của để diện tích tam giác IAB nhỏ nhất. 2) Giả sử là điểm thuộc cạnh AB. Qua dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì Xác định vị trí của để diện tích tứ giác (MNPQ) lớn nhất. Đáp số: 1) là trung điểm CD. 2) MNPQ là hình bình hành; là trung điểm của AB. 4. Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh (2000). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy của hình chóp một góc 60o. Mặt phẳng 4www.truongthi.com.vn Mô\\\\n Toán (P) chứa cạnh AB và cắt SC, SD lần lượt tại và N. Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng (P) với mặt đáy hình chóp là 30o. 1) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính diện tích tứ giác ABMN theo a. 2) Tính thể tích hình chóp SABMN theo a. Đáp số: 1) ABMN là hình thang cân, đối tượng ABMN 23a38 (đơn vị diện tích). 2) VSMNAB 33a16 (đv thể tích). 10 5Bên trên chỉ là phần trích dẫn của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font muốn xem hết tài liệu và khôngbị lỗi font vui lòng download tài liệu về máy