Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Số phức

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – SOÁ PHÖÙC  Chuyeân ñeà 9: A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI 1. SOÁ PHÖÙC z = a + ib vôùi i2 = 1 a, b  a laø phaàn thöïc b laø phaàn aûo Soá phöùc lieân hôïp cuûa z laø: z  a  ib 2. MOÂÑUN z = a + ib (a; b  ) Moâñun: z  a2  b2  zz 3. BIEÅU DIEÃN HÌNH HOÏC: z = a + ib (a, b  ) M(a; b) laø aûnh cuûa z: OM  r  a2  b2 moâñun cuûa z (Ox,OM)   + k 2 laø Argument cuûa z, argz = 4. DAÏNG LÖÔÏNG GIAÙC z = r(cos + isin) z = rei r = z  = argz 5. CAÙC PHEÙP TOAÙN VEÀ SOÁ PHÖÙC  Pheùp coäng: z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2)  Pheùp tröø: z1  z2 = (a1  a2) + i(b1  b2)  Pheùp nhaân: z1.z2 = (a1a2 + b1b2) + i(a1b2 + a2b1)  Pheùp chia: z1 z1 z2 a1a2  b1b2  i(a1b2  a2 b1 )   z2 z2 2 a12  b12 Vôùi daïng löôïng giaùc: z1z2 = rr'[cos( + ) + isin( + )] = rr'ei( + ) z1 r r   cos(  )  isin(  )  ei() z2 r  r 6. LUÕY THÖØA SOÁ PHÖÙC z = r (cos + isin) zn = rn(cosn + isinn) coâng thöùc de Moirve zn =rnein 7. CAÊN BAÄC n z = r (cos + isin) = rei (r > 0)    k2n    k2n   n z  n r  cos     isin    n  n   n  n n z  n re   k2n  i   n n  281 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc B. ÑEÀ THI Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011 2 Tìm taát caû caùc soá phöùc z, bieát z2  z  z . Giaûi Giaû söû z = x + yi vôùi x, y  R . 2 Ta coù: z2  z  z  (x  iy)2  x2  y2  x  iy  x2  y2  2xyi  x2  y2  x  yi x  2y2   x2  y2  x  x2  y2     1 y  2xy y  0  x     2 1 1   4y2  1 x   2 x   2 x  0 x  0    .      1  y  0   y  0  x   y   1 y  1  2    2  2 1 1 1 1 Vaäy z  0, z    i, z    i . 2 2 2 2 Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011   Tính moâñun cuûa soá phöùc z, bieát  2z  11  i   z  1 1  i   2  2i . Giaûi Giaû söû z = x + yi vôùi x, y  R.   Ta coù:  2z  11  i   z  1 1  i   2  2i  2  x  yi   1 1  i    x  yi   1 1  i   2  2i 1   x  3 3x  3y  2 1 1    . Suy ra: z =  i 3 3 x  y  0 y   1  3 Do ñoù: z  1 1 2 .   9 9 3 Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011 Tìm soá phöùc z, bieát z  5 i 3 1  0 . z Giaûi Giaû söû z = x + yi . 282 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Ta coù: z   5 i 3  1  0  zz  5  i 3  z  0 z           x2  y2  5  i 3   x  yi   0  x2  y2  x  5  y  3 i  0 2 2 2  x  y  x  5  0 x  x  2  0 x  1  x  2    . y   3  y   3 y  3  0 Vaäy z  1  i 3 hoaëc z  2  i 3 . Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011 3 1 i 3  Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z    .  1 i  Giaûi Caùch 1: Ta coù: z = 1  3i 3  9i2  3 3i3 2 3 = 1  3i 3  9  3 3i 4 4  i  1 = = 2 =2 + 2i 1  3i  3  i i 1 i 1 1  3i  3i  i Vaäy soá phöùc z coù phaàn thöïc laø 2 vaø phaàn aûo laø 2. Caùch 2: Coù theå giaûi baèng caùch chuyeån veà daïng löôïng giaùc nhö sau: 3       2  cos 3  i sin 3     = 2 2 cos   isin  Ta coù: z    3 3     2 cos  i sin   cos  isin    4 4 4 4      3  3     = 2 2  cos      isin      = 2 2  cos  isin   2  2i . 4 4 4 4       Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011 Tìm soá phöùc z, bieát z   2  3i  z  1  9i . Giaûi Goïi z = x + yi vôùi x, y  R. Ta coù: z   2  3i  z  1  9i  (x + yi) – (2 + 3i)(x – yi) = 1 – 9i  (x + yi) – (2x – 2yi + 3xi + 3y) = 1 – 9i x  3y  1 x  2  (–x – 3y) + (3y – 3x)i = 1 – 9i    . 3y  3x  9 y  1 Vaäy z = 2 – i. Baøi 6: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011 Cho soá phöùc z thoaû maõn (1+2i)2z + z = 4i – 20. Tính moâñun cuûa z. 283 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc Giaûi Ñaët z = a + bi. Ta coù: (3  4i)  a  bi    a  bi   4i  20  3a  3bi  4ai  4b  a  bi  4i  20 2a  4b  20 a  2b  10 a  4 .    4a  4b  4 a  b  1 b  3 Vaäy z = 4 + 3i  z  5 . Baøi 7: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011 Cho soá phöùc z thoûa maõn z2 – 2(1 + i)z +2i = 0. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa 1 . z Giaûi 2 Ta coù: z2  2(1  i)z  2i  0   z  1  i   0  z = 1 + i  Vaäy phaàn thöïc cuûa 1 1 i   . z 2 2 1 1 1 laø vaø phần aûo laø – . 2 2 z Baøi 8: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010 Tìm phaàn aûo cuûa soá phöùc z, bieát z  ( 2  i)2 (1  2i) Giaûi Ta coù: z  ( 2  i)2 (1  2i) = (1  2 2i)(1  2i) = 5  2i  z  5  2 i  Phaàn aûo cuûa soá phöùc z laø  2 . Baøi 9 : ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010 Cho soá phöùc z thoûa maõn z  (1  3i)2 . Tìm moâñun cuûa soá phöùc z  iz . 1 i Giaûi       Ta coù: (1  3i)  2  cos     isin     3    3    (1  3i)3  8  cos()  isin()  = 8  z  8 8(1  i)   4  4i 1 i 2  z  iz  4  4i  i(4  4i) = 8(1  i)  z  iz  8 2 . Baøi 10: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010 Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, tìm taäp hôïp ñieåm bieåu dieãn caùc soá phöùc z thoûa maõn: z  i  (1  i)z . Giaûi Giaû söû z = x + yi (vôùi x, y  284 ) Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Suy ra : z  i  x  (y  1)i vaø (1+ i)z = (1 + i)(x + yi) = (x – y) + (x + y)i Ta coù z  i  (1  i)z  x2  (y  1)2  (x  y)2  (x  y)2  x2 + (y2 – 2y + 1) = 2 (x2 + y2)  x2 + y2 + 2y – 1 = 0  x2 + (y + 1)2 = 2 . Vaäy taäp hôïp ñieåm bieåu dieãn caùc soá phöùc z trong maët phaúng toïa ñoä Oxy laø ñöôøng troøn taâm I(0; –1) coù baùn kính R = 2 . Baøi 11: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2010 Tìm soá phöùc z thoaû maõn z  2 vaø z2 laø soá thuaàn aûo. Giaûi Ñaët z = a + bi (vôùi a, b  2 )  z = a2 – b2 + 2abi 2 2 2   a  b  0 a  1 Töø giaû thieát ta coù heä phöông trình  .  2 2 2 a  b  2 b  1     Vaäy: z1  1  i, z2  1  i, z3  1  i, z4  1  i Baøi 12: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009 Goïi z1 vaø z2 laø 2 nghieäm phöùc cuûa phöông trình: z2 + 2z + 10 = 0. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc A = z12 + z22 Giaûi Ta coù: ’ = -9 = 9i do ñoù phöông trình 2  z = z1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i  A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009 Tìm soá phöùc z thoûa maõn: z   2  i   10 vaø z.z  25 . Giaûi Goïi z = x + yi (vôùi x, y  ) suy ra z – (2 + i) = (x – 2) + (y – 1)i 2 2 Ta coù z   2  i   10   x  2    y  1  10 z.z  25  x2  y2  25 (1) 2 Giaûi heä (1) vaø (2) ta ñöôïc: (x; y) = (3; 4) hoaëc (x; y) = (5; 0) Vaäy: z = 3 + 4i hoaëc z = 5 Baøi 14: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010 Cho soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän (2 – 3i)z + (4 + i) z = – (1 + 3i)2. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa z. Giaûi 285 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc Goïi z = x + yi (x, y  ) Ta coù (2 – 3i)z + (4 + i) z = – (1 + 3i)2  (2 – 3i)(x + yi) + (4 + i)(x – yi) = 8 – 6i  (6x + 4y) – (2x + 2y)i = 8 – 6i  6x + 4y = 8 vaø 2x + 2y = 6  x = –2 vaø y = 5 Vaäy phaàn thöïc cuûa z laø –2 vaø phaàn aûo cuûa z laø 5. Baøi 15: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010 Giaûi phöông trình z2 – (1 + i)z + 6 + 3i = 0 treân taäp hôïp caùc soá phöùc. Giaûi 2 Ta coù:  = –24 – 10i = (1 – 5i) Do ñoù z2 – (1 + i)z + 6 + 3i = 0  z = 1 – 2i hay z = 3i. Baøi 16: TNPT NAÊM 2010 Cho hai soá phöùc z1 = 1 + 2i vaø z2 = 2 – 3i. Xaùc ñònh phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z1 – 2z2. Giaûi Ta coù: z1 – 2z2 = (1 + 2i) – 2(2 – 3i) = 3 + 8i Suy ra soá phöùc z1 – 2z2 coù phaàn thöïc laø 3 vaø phaàn aûo laø 8. Baøi 17: TNPT NAÊM 2010 Cho hai soá phöùc z1 = 2 + 5i vaø z2 = 3 – 4i. Xaùc ñònh phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z1.z2. Giaûi Ta coù: z1z2 = (2 + 5i) (3 – 4i) = 6 – 8i + 15i – 20i2 = 26 + 7i  soá phöùc z1z2 coù phaàn thöïc laø 26 vaø phaàn aûo laø 7. Baøi 18: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009 Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, tìm taäp hôïp ñieåm bieåu dieãn caùc soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän z   3  4i   2 . Giaûi Ñaët z = x + yi (x, y  ); suy ra z – 3 + 4i = (x – 3) + (y + 4)i Töø giaû thieát, ta coù:  x  32   y  4 2 2 2  2   x  3   y  4   4 Taäp hôïp ñieåm bieåu dieãn caùc soá phöùc z laø ñöôøng troøn taâm I(3; 4) baùn kính R = 2 Baøi 19: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009 286 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Cho soá phöùc z thoûa maõn (1 + i)2(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa z. Giaûi 2 Ta coù: (1 + i) (2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z  (2i)(2 – i)z – (1 + 2i)z = 8 + i  z[4i + 2 – 1 – 2i] = 8 + i  z 8  i  8  i 1  2i  8  15i  2 10  15i     2  3i 1  2i 5 5 5 Phaàn thöïc cuûa z laø 2. Phaàn aûo cuûa z laø 3. Baøi 20: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009 Giaûi phöông trình sau treân taäp hôïp caùc soá phöùc: 4z  3  7i  z  2i zi Giaûi Ta coù: 4z  3  7i  z  2i  z2 – (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0 (vôùi z  i) zi  = (4 + 3i)2 – 4(1 + 7i) = 3 – 4i = (2 – i)2 4  3i  2  i 4  3i  2  i Vaäy : z   3  i hay z   1  2i 2 2 Keát hôïp vôùi ñieàu kieän neân phöông trình coù nghieäm z = 3 + i; z = 1 + 2i Baøi 21: TNPT NAÊM 2009 Giaûi phöông trình (S): 8z2 – 4z + 1 = 0 treân taäp soá phöùc. Giaûi 2 Ta coù:  = 16 – 32 = 16 = (4i) Do ñoù, phöông trình ñaõ cho coù 2 nghieäm laø: 4  4i 1 1 4  4i 1 1 z1    i vaø z2    i 16 4 4 16 4 4 Baøi 22: TNPT NAÊM 2009 Giaûi phöông trình 2z2 – iz + 1 = 0 treân taäp soá phöùc. Giaûi 2 2 Ta coù:  = i – 8 = 9 = (3i) . Do ñoù, phöông trình ñaõ cho coù 2 nghieäm laø: i  3i i  3i 1 z1   i vaø z2   i 4 4 2 287 Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầy đủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.