Nguyên hàm các hàm số vô tỷ

Doc24.vnNGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ.Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai.Một số công thức thường được dùng trong phần này: 1/ 22xdxx Cx a= ++ò2/ 22ln |dxx Cx a= +±ò3/ 2ln |2 2x ax adx C± +ò4/ 21arcsin1dx Cx= +-ò5/ 21arccos1dx Cx-= +-òMở rộng công thức và 5:6/ ()2 21arcsin 0xC aaa x= >-ò7/ ()2 2arccos 0dx xC aaa x-= >-ò .Chú ý: Dạng 12a bdxax bx c++ +ò ta có thể làm như sau:B1: Biến đổi: ()1 12a ax ba b+ 2a ba b= .Đồng nhất hệ số ta có: 112a ab baa b=ìí+ =î trong đó 1; ;a đã biết.)B2: Giải hệ phương trình trên tìm ;a bB3: Ta có: ()1 12 22ax ba bI dx dxax bx ax bx ca b+ ++= =+ +ò 22ax dxdxax bx ax bx ca b+= ++ +ò òNguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 1Doc24.vnĐặt 12222ax bI dxax bx cdxIax bx c+=+ +=+ +òò B4: Tính 122ax bI dxax bx c+=+ +ò Đặt ()22t ax bx dt ax dx= Từ đó suy ra: 12dtI Ct= +ò 22ax bx C= Tính 22dxIax bx c=+ +ò Biến đổi: 2224bax bx xaaDæ ö+ -ç ÷è Tuỳ thuôc vào dấu của và mà ta có tích phân 2I thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7 Bài tập áp dụng:Tính các tích phân bất định sau:1/ 22 2dxx x- +ò 2/ 22 11xdxx x-- +ò 3/ 222 22x xdxx x- +-ò4/ 21dxx x+ +ò 5/ 223 41x xdxx x- +- +ò 6/ 24 11xdxx ++ò7/ 22 2x dx- -ò 8/ 22 11xdxx x++ -ò 9/ 23 2xdxx -- +ò10/ 222 12x xdxx x+ -+ -ò 11/ 21 2dxx x- -ò 12/ 23 4dxx x- -ò13/()22 32 2x dxx x-- -ò 14/ 21 4dxx x-- -ò 15/ ()212 3x dxx x-- +ò16/ ()222 31x xdxx- +-ò 17/ ()222 24x dxx- +-ò 18/ ()222 14x dxx- +-ò19/ ()2211x dxx+ +-ò 20/ ()2211x dxx- +-òBài toán 2: Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 2Doc24.vnDạng 1: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với và nax bcx d++ có dạng: ,nax bI dxcx dæ ö+=ç ÷+è øò với 0ad bc- .Phương pháp giải: B1: Thực hiện phép đổi biến: nax btcx d+=+nnnax dtt xcx ct a+ -Þ =+ Từ đó suy ra: ?dx dt= B2: Thay biến bởi t. Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ. Mà tích phânnày đã được học từ tiết trước.Bài tập áp dụng:Tính các tích phân bất định sau:1/ ()31 1dxx x+ +ò 2/ 32 3xdxx x++ò 3/ 31xdxx+ò4/ 2xdxx+ +ò 5/ 3dxx x+ò 6/ 31dxx+ò7/ 1dxx x+ -ò 8/ 1xdxx-ò 9/ 1xdxx+ -ò10/ 9dxx -ò 11/ 1xdxx+ò 12/ 221x dxx+ò13/ 1x xdx-ò 14/ 41dxx+ò 15/ 21dxx-ò16/ 23x dx+òDạng 2: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với và 2ax bx c+ có dạng:()2,I ax bx dx= +òPhương pháp Sử dụng phương pháp Euler): Ta xét các trường hợp sau:1/ Nếu a>0 đặt 2ax bx a+ hoặc a+2/ Nếu c>0 đặt 2ax bx tx c+ hoặc tx c-3/ Nếu tam thức 2ax bx c+ có biệt số 0D thì ()()21 2ax bx x+ Khi đó đặt: ()21ax bx x+ .Bài tập áp dụng:Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 3Doc24.vnTính các tích phân bất định sau: 1/ 24x dx-ò 2/ 22x dx-ò 3/ ()2x dx- +ò4/ 21dxx x+ +ò 5/ 21 dtx x+ -ò 6/ ()()221 3x dxx x-- -ò7/ 21 3dxx x+ +ò 8/ 22 4dxx x+ +ò 9/ 21dxx x+ +ò10/ 223 23 2x xdxx x- ++ +òDạng 3: Tính tích phân bất định: ()21 1dxIa ax bx c=+ +ò .Phương pháp giải. Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 11ta b=+ 21dtax pdxt t-Þ 1x ba tæ ö= -ç ÷è .Khi đó: ()21 1dxIa ax bx c=+ +ò221 121 11 1dta ba ca t-=æ ö- +ç ÷è øò Sau khi rút gọn ta được 22; 0; 0dtta cdtta bt cì- >ï+ +ï=íï<ï+ +îòòB2: Tính các tích phân vừa tìm được .Bài tập áp dụng:Tính các tích phân bất định sau:1/ ()21 2dxx x+ +ò 2/ ()21 2dxx x- +ò 3/ ()21 5dxx x+ +ò4/()22 1dxx x+ -ò 5/ ()22 dxx -ò 6/ ()21 2dxx x- +ò7/ ()22 2dxx x+ +ò 8/ 22 1dxx x+ -òDạng 4:Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 4Doc24.vnTính tích phân bất định sau: ()1 122 2a bI dxa ax bx c+=+ +òPhương pháp giải: B1: Biến đổi: ()1 2a ba b+ 2a ba b= +Đồng nhất hệ số:2 12 1a ab baa b=ìí+ =î trong đó: 2; ;a là các hằng số ).Giải hệ phương trình trên tìm ,a B2: ()()1 121 1a bI dxa ax bx ca b+ +=+ +ò ()2 21 1dxdxax bx ax bx cba= ++ +ò òB3: Tính 12dxIax bx c=+ +ò ()221 1dxIa ax bx c=+ +òDễ thấy ;I là hai dạng tích phân đã được nói đến phần trên.Bài tập áp dụng:Tính các tích phân bất định sau:1/ ()()22 31 2x dxx x++ +ò 2/ ()()22 11 2x dxx x-- +ò 3/ ()()221 3x dxx x++ +ò4/ ()()22 32 2x dxx x-- +ò 5/ ()()23 51 2xdxx x-+ +ò 6/ ()()221 1xdxx x+- +ò7/ ()()23 42 1x dxx x-- -ò 8/ ()()22 11 4x dxx x++ -ò BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH1. 32524xxdx 2. 23221xxdx 3. 212125124)32(xxxdx4. 2131xxdx 5. 2122008dxx 6. 2122008xdx7. 10221dxxx 8. 1032)1(dxx 9. 3122211dxxxxNguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 5Doc24.vn10. 22011dxxx 11. 1032)1(xdx 12. 22032)1(xdx13. 1021dxx 14. 220221xdxx 15. 202cos7cosxxdx16. 202coscossindxxxx 17. 202cos2cosxxdx 18. 20cos31sin2sindxxxx19. 703231xdxx 20. 302310dxxx 21. 1012xxdx22. 10231xxdxx 23. 72112xdx 24. dxxx1081531 25. 3ln01xedx 27. 11211xxdx 28. 2ln021xxedxe29. 14528412dxxx 30.edxxxx1lnln31 31. 302351dxxxx32. dxxxx40232 33. 0132)1(dxxexx 34. 3ln2ln21lnlndxxxx35. 3022cos32cos2cosdxxtgxxx 36. 2ln03)1(xxedxe 37. 302cos2cosxxdx38. 202cos1cosxxdx 39. dxxx70332 40. adxax2022Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang